2015-2016学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2015-2016学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 382.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-05 20:52:14 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．cos120°= ．
2．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（9，3），则a= ．
3．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P（3，﹣2），则tanα的值为 ．
4．已知集合A=[3，9），B=[a，+∞）．若A B，则实数a的取值范围是 ．
5．函数的定义域是 ．
6．已知向量=（4，2），=（3，﹣1），则向量与的夹角为 ．
7．扇形的半径为6，圆心角为，则此扇形的面积为 ．
8．计算：的值是 ．
9．若方程lg（x+1）+x﹣3=0在区间（k，k+1）内有实数根，则整数k的值为 ．
10．已知函数，则f（4）的值为 ．
11．已知向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），若∥，则的值为 ．
12．已知函数f（x）=sinx，，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2π，4π]内的零点个数为 ．
13．将函数f（x）=cosx图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则ω的最小值为 ．
14．已知函数f（x）=x2+|4x﹣a|（a为常数）．若f（x）的最小值为6，则a的值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，15-17每 ( http: / / www.21cnjy.com )题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数f（x）=sinx的值域为集合A，集合，全集U=R．
（1）求A∩B；
（2）求 U（A∪B）．
16．已知函数f（x）=Asin（3x+φ）在时取得最大值4，其中A＞0，0＜φ＜π．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若，求cos（3α+π）的值．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1），B（4，5），C（﹣1，﹣1）．
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）若向量与向量垂直，求实数t的值．
18．已知物体初始温度是T0，经过t分钟后物体温度是T，且满足，（Tα为室温，k是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的 95°C的热水，在15°C室温下，经过100分钟后降至25°C．
（1）求k的值；
（2）该浴场先用冷水将供应的热水从95°C ( http: / / www.21cnjy.com )迅速降至55°C，然后在室温15°C下缓慢降温供顾客使用．当水温在33°C至43°C之间，称之为“洗浴温区”．问：某人在“洗浴温区”内洗浴时，最多可洗浴多长时间？（结果保留整数）（参考数据：2﹣0.5≈0.70，2﹣1.2≈0.45）
19．已知函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）解不等式：f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0；
（3）若函数g（x）=lnx﹣（x﹣1）在 ( http: / / www.21cnjy.com )（1，+∞）上单调递减，比较f（2）+f（4）+…+f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由．
20．已知函数f（x）=x2﹣2x+a的最小值为0，a∈R．记函数．
（1）求a的值；
（2）若不等式g（2x）﹣m 2x+1≤0对任意x∈[﹣1，1]都成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程有六个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
2015-2016学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．cos120°= ．
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．
【分析】直接利用有时间的三角函数求解即可．
【解答】解：cos120°=﹣cos60°=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查三角函数的值的求法，诱导公式的应用，是基础题．
2．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（9，3），则a= ．
【考点】幂函数图象及其与指数的关系．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用点满足函数的解析式求出a即可．
【解答】解：幂函数f（x）=xa的图象经过点（9，3），
所以3=9a，a=．
故答案为：．
【点评】本题考查幂函数的解析式的应用，考查计算能力．
3．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P（3，﹣2），则tanα的值为 ﹣ ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；数形结合；定义法；三角函数的求值．
【分析】根据题意任意角三角函数的定义即可求出．
【解答】解：由α的终边经过点P（3，﹣2），
可知tanα==，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查任意角三角函数的定义，掌握任意角三角函数的定义是解题的关键．
