江苏省南京秦淮外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次数学月考试题(PDF版，含详解)

秦外九上第一次月考试题及答案
一．选择题（共 6 小题）
1．已知圆锥的底面圆半径为 3，母线长为 4，则圆锥的侧面积为 ( )
A． 6 B．12 C．15 D． 24
2．方程 x2 8x 15 0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是 ( )
A．（x 4)2 31 B． (x 4)2 1 C．（x 8)2 31 D．（x 8)2 1
3．若关于 x的方程 kx2 2x 1 0有实数根，则实数 k的取值范围是 ( )
A． k 0 B． k 1 C． k 1 D． k 1且 k 0
4．歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，
肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响 ( )
A．平均分 B．众数 C．中位数 D．极差
5．如图所示，等边 ABC的顶点 A在 O上，边 AB、 AC与 O分别交于点 D、 E，点 F 是劣弧D E上
一点，且与 D、 E不重合，连接DF、 EF ，则 DFE 的度数为 ( )
A．115 B．118 C．120 D．125
6．如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在 AB上， AOB BCD 90 ．若CD 3， BC 4，则
O 的半径为 ( )
A．4 B．4.8 C． 2 5 D． 3 2
二．填空题（共 10 小题）
7．若一元二次方程 x2 4x 3 0 的两个根是 x1， x2，则 x1 x2 x1 x2的值是 ．
8．已知 O 的圆心坐标为 (3,0)，直径为 6，则 O 与 y轴的位置关系是 ．
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9．若 (a2 b2 )(a2 b2 2) 3,则a2 b2 .
10 ax 3．关于 x的分式方程 1 0的解为正数，则 a的取值范围是 ．
x 2
11．如图所示，点O是 ABC 的内切圆的圆心，若 BAC 76 ，则 BOC的度数为 ．
12 1．已知一组数据的方差 s2 [(x1 6)
2 (x2 6)
2 (x3 6)
2 (x 24 6) ]，那么这组数据的总和为 ．4
13．设函数 y 3 1 1 x 4与 y 的图象的交点坐标为 (m,n)，则 的值为 ．
x m n
14．如图，正方形 AOBC 的顶点O在原点，边 AO，BO分别在 x轴和 y轴上，点C 坐标为 (4,4)，点D是
BO的中点，点 P是边OA上的一个动点，连接 PD，以 P为圆心，PD为半径作圆，设点 P横坐标为 t，
当 P与正方形 AOBC 的边相切时， t的值为 ．
15．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如
图所示）．若直角三角形的内切圆半径为 3，小正方形的面积为 49，则大正方形的面积为 ．
16．如图，在 ABC 中， C 90 ， B 30 ，AC 2．点 P在边 AC上，过点 P作 PD AB，垂足为 D，
过点 D作 DF BC，垂足为 F ．连接 PF ，取 PF 的中点 E．在点 P从点 A到点C 的运动过程中，点 E所
经过的路径长为 ．
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三．解答题（共 11 小题）
17．解下列方程：
（1） x2 2x 11 0；
（2） x(x 4) 5(4 x)．
2
18 x 1．先化简，再求值： 2 ( x 1)；从 1，0，1，2中任选一个代入求值．x 1 x 1
19．射击训练班中的甲、乙两名选手在 5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） :
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表：
选手 平均数 众数 中位数 方差
甲 8 b 8 0.4
乙 a 9 c 3.2
根据以上信息，请解答下面的问题：
（1） a ， b ， c ；
（2）教练根据这 5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）若选手乙再射击第 6 次，命中的成绩是 8环，则选手乙这 6次射击成绩的方差与前 5次射击成绩的
方差相比会 ．（填“变大”、“变小”或“不变” )
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20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头
盔 4月份到 6月份的销量，该品牌头盔 4月份销售 150个，6月份销售 216个，且从 4月份到 6月份销售
