2024-2025学年湖南省长沙市开福区北雅中学八年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市开福区北雅中学八年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数是无理数的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 的平方根与算术平方根都是 B. 的算术平方根是
C. 的平方根是 D. 的平方根是
3.如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是( )
A.
B.
C.
D.
4.在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.已知，则、的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.为了解某校名九年级学生的睡眠时间，从个班级中抽取名学生进行调查，下列说法错误的是( )
A. 名九年级学生的睡眠时间是总体 B. 是样本容量
C. 个班级是抽取的一个样本 D. 每名九年级学生的睡眠时间是个体
7.若，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
8.若，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
9.若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：；；；；；，，其中结论正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若和的立方根互为相反数，则 ______．
12.估计大小关系： ______填，或．
13.如图，小明从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米，又向左转照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了______米．
14.如图，把纸片沿折叠，使点落在图中的处，若，
，则的大小为______．
15.如图，点为直线外一动点，，连接，，点，分别是，的中点，连接，交于点，当四边形的面积为时，线段长度的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（3分）某商品的进价是元，标价为元，商店要求以利润不低于的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？
17.（6分）计算：．
18.（6分）解不等式组：并在数轴上表示此不等式组的解集．
19.（6分）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根；
实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
20.（8分）实验中学八年级数学社团随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．
设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；
答案选项为：：很少，：有时，：常常，：总是．
将调查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：
请根据图中信息，解答下列问题：
该调查的样本容量为______，______，______，“常常”对应扇形的圆心角的度数为______；
请你补全条形统计图；
若该校有名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名？
21.（8分）已知平面直角坐标系中有一点．
存在点，当平行于轴时，求点的坐标；
当点在轴上方，且到轴的距离是到轴距离的两倍时，求点的坐标．
22.（9分）为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知套甲模型的总价与套乙模型的总价相等，若购买套甲模型和套乙模型共需元．
求甲、乙两种模型的单价各是多少元？
现计划用元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案？乙种模型选购多少套时总费用最少？
23.（9分）如图，在中，是边上的高，是的平分线．
若，，求的度数：
若，，求的度数用含，的式子表示．
24.（10分）解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答例如：解不等式解：
当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或．
请用以上方法解不等式关于的不等式：；
已知关于，的二元一次方程组的解满足，求整数的和；
已知关于，的方程组满足方程组的未知数的值为整数，系数也为整数且求满足条件的和的值．
25.（10分）在平面直角坐标系中，点，，，且，，满足．
若，求，两点的坐标；
当实数变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；
如图，已知线段与轴相交于点，直线与直线交于点，若，求实数的取值范围．
参考答案
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16.解：设售货员可以打折出售此商品，依题意得：
，
解得．
答：售货员最低可以打折出售此商品．
17.解：
．
18.解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：

19.解：一个正数的平方根分别是和，
，
；
的立方根为，
，
，
，
的算术平方根为；
由数轴可知，，
，，
．
20.、、、．
名
名，
“常常”对错题进行整理、分析、改正的学生有名．
名，
“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有名．
答：“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有名．
21.解：平行于轴，
，
解得：，
则，
；
点在轴上方，
；
即；
点到轴的距离是，点到轴距离是；
点到轴的距离是到轴距离的两倍，
，
解得：或，
或．
22.解：设甲种模型的单价为元，乙种模型的单价为元，则：
，
解得：．
答：甲种模型的单价为元，乙种模型的单价为元；
设乙种模型数量为，则甲种模型数量为，由题意可得：
，
解得：，
，
为整数，
一共有种选购方案，
设总费用为元，
，
当越小，总费用越少，即当套时，总费用越少，
答：乙种模型选购套时，总费用最少．
23.解：，，
，
是的平分线，
，
是边上的高，
，
，
；
，，
，
是的平分线，
，
是边上的高，
，
，
．
24.解：当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
综上可知，原不等式的解集为或；
，
得，，
，
，
当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
综上可知，原不等式的解集为，
为整数，
，，，，，，
它们的和为．
解：，
得，，
，
，
未知数的值为整数，系数也为整数且，
，，
或，．
25.解：当时，代入方程组得：
，
解得：，
，；
的面积不变，值为．
由，得，
，，
如图，过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，
，，，，，，
；
连接、，
，，
又线段与轴相交于点
，，
，
，
，，
，
如图，过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，则有：
，
，
，
解得，
．
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