4．已知集合A=[3，9），B=[a，+∞）．若A B，则实数a的取值范围是 （﹣∞，3] ．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】探究型；集合思想；集合．
【分析】由集合A，B又A B，可直接求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵集合A=[3，9），B=[a，+∞），
若A B，
∴a≤3
则实数a的取值范围是a≤3．
故答案为：（﹣∞，3]．
【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，是基础题．
5．函数的定义域是 {x|x≥1且x≠2} ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得：{x|x≥1且x≠2}；
故答案为：{x|x≥1且x≠2}．
【点评】本题考察了求函数的定义域问题，是一道基础题．
6．已知向量=（4，2），=（3，﹣1），则向量与的夹角为 ．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】函数思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】由题意和向量的夹角公式可得夹角余弦值，可得夹角．
【解答】解：∵向量=（4，2），=（3，﹣1），设与的夹角为θ，
∴由夹角公式可得cosθ===
由θ∈[0，π]可得夹角θ=
故答案为：
【点评】本题考查数量积和向量的夹角，属基础题．
7．扇形的半径为6，圆心角为，则此扇形的面积为 6π ．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值．
【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．
【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l=αr==2π，
根据扇形的面积公式可得S=lr==6π．
故答案为：6π．
【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题．
8．计算：的值是 5 ．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数，对数的性质、运算法则求解．
【解答】解：
=1+3×+lg100
=1+2+2
=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质及运算法则的合理运用．
9．若方程lg（x+1）+x﹣3=0在区间（k，k+1）内有实数根，则整数k的值为 2 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】令f（x）=lg（x+1）+x﹣3，则f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上单调递增，方程lg（x+1）+x﹣3=0的实数根即为f（x）的零点，根据 f（x）在（2，3）上有唯一零点，可得k的值．
【解答】解：令f（x）=lg（x+1）+x﹣3，则f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上单调递增，
由于f（2）=lg3﹣1＜0，f（3）=lg4＞0，
∴f（2）f（3）＜0，f（x）在（ 2，3）上有唯一零点．
∵方程lg（x+1）+x﹣3=0的实数根即为f（x）的零点，故f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上有唯一零点．
∴k=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，体现了化归与转化的数学思想，属于基础题．
10．已知函数，则f（4）的值为 10 ．
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】直接利用分段函数化简求解即可．
【解答】解：函数，
则f（4）=f（4+5）=f（9+5）=f（14）=14﹣4=10．
故答案为：10；
【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
11．已知向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），若∥，则的值为 ．
【考点】平行向量与共线向量；三角函数的化简求值．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】先求出tanθ的值，结合=，代入求出即可．
【解答】解：∵=（2，sinθ），=（1，cosθ），∥，
∴2cosθ=sinθ，
∴tanθ=2，
∴====；
故答案为：．
【点评】本题考察了平行向量问题，考察三角函数问题，是一道基础题．
12．已知函数f（x）=sinx，，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2π，4π]内的零点个数为 5 ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．
【分析】由h（x）=f（x）﹣g（x）=0．得f（x）=g（x），作出函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合进行判断即可．
【解答】解：由h（x）=f（x）﹣g（x）=0．得f（x）=g（x），
作出函数f（x）和g（x）的图象如图：
由图象知两个函数在区间[﹣2π，4π]内的交点个数为5个，
即函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2π，4π]内的零点个数为5个，
故答案为：5．
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【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．