量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为 30元 /个，测算在市场中，当售价为 40元 /个时，月销售量为 600个，若在此
基础上售价每上涨 1元 /个，则月销售量将减少 5个，为使月销售利润达到 8625元，而且尽可能让顾客得
到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元 /个？
21．如图，直线 AB经过点C，且OA OB，CA CB．
（1）求证：直线 AB是 O的切线；
（2）若圆的半径为 4， B 30 ，求阴影部分的面积．
22．如图， ABC内接于 O ，C为 ACB的中点， D在 B C上，连接 AD．
（1）如图，若 AD BC，垂足为 E，直线OC分别交 AD， AB于点 F ，G．
（Ⅰ）求证：CG AB；
（Ⅱ）求证： EF DE ．
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23．在平面直角坐标系 xOy中，点 A、B分别在 x轴负半轴、 y轴正半轴上 (OA OB)，C(a， a)(a为常
数），以C为圆心、适当的长度为半径作 C，使点 A、 B在 C上．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出 C．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若OA 8，OB 6，直线 y x b与 C有且只有一个公共点，则 b ．
24．若 x m时，代数式 ax2 bx c的值也为m ，则称m是这个代数式的“ x优值”．例如，当 x 0时，
代数式 x2 x的值为 0；当 x 2时，代数式 x2 x的值为 2，所以 0和 2都是 x2 x的“ x优值”．
（1）判断代数式 x2 x n2 2是否存在“ x优值”，并说明理由；
（2）代数式 x2 n2 n存在两个“ x优值”且差为 5，求 n的值．
25．定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图 1，等腰直角四边形 ABCD， AB BC． ABC 90 ．
①若 AB CD， AB / /CD，请在横线处填出四边形 ABCD是什么特殊的四边形？ ．
②若 AB BC 2 2 ， AD CD 2 5 ，则 S四边形ABCD ．
（2）如图 2，矩形 ABCD的长和宽为方程 x2 12x 20 0的两根，其中 (BC AB) ．点 E从 A点出发，沿
AD以每秒 1个单位长度的速度向终点 D运动，同时点 F 从C点出发，沿CB以每秒 2个单位长度的速度
向终点 B运动．在点 E， F 的运动过程中，若四边形 ABFE是等腰直角四边形，求 EF 的长．
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26．如图， O是 ABC的外接圆，CD是 O的切线，且CD / /AB，连接 AD交 O于点 E．
（1）求证 AC BC ；
（2）连接 BE ，若 BE 为直径， BC 3 10 ， AE 8，求 O 的半径．
27．【问题情境】
（1）如图 1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面
积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转 45 （如图 2)，这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的
倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图 3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边 a、 b、 c、 d之间存在某种数量关系．小昕按
所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图 4．请你结合整个变化过程，直接写出图 4中以矩形内一点 P为
端点的四条线段之间的数量关系；
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【探究应用】
（3）如图 5，在图 3 中“④”的基础上，小昕将 PDC绕点 P逆时针旋转，他发现旋转过程中 DAP存
在最大值．若 PE 8， PF 5，当 DAP最大时，求 AD的长；
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秦外九上练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共 6 小题）
1．已知圆锥的底面圆半径为 3，母线长为 4，则圆锥的侧面积为 ( )
A． 6 B．12 C．15 D． 24
【解答】解： S侧 rl 3 4 12 ，故选： B．
2．方程 x2 8x 15 0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是 ( )
