冀教版（2024）七年级上册数学 1.1 正数和负数 同步教案

第一章 有理数
一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“有理数”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题.“数与代数”是数学知识体系的基础之一,是初中数学学习的重要内容领域.在数学课程中承担了培养学生核心素养的重要功能,是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石.“数与式”主题的教学可以帮助学生学会用代数的基本语言描述和表达事物及其关系、规律,并进行运算、推理、交流.“有理数”是“数与式”主题的重要内容之一.本单元的学习主要侧重于学生对数系的扩充的认识,能借助数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小,并理解相反数与绝对值的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算,理解有理数的运算律,能利用运算律进行简化运算,并能运用有理数的运算解决简单的实际问题.在学习有理数的分类、归纳总结有理数的运算法则的过程中,初步体会分类讨论的数学思想方法,在理解有理数的减法可以转化成加法、除法可以转化成乘法的过程中渗透转化思想.能利用数轴上的点表示有理数,能借助数轴体会相反数和绝对值的意义,初步体会数形结合的数学思想方法.
“有理数”单元的教学,教科书为学生提供了主动从事观察、思考、探究、交流的内容,教师要为学生的活动提供充足的时间和空间,引导学生积极思考,帮助学生主动探究,鼓励学生表达与交流,从而使学生理解有理数的有关概念及其运算,并发展学生的思维能力.整个有理数单元的教学,运算贯穿始终,运算过程可以看作是推理过程,我们强调理解算理,掌握算法,算理是对运算推理过程的理解,算法是对算理的具体运算方法.在运算过程中要引导学生先观察运算对象,从整体把握运算结构,再结合运算对象的特点制定运算策略,正确使用运算法则,灵活运用运算律进行运算.在本单元的教学中要注意渗透数形结合、分类讨论、归纳、概括、转化、特殊与一般等数学思想方法,丰富学生解决问题的策略.在进行有理数的相关概念,有理数运算法则及建立数学模型的教学过程中,注意培养学生的数感,积累学生的数学活动经验.在利用有理数解决实际问题的过程中,引导学生体会数学知识与现实世界的联系,增强应用意识,体会数学的价值.
2.本单元教学内容分析
　 冀教版教材七年级上册第一章“有理数”,本章包括十一个小节:1.1正数和负数;1.2数轴;1.3绝对值与相反数;1.4有理数的大小;1.5有理数的加法;1.6有理数的减法;1.7有理数的加减混合运算;1.8有理数的乘法;1.9有理数的除法;1.10有理数的乘方;1.11有理数的混合运算.
本单元一共包括两部分核心内容:一是有理数及其相关概念,二是有理数的运算.其中有理数的概念是基础,包括正数和负数、有理数的分类、数轴、相反数与绝对值等;有理数的运算有加、减、乘、除、乘方运算,以及这些运算的运算律.这些运算的运算法则都是基于有理数的相关概念及现实意义给出的,运算律则是在这些运算法则的基础上推出来的,使含有多个数的运算能够更简便.在有理数的混合运算过程中,对运算对象的认识以及对算理的理解是否正确,能否灵活运用运算律进行计算对于学生来说是重点也是难点.恰当地运用运算律进行简便计算,对于学生的观察力有很强的要求,需要积累学习经验,提高计算的准确率和灵活性.
三、单元学情分析
本单元内容是冀教版教材数学七年级上册第一章有理数,从学生知识认知水平看,在小学阶段,学生已经认识了自然数、分数、小数等,对于相关知识与技能的掌握较好,但是学生对于有理数的分类,虽然有分类的意识,但是分类不准确,在它之后还将学习无理数、实数概念,多数学生只是单纯机械记忆而不能从本质上理解有理数的概念,这就会导致他们对有理数以及后续无理数、实数这三个抽象的数学概念混淆不清.在运算方面,学生对于各类运算的认识是孤立的、零散的,不能将所学运算之间的联系整合内化.从智力与能力发展的年龄特征看,七年级学生的思维正处在从以具体形象思维成分为主向抽象逻辑思维成分为主的转折期,因此,教材内容的呈现必须注意具体性、形象性,同时还要有适当的抽象、概括要求,才能既适应这一时期学生的能力发展水平,促进他们的思维向高一阶段发展.
四、单元学习目标
1.通过从现实情境中经历引入负数的过程,理解有理数的意义,培养学生的数感.