13．将函数f（x）=cosx图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则ω的最小值为 6 ．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用三角函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得ω的最小值．
【解答】解：将函数f（x）=cosx图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
可得函数y=cos（ωx）的图象；
再将得到的图象向右平移个单位长度，可得函数y=cos[ω（x﹣）]=cos（ωx﹣）的图象；
再根据所得图象关于直线x=对称，可得：ω﹣=kπ，（k∈z），
即ω=6k，k∈z，
故φ的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
14．已知函数f（x）=x2+|4x﹣a|（a为常数）．若f（x）的最小值为6，则a的值为 ﹣10或10 ．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用．
【分析】去掉绝对值，讨论a ( http: / / www.21cnjy.com )=0，可得x=0处取得最小值；a＞0，0＜a≤8时，a＞8时，讨论对称轴和区间的关系，可得最小值，讨论a＜0，﹣8≤a＜0时，a＜﹣8时，讨论对称轴和区间的关系，即可得到最小值，解方程可得a的值．
【解答】解：f（x）=x2+|4x﹣a|= ( http: / / www.21cnjy.com )，
当a=0时，f（x）在x≥0递增，在x＜0递减，
可得x=0处取得最小值，且为0；
当a＞0时，f（x）在x≥递增，
若≤2，即0＜a≤8时，f（x）递减，
可得x=处取得最小值，且为，由=6，解得a=4＞8不成立；
若＞2，即a＞8时，f（x）在x＜2递减，2＜x＜递增，
即有x=2处取得最小值，且为4﹣8+a=6，解得a=10；
当a＜0时，f（x）在x＜递减，
若≥﹣2，即﹣8≤a＜0时，f（x）在x≥递增，
可得x=处取得最小值，且为，由=6，解得a=﹣4＜﹣8不成立；
若＜﹣2，即a＜﹣8时，f（x）在＜x＜﹣2递减，在x＞﹣2递增，
即有x=﹣2处取得最小值，且为4﹣8﹣a=6，解得a=﹣10．
综上可得a的取值为﹣10或10．
故答案为：﹣10或10．
【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的最值求法，讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．
二、解答题：本大题共6小题，15-17 ( http: / / www.21cnjy.com )每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数f（x）=sinx的值域为集合A，集合，全集U=R．
（1）求A∩B；
（2）求 U（A∪B）．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】由题意和交集并集的运算先求出A∩B，A∪B，再由补集的运算求出 U（A∪B）．
【解答】解：（1）∵f（x）=sinx的值域为集合A，
∴A=[﹣1，1]，
∵集合，
∴
（2）A∪B=[﹣1，+∞），
∵全集U=R．
∴CU（A∪B）=（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．
16．已知函数f（x）=Asin（3x+φ）在时取得最大值4，其中A＞0，0＜φ＜π．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若，求cos（3α+π）的值．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）根据函数的最值确定A，和φ的值即可得到结论．
（2）根据三角函数的诱导公式进行化简求解即可．
【解答】解：（1）因为函数f（x）=Asin（3x+φ）在时取得最大值4且A＞0．
所以A=4，且sin（3×+φ）=1，所以，（k∈Z），
又因为 0＜φ＜π，所以，…3分
即．
令，…5分
得．．…7分
所以函数y=f（x）的单调增区间为．…8分
（2）因为，，
所以．…11分
因此．．…14分
【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用以及三角函数值的化简和求解，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1），B（4，5），C（﹣1，﹣1）．
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）若向量与向量垂直，求实数t的值．
【考点】向量的减法及其几何意义．
【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．
【分析】（1）利用向量的坐标运算、数量积运算性质即可得出．
（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：（1），，
由，得，
由，得．
故以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长，．
（2），由向量与垂直，
得，
又，
∴（﹣3﹣4t×4）+（﹣2﹣5t）×5=0，解得．
【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．已知物体初始温度是T0，经过t分钟后物体温度是T，且满足，（Tα为室温，k是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的 95°C的热水，在15°C室温下，经过100分钟后降至25°C．
（1）求k的值；
（2）该浴场先用冷水将供应的热水从95°C迅速降至55°C，然后在室温15°C下缓慢降温供顾客使用．当水温在33°C至43°C之间，称之为“洗浴温区”．问：某人在“洗浴温区”内洗浴时，最多可洗浴多长时间？（结果保留整数）（参考数据：2﹣0.5≈0.70，2﹣1.2≈0.45）
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）通过将Tα=15、T0=95、T=25、t=100代入，进而计算可得结论；