A 2 2 2．（x 4) 31 B． (x 4)2 1 C．（x 8) 31 D．（x 8) 1
【解答】解： x2 8x 15， x2 8x 16 15 16 ，即 (x 4)2 1，故选： B．
3．若关于 x的方程 kx2 2x 1 0有实数根，则实数 k的取值范围是 ( )
A． k 0 B． k 1 C． k 1 D． k 1且 k 0
【解答】解：当 k 0时，△ 4 4k 0， k 1，即 k 1且 k 0，
当 k 0时，此时方程为 2x 1 0，满足题意，
所以 k 1．故选： B．
4．歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，
肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响 ( )
A．平均分 B．众数 C．中位数 D．极差
【解答】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生
影响，即中位数．故选：C．
5．如图所示，等边 ABC的顶点 A在 O上，边 AB、 AC与 O分别交于点 D、 E，点 F 是劣弧D E上
一点，且与 D、 E不重合，连接DF、 EF ，则 DFE 的度数为 ( )
A．115 B．118 C．120 D．125
【解答】解：四边形 EFDA是 O内接四边形， EFD A 180 ，
{#{QQABIYQWU0o4gAoQgAgIJTAAACABB5gKCFEwwGG6aCCkkEQQsIkEBiLCUCgCEQQgRGCABBqAAEQoDAQABJNgANBIAAB=A}#A}=}#}
等边 ABC的顶点 A在 O上， A 60 ， EFD 120 ，故选：C ．
6．如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在 AB上， AOB BCD 90 ．若CD 3， BC 4，则
O 的半径为 ( )
A．4 B．4.8 C． 2 5 D． 3 2
【解答】解：以点O为圆心，以OB为半径画圆，延长CD交 O于点 E，连接 BE ， BD，如图所示：
在△ BCD中， BCD 90 ，CD 3， BC 4，由勾股定理得： BD BC2 CD2 5，
BCD 90 ， BE为 O的直径， 点 B，O， E在同一条直线上， OB OE，
AOB 90 ， DE BD 5，
在 Rt△ BCE中，CE CD DE 8， BC 4，由勾股定理得： BE CE2 BC2 82 42 4 5 ．
OB OE 1 BE 2 5．故选：C．
2
二．填空题（共 10 小题）
7．若一元二次方程 x2 4x 3 0 的两个根是 x1， x2，则 x1 x2 x1 x2的值是 1 ．
【解答】解： x1， x2 是一元二次方程 x
2 4x 3 0的两个根， x1 x2 4， x1 x2 3，
x1 x2 x1 x2 4 3 1，故答案为：1．
8．已知 O 的圆心坐标为 (3,0)，直径为 6，则 O 与 y轴的位置关系是 相切 ．
【解答】解： O的圆心坐标为 (3,0)， 圆心O到 y轴的距离为 3，
O的直径为 6， O的半径为 3， 圆心O到 y轴的距离为等于 O 的半径，
O与 y轴相切．故答案为：相切．
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9．若 (a2 b2 )(a2 b2 2) 3,则a2 b2 .
2 2 2 2 2 2
【解答】解：令 a b t,则t 0, (a b )(a b 2) t(t 2) t 2 2t 3,
t 2 2t 3 （t 3)(t 1) 0，解得 t1 3, t2 1
2
（舍去）．故 a b2 t 3 .
10 ax 3．关于 x的分式方程 1 0的解为正数，则 a的取值范围是 a 1 a 3 且 ． ．
x 2 2
【解答】解：分式方程去分母得： ax 3 x 2 0，即 (a 1)x 5，
5
当 a 1 0，即 a 1时，解得： x ，
a 1
x 2 5 0 5 2 a 1 a 3分式方程的解为正数且 ， 且 ，解得： 且 ．
a 1 a 1 2
3
故答案为： a 1且 a ．
2
11．如图所示，点O是 ABC 的内切圆的圆心，若 BAC 76 ，则 BOC的度数为 128 ．
【解答】解： 点O是 ABC的内切圆的圆心，
BO、CO分别平分 ABC、 ACB， OBC 1 ABC OCB 1 ， ACB，
2 2
BAC 76 ， ABC ACB 180 BAC 104 ，
BOC 180 ( OBC 1 1 OCB) 180 ( ABC ACB) 180 104 128 ．
2 2
故答案为：128 ．
12 1．已知一组数据的方差 s2 [(x 6)21 (x2 6)
2 (x 6)2 (x 6)23 4 ]，那么这组数据的总和为 24 ．4
1
【解答】解： s2 [(x1 6)
2 (x 6)22 (x3 6)
2 (x4 6)
2 ]， 这组数据的平均数是 6，数据个数是 4，
4
这组数据的总和为 4 6 24；故答案为：24．