（2）通过（1）将T0=55代入，整理得，利用2﹣0.5≈0.70、2﹣1.2≈0.45化简即得结论．
【解答】解：（1）将Tα=15、T0=95、T=25、t=100代入关系式，
得：25=15+（95﹣15） 2﹣100k，，
解得：；
（2）由（1），将T0=55代入关系式，
得：，
令，即，
∵2﹣0.5≈0.70，2﹣1.2≈0.45，
∴，
解得：，
∴某人在“洗浴温区”内洗浴时，最多可洗浴分钟．
【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．已知函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）解不等式：f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0；
（3）若函数g（x）=lnx﹣（x ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）在（1，+∞）上单调递减，比较f（2）+f（4）+…+f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可．
（3）根据函数单调性的性质结合对数函数的运算法则进行求解即可．
【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数．…1分
证明如下：
由，解得x＜﹣1或x＞1，
所以函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） …2分
对任意的x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
有，
所以函数f（x）为奇函数．…4分
（2）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则 ==，…5分
因为 x2＞x1＞1，所以 x1 x2+x2﹣x1﹣1＞x1 x2﹣（x2﹣x1）﹣1＞0，
所以，所 以 f（x1）﹣f（x2）＞0，
所以f（x1）＞f（x2），所以函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减；…7分
由f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0得：f（x2+x+3）＞﹣f（﹣2x2+4x﹣7），
即f（x2+x+3）＞f（2x2﹣4x+7），
又，2x2﹣4x+7=2（x﹣1）2+5＞1，
所以 x2+x+3＜2x2﹣4x+7，…9分
解得：x＜1或x＞4，
所以原不等式的解集为：（﹣∞，1）∪（4，+∞）．…10分
（3）f（2）+f（4）+…+f（2n）＞2n（n∈N*）．理由如下：…11分
因为，
所以 f（2）+f（4）+…+f（2n）﹣2n=ln（2n+1）﹣2n=ln（2n+1）﹣[（2n+1）﹣1]，…13分
又 g（x）=lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，
所以当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，所以 g（2n+1）＜0，…15分
即 ln（2n+1）﹣[（2n+1）﹣1]＜0，
故 f（2）+f（4）+…+f（2n）＞2n（n∈N*）．…16分
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及不等式的求解，结合对数的运算法则是解决本题的关键．
20．已知函数f（x）=x2﹣2x+a的最小值为0，a∈R．记函数．
（1）求a的值；
（2）若不等式g（2x）﹣m 2x+1≤0对任意x∈[﹣1，1]都成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程有六个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．
【专题】分类讨论；换元法；函数的性质及应用．
【分析】（1）配方，即可求出x=1时，二次函数的最小值，可得a=1；
（2）化简g（x），由题意可得2x+﹣2≤m 2x+1对任意的x∈[﹣1，1]都成立，即 [1+（）2﹣2 ]≤m对任意的x∈[﹣1，1]都成立，令t=，由x∈[﹣1，1]，t∈[，2]，即有不等式对任意的t∈[，2]都成立，求出右边函数的最大值，即可得到所求范围；
（3）讨论当x=0，2时，f（x） ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1=0，所以x=0，2不是方程的解；当x≠0且x≠2时，令t=|f（x）﹣1|=|x2﹣2x|，讨论x＜0，0＜x＜1，1＜x＜2，x＞2，结合单调性，求得t的范围，再由t2﹣（k+2）t+（2k+1）=0有两个不相等的实数根t1，t2，其中0＜t1＜1，t2＞1，运用二次方程实根分布即可得到所求范围．
【解答】解：（1）f（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1，
即有x=1时f（x）取最小值a﹣1，
令a﹣1=0，解得：a=1；
（2）由已知可得g（x）==x+﹣2，
故不等式g（2x）﹣m 2x+1≤0对任意的x∈[﹣1，1]都成立，
可化为：2x+﹣2≤m 2x+1对任意的x∈[﹣1，1]都成立，
即 [1+（）2﹣2 ]≤m对任意的x∈[﹣1，1]都成立，
令t=，由x∈[﹣1，1]，所以t∈[，2]，
则问题转化为不等式m≥（t﹣1）2对任意的t∈[，2]都成立，
记h（t）=（t﹣1）2，则，
所以m的取值范围是[，+∞）；
（3）当x=0，2时，f（x）﹣1=0，所以x=0，2不是方程的解；
当x≠0且x≠2时，令t=|f（x）﹣1|=|x2﹣2x|，
则当x∈（﹣∞，0）时，t=x2﹣2x递减，且t∈（0，+∞），
当x∈（0，1]时，t=2x﹣x2递增，且t∈（0，1]，
当x∈（1，2）时，t=2x﹣x2递减，且t∈（0，1），
当x∈（2，+∞）时，t=x2﹣2x递增，且t∈（0，+∞）；
故原方程有六个不相等的实数根可转化为t2﹣（k+2）t+（2k+1）=0
有两个不相等的实数根t1，t2，其中0＜t1＜1，t2＞1，
记φ（t）=t2﹣（t+2）t+（2k+1），
则，所以实数k的取值范围是（﹣，0）．