13 3．设函数 y x 4与 y 的图象的交点坐标为 (m,n) 1 1 4，则 的值为 ．
x m n 3
【解答】解： 函数 y x 4与 y 3 的图象的交点坐标为 (m,n)，
x
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n m 4 mn 3 1 1 n m 4 4 4 ， ， ，故答案为： ．
m n mn 3 3 3
14．如图，正方形 AOBC 的顶点O在原点，边 AO，BO分别在 x轴和 y轴上，点C 坐标为 (4,4)，点D是
BO的中点，点 P是边OA上的一个动点，连接 PD，以 P为圆心，PD为半径作圆，设点 P横坐标为 t，
当 P与正方形 AOBC 3的边相切时， t的值为 或 2 3 ．
2
【解答】解： 点C 坐标为 (4,4)，点 D是 BO的中点， OA OB 4 OD 1 ， OB 2．
2
分 P与 AC相切和 P与 BC相切两种情况考虑：
①当 P与 AC相切时，如图 1所示．
点 P横坐标为 t， PA 4 t．
在Rt DOP中，OD 2，OP t ， PD PA 4 t，
PD2 OD2 OP2 3，即 (4 t)2 22 t2，解得： t ；
2
②当 P与 BC相切时，设切点为 E，连接 PE，如图 2所示．
PE BC， AC BC， PE / /AC．
PA / /EC， 四边形 ACEP为矩形， PE AC 4， PD PE 4．
在Rt POD中，OP t，OD 2， PD 4，
PD2 OD2 OP2 ，即 42 22 t2 ，解得： t1 2 3， t2 2 3（不合题意，舍去）．
t 3 3综上所述： 的值为 或 2 3．故答案为： 或 2 3．
2 2
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15．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如
图所示）．若直角三角形的内切圆半径为 3，小正方形的面积为 49，则大正方形的面积为 289 ．
【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE，OD，
则四边形 EODC为正方形，
OE OD 3 AC BC BA ， AC BC AB 6， AC BC AB 6，
2
(AC BC)2 (AB 6)2 ， BC 2 AC 2 2BC AC AB2 12AB 36 ，
而 BC 2 AC 2 AB2 ， 2BC AC 12AB 36①，
小正方形的面积为 49， (BC AC)2 49， BC 2 AC 2 2BC AC 49②，
把①代入②中得 AB2 12AB 85 0， (AB 17)(AB 5) 0， AB 17（负值舍去），
大正方形的面积为 289．故答案为：289．
16．如图，在 ABC 中， C 90 ， B 30 ，AC 2．点 P在边 AC上，过点 P作 PD AB，垂足为 D，
过点 D作 DF BC，垂足为 F ．连接 PF ，取 PF 的中点 E．在点 P从点 A到点C 的运动过程中，点 E所
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19
经过的路径长为 ．
4
【解答】解：方法一：以C为原点，建立坐标系，过点 D作DG AC
设 AP a，则CP 2 a， P(0,2 a)，
1 a B 30 ， A 60 ， PD AB， PDA 90 ， APD 30 ， AD AP ，
2 2
DG AC， AGD 90 1 a 3 ， AG AD ， DG 3AG a ，
2 4 4
DF BC，DG AC， ACB 90 ， 四边形DGCF 3a为矩形， DG CF ， F ( ,0)，
4
E 3为 P， F 的中点， E( a,1 1 a)，
8 2
3
令 x a, y 1 1 a 4 3 4 3 ， y 1 x， 点 E在直线 y 1 x上运动，
8 2 3 3
当点 P与 A重合时， a 0，此时 E(0,1)，
当点 P 3与C重合时， a 2，此时 E( ,0)，
4
3
点 E所经过的路径长为： 12 ( )2 19 ，
4 4
方法二： P在 AC上运动，运动路径为线段， E为 PF 中点， E 的运动路径亦为线段，
当 P与 A重合时，CE 1，当 P与C重合时，CE 3 ，
4
点 E 3所经过的路径长为： 12 ( )2 19 19 ，故答案为： ．
4 4 4
{#{QQABIYWQU04ogoAQgAgJITAAACABB5gKCFEwwGG6aCCkkEQQsIkEBiLCUCgCEQQgRGCABBqAAEQoDAQABJNgANBIAAB=A}#A}=}#}
三．解答题（共 11 小题）
17．解下列方程：
（1） x2 2x 11 0；
（2） x(x 4) 5(4 x)．
【解答】解：（1） x2 2x 11， x2 2x 1 11 1， (x 1)2 12， x 1 2 3 ，
解得 x1 1 2 3， x2 1 2 3．
（2） x(x 4) 5(x 4) 0， (x 5)(x 4) 0 ， x 5 0或 x 4 0，
解得 x1 5， x2 4．
x218 1．先化简，再求值： 2 ( x 1)；从 1，0，1，2中任选一个代入求值．x 1 x 1
x2 2
( 1 x 1) x [ 1 (x 1)(x 1) x
2 1 x2 1
【解答】解： 2 ] ( )x 1 x 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 (x 1)(x 1) x 1
x2 x 1 1
，
(x 1)(x 1) x2 x 1
1
根据分式有意义的条件得 x 1且 x 0， x只能为 2，当 x 2时，原式 1．
2 1
19．射击训练班中的甲、乙两名选手在 5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） :
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表：
选手 平均数 众数 中位数 方差
甲 8 b 8 0.4
乙 a 9 c 3.2
根据以上信息，请解答下面的问题：
（1） a 8 ， b ， c ；
（2）教练根据这 5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）若选手乙再射击第 6 次，命中的成绩是 8环，则选手乙这 6次射击成绩的方差与前 5次射击成绩的
方差相比会 ．（填“变大”、“变小”或“不变” )
1
【解答】解：（1）由题可得， a (5 9 7 10 9) 8；
5
甲的成绩 7，8，8，8，9中，8出现的次数最多，故众数 b 8；
{#{QQABIYQWU0o4goAQgAgJITAAACABB5gKCFEwwGG6aCCkkEQQsIkEBiLCUCgCEQQgRGCABBqAAEQoDAQABJNgANBIAAB=A}#A}=}#}
而乙的成绩 5，7，9，9，10中，中位数 c 9；
故答案为：8，8，9；
（2）教练根据这 5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩
的方差小，即甲的成绩较稳定．
(3) 由 题 可 得 ， 选 手 乙 这 6 次 射 击 成 绩 5 ， 9 ， 7 ， 10 ， 9 ， 8 的 方 差
1
[(5 8)2 (9 8)2 (10 8)2 (9 8)2 (8 8)2 ] 2.5 3.2，
6
选手乙这 6次射击成绩的方差与前 5次射击成绩的方差相比会变小．故答案为：变小．
20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头
盔 4月份到 6月份的销量，该品牌头盔 4月份销售 150个，6月份销售 216个，且从 4月份到 6月份销售
量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为 30元 /个，测算在市场中，当售价为 40元 /个时，月销售量为 600个，若在此
基础上售价每上涨 1元 /个，则月销售量将减少 5个，为使月销售利润达到 8625元，而且尽可能让顾客得
到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元 /个？
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 x，依题意，得：150(1 x)2 216，
解得： x1 0.2 20%， x2 2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为 20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为 y元，
依题意，得： (y 30)[600 5(y 40)] 8625 ，整理，得： y2 190y 6525 0，
解得： y1 145， y2 45， 尽可能让顾客得到实惠， y1 145（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为 45元．
21．如图，直线 AB经过点C，且OA OB，CA CB．
（1）求证：直线 AB是 O的切线；
（2）若圆的半径为 4， B 30 ，求阴影部分的面积．
{#{QQABIYWQU04ogoAQgAgIJTAAACABB5gKCFEwwGG6aCCkkEQQsIkEBiLCUCgCEQQgRGCABBqAAEQoDAQABJNgANBIAAB=A}#A}=}#}
【解答】（1）证明：连接OC，
OA OB，CA CB， OC AB， 直线 AB经过点C， OC是 O的半径，
OC是 O的半径，且 AB OC， 直线 AB是 O的切线．
（2）解： OC AB， OCB 90 ， O的半径为 4， OC 4，
B 30 ， COD 90 BC B 60 ， tan 60 3， BC 3OC 4 3 ，
OC
S S 1 60 4
2 8
阴影 OCB S扇形OCD 4 4 3 8 3 ，2 360 3
8 3 8 阴影部分的面积是 ．
3