【点评】本题考查二次函数的最值的求法，考查不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式恒成立问题的解法，注意运用换元法和指数函数的单调性，以及函数方程的转化思想的运用，属于难题．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．cos120°= ．
2．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（9，3），则a= ．
3．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P（3，﹣2），则tanα的值为 ．
4．已知集合A=[3，9），B=[a，+∞）．若A B，则实数a的取值范围是 ．
5．函数的定义域是 ．
6．已知向量=（4，2），=（3，﹣1），则向量与的夹角为 ．
7．扇形的半径为6，圆心角为，则此扇形的面积为 ．
8．计算：的值是 ．
9．若方程lg（x+1）+x﹣3=0在区间（k，k+1）内有实数根，则整数k的值为 ．
10．已知函数，则f（4）的值为 ．
11．已知向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），若∥，则的值为 ．
12．已知函数f（x）=sinx，，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2π，4π]内的零点个数为 ．
13．将函数f（x）=cosx图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则ω的最小值为 ．
14．已知函数f（x）=x2+|4x﹣a|（a为常数）．若f（x）的最小值为6，则a的值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，15-17每 ( http: / / www.21cnjy.com )题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数f（x）=sinx的值域为集合A，集合，全集U=R．
（1）求A∩B；
（2）求 U（A∪B）．
16．已知函数f（x）=Asin（3x+φ）在时取得最大值4，其中A＞0，0＜φ＜π．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若，求cos（3α+π）的值．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1），B（4，5），C（﹣1，﹣1）．
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）若向量与向量垂直，求实数t的值．
18．已知物体初始温度是T0，经过t分钟后物体温度是T，且满足，（Tα为室温，k是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的 95°C的热水，在15°C室温下，经过100分钟后降至25°C．
（1）求k的值；
（2）该浴场先用冷水将供应的热水从95°C ( http: / / www.21cnjy.com )迅速降至55°C，然后在室温15°C下缓慢降温供顾客使用．当水温在33°C至43°C之间，称之为“洗浴温区”．问：某人在“洗浴温区”内洗浴时，最多可洗浴多长时间？（结果保留整数）（参考数据：2﹣0.5≈0.70，2﹣1.2≈0.45）
19．已知函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）解不等式：f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0；
（3）若函数g（x）=lnx﹣（x﹣1）在 ( http: / / www.21cnjy.com )（1，+∞）上单调递减，比较f（2）+f（4）+…+f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由．
20．已知函数f（x）=x2﹣2x+a的最小值为0，a∈R．记函数．
（1）求a的值；
（2）若不等式g（2x）﹣m 2x+1≤0对任意x∈[﹣1，1]都成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程有六个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
2015-2016学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．cos120°= ．
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．
【分析】直接利用有时间的三角函数求解即可．
【解答】解：cos120°=﹣cos60°=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查三角函数的值的求法，诱导公式的应用，是基础题．
2．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（9，3），则a= ．
【考点】幂函数图象及其与指数的关系．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用点满足函数的解析式求出a即可．
【解答】解：幂函数f（x）=xa的图象经过点（9，3），
所以3=9a，a=．
故答案为：．
【点评】本题考查幂函数的解析式的应用，考查计算能力．
3．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P（3，﹣2），则tanα的值为 ﹣ ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；数形结合；定义法；三角函数的求值．
【分析】根据题意任意角三角函数的定义即可求出．
【解答】解：由α的终边经过点P（3，﹣2），
可知tanα==，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查任意角三角函数的定义，掌握任意角三角函数的定义是解题的关键．
4．已知集合A=[3，9），B=[a，+∞）．若A B，则实数a的取值范围是 （﹣∞，3] ．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】探究型；集合思想；集合．