22．如图， ABC内接于 O ，C为 ACB的中点， D在 B C上，连接 AD．
（1）如图，若 AD BC，垂足为 E，直线OC分别交 AD， AB于点 F ，G．
（Ⅰ）求证：CG AB；
（Ⅱ）求证： EF DE ．
【解答】（1）（Ⅰ）证明：连接OA、OB，如图，
{#{QQABIYQWU0o4goAQgAgIJTAAACABB5gKCFEwwGG6aCCkkEQQsIkEBiLCUCgCEQQgRGCABBqAAEQoDAQABJNgANBIAAB=A}#A}=}#}
C 为优弧 AB的中点， AC B C ， AC BC，
又OA OB， O、C都在 AB的垂直平分线上，即CG是 AB垂直平分线， CG AB；
（Ⅱ）证明：连接CD，如图，
AD BC，CG AB， CFE BCG 90 ， B BCG 90 ， B CFE，
B D， CFE D， CF CD．又 AD BC， EF DE；
23．在平面直角坐标系 xOy中，点 A、B分别在 x轴负半轴、 y轴正半轴上 (OA OB)，C(a， a)(a为常
数），以C为圆心、适当的长度为半径作 C，使点 A、 B在 C上．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出 C．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若OA 8，OB 6，直线 y x b与 C有且只有一个公共点，则 b 4或 24 ．
【解答】解：（1）由点C的坐标知，改点在直线 y x上，由圆的定义知，点C在 AB的中垂线上，
故上述两条直线的交点，即为点C为位置，由此画出 C如图所示．
（2）如图所示，设直线 y x b与 C有且只有一个公共点为点T，
{#{QQABIYQWU04ogAoQgAgIJTAAACABB5gKCFEwwGG6aCCkkEQQsIkEBiLCUCgCEQQgRGCABBqAAEQoDAQABJNgANBIAAB=A}#A}=}#}
则CT 和直线 y x b垂直，且CT AC CB，
点C 在直线 y x， 点T是直线 y x和直线 y x b的交点，
1 1 1 1
则点T ( b， b)，由CT AC CB得： (a 8)2 a2 a2 (a 6)2 ( a b)2 (a b)2，
2 2 2 2
解得 b 4或 24．故答案为：4或 24．
24．若 x m时，代数式 ax2 bx c的值也为m ，则称m是这个代数式的“ x优值”．例如，当 x 0时，
代数式 x2 x的值为 0；当 x 2时，代数式 x2 x的值为 2，所以 0和 2都是 x2 x的“ x优值”．
（1）判断代数式 x2 x n2 2是否存在“ x优值”，并说明理由；
（2）代数式 x2 n2 n存在两个“ x优值”且差为 5，求 n的值．
【解答】解：（1）不存在“ x优值”．理由如下：
假设存在优值为 x，则有 x2 x n2 2 x，整理得： x2 2x n2 2 0，
则 b2 4ac 22 4(n2 2) 4n2 4， 无论 n取何值时， 4n2 4 0， 方程没有实数根，
即代数式 x2 x n2 2不存在“ x优值”．
（2）设“ x优值”为 x，则有 x2 n2 n x，整理得： x2 x n(n 1) 0，
(x n)(x n 1) 0， x1 n， x2 1 n．
两个“ x优值”差为 5， n (1 n) 5或 (1 n) n 5， n 3或 n 2．
25．定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图 1，等腰直角四边形 ABCD， AB BC． ABC 90 ．
①若 AB CD， AB / /CD，请在横线处填出四边形 ABCD是什么特殊的四边形？ 正方形 ．
②若 AB BC 2 2 ， AD CD 2 5 ，则 S四边形ABCD ．
（2）如图 2，矩形 ABCD的长和宽为方程 x2 12x 20 0的两根，其中 (BC AB) ．点 E从 A点出发，沿
AD以每秒 1个单位长度的速度向终点 D运动，同时点 F 从C点出发，沿CB以每秒 2个单位长度的速度
向终点 B运动．在点 E， F 的运动过程中，若四边形 ABFE是等腰直角四边形，求 EF 的长．
{#{QQABIYWQU04ogAoQgAgJITAAACABB5gKCFEwwGG6aCCkkEQQsIkEBiLCUCgCEQQgRGCABBqAAEQoDAQABJNgANBIAAB=A}#A}=}#}
【解答】（1）①解： AB CD， AB / /CD， 四边形 ABCD为平行四边形，
AB BC， 四边形 ABCD为菱形， ABC 90 ， 四边形 ABCD为正方形，
故答案为：正方形；
②证明：连接 AC、 BD，如图所示：
AB BC 2 2， AD CD 2 5 ， BD垂直平分 AC， AC 4，
AO OC 2 BO， DO CD2 CO2 20 4 4 1， BD 6， S四边形ABCD 4 6 12，2
故答案为：12；
（2）解： x2 12x 20 0 0， (x 10)(x 2) 0， x 10 0或 x 2 0，