【分析】由集合A，B又A B，可直接求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵集合A=[3，9），B=[a，+∞），
若A B，
∴a≤3
则实数a的取值范围是a≤3．
故答案为：（﹣∞，3]．
【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，是基础题．
5．函数的定义域是 {x|x≥1且x≠2} ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得：{x|x≥1且x≠2}；
故答案为：{x|x≥1且x≠2}．
【点评】本题考察了求函数的定义域问题，是一道基础题．
6．已知向量=（4，2），=（3，﹣1），则向量与的夹角为 ．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】函数思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】由题意和向量的夹角公式可得夹角余弦值，可得夹角．
【解答】解：∵向量=（4，2），=（3，﹣1），设与的夹角为θ，
∴由夹角公式可得cosθ===
由θ∈[0，π]可得夹角θ=
故答案为：
【点评】本题考查数量积和向量的夹角，属基础题．
7．扇形的半径为6，圆心角为，则此扇形的面积为 6π ．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值．
【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．
【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l=αr==2π，
根据扇形的面积公式可得S=lr==6π．
故答案为：6π．
【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题．
8．计算：的值是 5 ．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数，对数的性质、运算法则求解．
【解答】解：
=1+3×+lg100
=1+2+2
=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质及运算法则的合理运用．
9．若方程lg（x+1）+x﹣3=0在区间（k，k+1）内有实数根，则整数k的值为 2 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】令f（x）=lg（x+1）+x﹣3，则f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上单调递增，方程lg（x+1）+x﹣3=0的实数根即为f（x）的零点，根据 f（x）在（2，3）上有唯一零点，可得k的值．
【解答】解：令f（x）=lg（x+1）+x﹣3，则f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上单调递增，
由于f（2）=lg3﹣1＜0，f（3）=lg4＞0，
∴f（2）f（3）＜0，f（x）在（ 2，3）上有唯一零点．
∵方程lg（x+1）+x﹣3=0的实数根即为f（x）的零点，故f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上有唯一零点．
∴k=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，体现了化归与转化的数学思想，属于基础题．
10．已知函数，则f（4）的值为 10 ．
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】直接利用分段函数化简求解即可．
【解答】解：函数，
则f（4）=f（4+5）=f（9+5）=f（14）=14﹣4=10．
故答案为：10；
【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
11．已知向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），若∥，则的值为 ．
【考点】平行向量与共线向量；三角函数的化简求值．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】先求出tanθ的值，结合=，代入求出即可．
【解答】解：∵=（2，sinθ），=（1，cosθ），∥，
∴2cosθ=sinθ，
∴tanθ=2，
∴====；
故答案为：．
【点评】本题考察了平行向量问题，考察三角函数问题，是一道基础题．
12．已知函数f（x）=sinx，，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2π，4π]内的零点个数为 5 ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．
【分析】由h（x）=f（x）﹣g（x）=0．得f（x）=g（x），作出函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合进行判断即可．
【解答】解：由h（x）=f（x）﹣g（x）=0．得f（x）=g（x），
作出函数f（x）和g（x）的图象如图：
由图象知两个函数在区间[﹣2π，4π]内的交点个数为5个，
即函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2π，4π]内的零点个数为5个，
故答案为：5．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．
13．将函数f（x）=cosx图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则ω的最小值为 6 ．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用三角函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得ω的最小值．