解得： x1 10， x2 2， BC AB， AD BC 10，CD AB 2，
根据题意可知，当 AB AE或 AB BF 时，四边形 ABFE是等腰直角四边形；
当 AB AE 2时，连接 EF ，过点 E作 EH BC于点H ，如图所示：
AE
运动时间为： 2（秒 )， CF 2 2 4， BF 10 4 6，
1
A B AGF 90 ， 四边形 ABFG为矩形， BH AE 2， EH AB 2，
HF BF BH 6 2 4， EF EH 2 HF 2 4 16 2 5；
当 AB BF 2时，连接 EF ，过点 F 作 FG BC 于点G，如图所示：
{#{QQABIYWQU04ogoAQgAgJITAAACABB5gKCFEwwGG6aCCkkEQQsIkEBiLCUCgCEQQgRGCABBqAAEQoDAQABJNgANBIAAB=A}#A}=}#}
——
则CF BC BF 10 2 8 8，此时运动时间为： t 4， AE 4，
2
A B BHE 90 ， 四边形 ABHE矩形， AG BF 2，GF AB 2，
GE 4 2 2， EF GF 2 GE2 4 4 2 2；综上分析可知， EF 2 5 或 2 2．
26．如图， O是 ABC的外接圆，CD是 O的切线，且CD / /AB，连接 AD交 O于点 E．
（1）求证 AC BC ；
（2）连接 BE ，若 BE 为直径， BC 3 10 ， AE 8，求 O 的半径．
【解答】（1）证明：连接CO并延长交 AB于点 F ，连接 BE，
CD是 O的切线， OCD 90 ，
CD / /AB， OFB OCD 90 ，即OF AB， AF BF ， CF 是 AB的垂直平分线， AC BC；
（2）解： AF BF ，OB OE， OF 1 1 AE 8 4，
2 2
设OB OC r ，在Rt BCF和Rt BOF中，由勾股定理得： BF 2 CF 2 BC 2 ， BF 2 OF 2 OB2 ，
即 BF 2 (3 10)2 (r 4)2 ， BF 2 r2 42， (3 10)2 (r 4)2 r2 42 ，
解得 r1 5． r2 9 （舍去）． O的半径为 5．
{#{QQABIYQWU04ogAoQgAgJITAAACABB5gKCFEwwGG6aCCkkEQQsIkEBiLCUCgCEQQgRGCABBqAAEQoDAQABJNgANBIAAB=A}#A}=}#}
27．【问题情境】
（1）如图 1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面
积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转 45 （如图 2)，这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的
2 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图 3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边 a、 b、 c、 d之间存在某种数量关系．小昕按
所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图 4．请你结合整个变化过程，直接写出图 4中以矩形内一点 P为
端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图 5，在图 3 中“④”的基础上，小昕将 PDC绕点 P逆时针旋转，他发现旋转过程中 DAP存
在最大值．若 PE 8， PF 5，当 DAP最大时，求 AD的长；
【解答】解：（1） 正方形 ABCD，EFGH及圆为正方形 ABCD的内切圆，为正方形 EFGH的外接正方形，
设 AE DE DH CH CG BG AF BF m， A 90 ，
AB AD 2m， EF m2 m2 2m， S 2正方形ABCD 4m ， S正方形EFGH ( 2m)
2 2m2，
大正方形面积是小正方形面积的 2倍，故答案为：2；
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（2）如图，
EG FH， a2 OF 2 OE 2 ， c2 OG2 OH 2 ， d 2 OE 2 OH 2 ，b2 OF 2 OG2 ，
a2 c2 b2 d 2 ，结合图形变换可得： PA2 PC 2 PB2 PD2 ；
（3）如图， 将 PDC绕点 P逆时针旋转，
点D在以点 P为圆心， PD为半径的圆上运动，
A为圆外一个定点， 当 AD与 P相切时， DAP最大， PD AD，
AD2 AP2 PD2 ，由（2）可得： AE DF，
PE 8， PF 5， AD2 AP2 PD2 PE 2 AE 2 PF 2 DF 2 82 52 39， AD 39 ；6 20:07:51；用户： 15365143975；邮箱：15365143975；学号： 51233
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