【解答】解：将函数f（x）=cosx图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
可得函数y=cos（ωx）的图象；
再将得到的图象向右平移个单位长度，可得函数y=cos[ω（x﹣）]=cos（ωx﹣）的图象；
再根据所得图象关于直线x=对称，可得：ω﹣=kπ，（k∈z），
即ω=6k，k∈z，
故φ的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
14．已知函数f（x）=x2+|4x﹣a|（a为常数）．若f（x）的最小值为6，则a的值为 ﹣10或10 ．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用．
【分析】去掉绝对值，讨论a ( http: / / www.21cnjy.com )=0，可得x=0处取得最小值；a＞0，0＜a≤8时，a＞8时，讨论对称轴和区间的关系，可得最小值，讨论a＜0，﹣8≤a＜0时，a＜﹣8时，讨论对称轴和区间的关系，即可得到最小值，解方程可得a的值．
【解答】解：f（x）=x2+|4x﹣a|= ( http: / / www.21cnjy.com )，
当a=0时，f（x）在x≥0递增，在x＜0递减，
可得x=0处取得最小值，且为0；
当a＞0时，f（x）在x≥递增，
若≤2，即0＜a≤8时，f（x）递减，
可得x=处取得最小值，且为，由=6，解得a=4＞8不成立；
若＞2，即a＞8时，f（x）在x＜2递减，2＜x＜递增，
即有x=2处取得最小值，且为4﹣8+a=6，解得a=10；
当a＜0时，f（x）在x＜递减，
若≥﹣2，即﹣8≤a＜0时，f（x）在x≥递增，
可得x=处取得最小值，且为，由=6，解得a=﹣4＜﹣8不成立；
若＜﹣2，即a＜﹣8时，f（x）在＜x＜﹣2递减，在x＞﹣2递增，
即有x=﹣2处取得最小值，且为4﹣8﹣a=6，解得a=﹣10．
综上可得a的取值为﹣10或10．
故答案为：﹣10或10．
【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的最值求法，讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．
二、解答题：本大题共6小题，15-17 ( http: / / www.21cnjy.com )每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数f（x）=sinx的值域为集合A，集合，全集U=R．
（1）求A∩B；
（2）求 U（A∪B）．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】由题意和交集并集的运算先求出A∩B，A∪B，再由补集的运算求出 U（A∪B）．
【解答】解：（1）∵f（x）=sinx的值域为集合A，
∴A=[﹣1，1]，
∵集合，
∴
（2）A∪B=[﹣1，+∞），
∵全集U=R．
∴CU（A∪B）=（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．
16．已知函数f（x）=Asin（3x+φ）在时取得最大值4，其中A＞0，0＜φ＜π．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若，求cos（3α+π）的值．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）根据函数的最值确定A，和φ的值即可得到结论．
（2）根据三角函数的诱导公式进行化简求解即可．
【解答】解：（1）因为函数f（x）=Asin（3x+φ）在时取得最大值4且A＞0．
所以A=4，且sin（3×+φ）=1，所以，（k∈Z），
又因为 0＜φ＜π，所以，…3分
即．
令，…5分
得．．…7分
所以函数y=f（x）的单调增区间为．…8分
（2）因为，，
所以．…11分
因此．．…14分
【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用以及三角函数值的化简和求解，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1），B（4，5），C（﹣1，﹣1）．
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）若向量与向量垂直，求实数t的值．
【考点】向量的减法及其几何意义．
【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．
【分析】（1）利用向量的坐标运算、数量积运算性质即可得出．
（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：（1），，
由，得，
由，得．
故以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长，．
（2），由向量与垂直，
得，
又，
∴（﹣3﹣4t×4）+（﹣2﹣5t）×5=0，解得．
【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．已知物体初始温度是T0，经过t分钟后物体温度是T，且满足，（Tα为室温，k是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的 95°C的热水，在15°C室温下，经过100分钟后降至25°C．
（1）求k的值；
（2）该浴场先用冷水将供应的热水从95°C迅速降至55°C，然后在室温15°C下缓慢降温供顾客使用．当水温在33°C至43°C之间，称之为“洗浴温区”．问：某人在“洗浴温区”内洗浴时，最多可洗浴多长时间？（结果保留整数）（参考数据：2﹣0.5≈0.70，2﹣1.2≈0.45）
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）通过将Tα=15、T0=95、T=25、t=100代入，进而计算可得结论；
（2）通过（1）将T0=55代入，整理得，利用2﹣0.5≈0.70、2﹣1.2≈0.45化简即得结论．
【解答】解：（1）将Tα=15、T0=95、T=25、t=100代入关系式，
得：25=15+（95﹣15） 2﹣100k，，
解得：；
（2）由（1），将T0=55代入关系式，
得：，
令，即，
∵2﹣0.5≈0.70，2﹣1.2≈0.45，
∴，
解得：，
∴某人在“洗浴温区”内洗浴时，最多可洗浴分钟．
【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．已知函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）解不等式：f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0；
（3）若函数g（x）=lnx﹣（x ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）在（1，+∞）上单调递减，比较f（2）+f（4）+…+f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可．
（3）根据函数单调性的性质结合对数函数的运算法则进行求解即可．
【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数．…1分
证明如下：
由，解得x＜﹣1或x＞1，
所以函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） …2分
对任意的x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
有，
所以函数f（x）为奇函数．…4分
（2）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则 ==，…5分
因为 x2＞x1＞1，所以 x1 x2+x2﹣x1﹣1＞x1 x2﹣（x2﹣x1）﹣1＞0，
所以，所 以 f（x1）﹣f（x2）＞0，
所以f（x1）＞f（x2），所以函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减；…7分
由f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0得：f（x2+x+3）＞﹣f（﹣2x2+4x﹣7），
即f（x2+x+3）＞f（2x2﹣4x+7），
又，2x2﹣4x+7=2（x﹣1）2+5＞1，
所以 x2+x+3＜2x2﹣4x+7，…9分
解得：x＜1或x＞4，
所以原不等式的解集为：（﹣∞，1）∪（4，+∞）．…10分
（3）f（2）+f（4）+…+f（2n）＞2n（n∈N*）．理由如下：…11分
因为，
所以 f（2）+f（4）+…+f（2n）﹣2n=ln（2n+1）﹣2n=ln（2n+1）﹣[（2n+1）﹣1]，…13分
又 g（x）=lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，
所以当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，所以 g（2n+1）＜0，…15分
即 ln（2n+1）﹣[（2n+1）﹣1]＜0，
故 f（2）+f（4）+…+f（2n）＞2n（n∈N*）．…16分
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及不等式的求解，结合对数的运算法则是解决本题的关键．
20．已知函数f（x）=x2﹣2x+a的最小值为0，a∈R．记函数．
（1）求a的值；
（2）若不等式g（2x）﹣m 2x+1≤0对任意x∈[﹣1，1]都成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程有六个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．
【专题】分类讨论；换元法；函数的性质及应用．
【分析】（1）配方，即可求出x=1时，二次函数的最小值，可得a=1；
（2）化简g（x），由题意可得2x+﹣2≤m 2x+1对任意的x∈[﹣1，1]都成立，即 [1+（）2﹣2 ]≤m对任意的x∈[﹣1，1]都成立，令t=，由x∈[﹣1，1]，t∈[，2]，即有不等式对任意的t∈[，2]都成立，求出右边函数的最大值，即可得到所求范围；
（3）讨论当x=0，2时，f（x） ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1=0，所以x=0，2不是方程的解；当x≠0且x≠2时，令t=|f（x）﹣1|=|x2﹣2x|，讨论x＜0，0＜x＜1，1＜x＜2，x＞2，结合单调性，求得t的范围，再由t2﹣（k+2）t+（2k+1）=0有两个不相等的实数根t1，t2，其中0＜t1＜1，t2＞1，运用二次方程实根分布即可得到所求范围．
【解答】解：（1）f（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1，
即有x=1时f（x）取最小值a﹣1，
令a﹣1=0，解得：a=1；
（2）由已知可得g（x）==x+﹣2，
故不等式g（2x）﹣m 2x+1≤0对任意的x∈[﹣1，1]都成立，
可化为：2x+﹣2≤m 2x+1对任意的x∈[﹣1，1]都成立，
即 [1+（）2﹣2 ]≤m对任意的x∈[﹣1，1]都成立，
令t=，由x∈[﹣1，1]，所以t∈[，2]，
则问题转化为不等式m≥（t﹣1）2对任意的t∈[，2]都成立，
记h（t）=（t﹣1）2，则，
所以m的取值范围是[，+∞）；
（3）当x=0，2时，f（x）﹣1=0，所以x=0，2不是方程的解；
当x≠0且x≠2时，令t=|f（x）﹣1|=|x2﹣2x|，
则当x∈（﹣∞，0）时，t=x2﹣2x递减，且t∈（0，+∞），
当x∈（0，1]时，t=2x﹣x2递增，且t∈（0，1]，
当x∈（1，2）时，t=2x﹣x2递减，且t∈（0，1），
当x∈（2，+∞）时，t=x2﹣2x递增，且t∈（0，+∞）；
故原方程有六个不相等的实数根可转化为t2﹣（k+2）t+（2k+1）=0
有两个不相等的实数根t1，t2，其中0＜t1＜1，t2＞1，
记φ（t）=t2﹣（t+2）t+（2k+1），
则，所以实数k的取值范围是（﹣，0）．
【点评】本题考查二次函数的最值的求法，考查不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式恒成立问题的解法，注意运用换元法和指数函数的单调性，以及函数方程的转化思想的运用，属于难题．
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