2.通过经历从现实情境中抽象出数轴的过程,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小,能借助数轴理解相反数与绝对值的意义,让学生体会数形结合的数学思想方法,发展数学思维能力.
3.经历有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则的获得过程,理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方以及简单的混合运算,让学生体会转化与分类讨论的数学思想方法,培养学生的运算能力与抽象概括能力.
4.理解有理数的运算律,并能用运算律进行简便运算,培养学生的运算能力和推理能力.
5.能够运用有理数的运算解决简单的实际问题,培养学生的数学建模能力与应用意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
有理数
课时划分 内容本质与研究方法
1.1 正数和负数 第1课时　具有相反意义的量 　　经历从实际生活中抽象出具有相反意义的量的过程,学生主动参与观察、思考、交流等活动,学会用带“+”或“-”的数表示具有相反意义的量
第2课时　有理数的分类 　　在理解有理数意义的基础上,经历按照不同标准对有理数分类的过程,通过思考、交流,初步体会分类的数学思想
1.2　数轴 　　经历从现实情境中抽象出数轴的过程,概括数轴的概念,知道数轴三要素,会画数轴,并且能用数轴上的点表示有理数,初步体会数形结合的数学思想方法
1.3　绝对值与相反数 　　借助数轴理解绝对值与相反数的意义,让学生通过观察、思考、交流的活动抽象概括出其概念及几何意义,运用由特殊到一般的数学思想方法求已知数的绝对值和相反数
1.4　有理数的大小 　　经历用数轴获得有理数大小比较法则的过程,体会类比与数形结合的数学思想方法,利用数轴和绝对值比较有理数的大小
1.5　有理数的加法 第1课时　有理数的加法法则 　　借助数轴获得有理数加法法则,在有理数加法法则的导出及运用过程中,学生独立分析问题,运用数形结合的方法解决问题
第2课时　有理数的加法运算律 　　按照有理数加法法则进行计算,通过观察计算结果,让学生概括有理数加法的运算律
1.6　有理数的减法 　　学生通过观察、类比等方法,将减法运算转化为加法运算,自主推导有理数减法法则
1.7　有理数的加减混合运算 　　通过加减法的相互转化,掌握有理数加减混合运算的运算法则
1.8　有理数的乘法 第1课时　有理数的乘法法则 　　通过对问题的变式探索,运用观察、归纳、类比的方法推导出有理数乘法法则,运用法则计算
第2课时　有理数的乘法运算律 　　通过对问题探索、分析,概括出乘法运算律,以及多个有理数相乘时积的符号的确定方法,以便简便运算
1.9　有理数的除法 经历探究有理数除法法则的过程,根据除法是乘法的逆运算,类比猜想得出其在有理数中仍然成立并通过计算加以验证
1.10　有理数的乘方 通过实际情境,让学生经历发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的过程,理解乘方的意义并能进行有理数的乘方运算
1.11　有理数的混合运算 通过回忆小学加减乘除混合运算的运算顺序,引导学生认识有理数的混合运算,并掌握有理数混合运算的运算法则
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
第1课时　具有相反意义的量
课时目标
1.经历从现实生活中的实例引出负数的过程,体会数学与现实生活的联系,发展学生的抽象能力与符号意识.
2.通过用带“+”或“-”的数表示生活中具有相反意义的量,知道具有相反意义的量之间的关系,发展学生的数感.
学习重点
理解具有相反意义的量.
学习难点
用带“+”或“-”的数表示具有相反意义的量.
课时活动设计
情境引入
观察下列图片,体会这些数是怎么产生和发展的.
想一想:这些数足以表示我们生活中的量吗
设计意图:让学生体会数的出现是现实生活的需要,发展学生的数感和符号意识,为本节课的学习作铺垫,同时也让学生体会到数学来源于生活而又服务于生活,提高学生的学习兴趣.
探究新知
探究1　具有相反意义的量
观察下列图片,并思考用什么数表示.
问题1:(1)向东和向西,购进和售出所表达的意义具有什么样的关系
(2)如果仅说3 km,1 km和100箱,90箱,能完整地表达它们的意义吗 为什么
学生先独立思考,然后小组进行交流,再由同学谈谈对上面两个问题的认识.
追问:怎样用符号表示具有相反意义的量呢
思考:如果规定向东为正,甲汽车向东行驶3 km表示为+3 km,那么乙汽车向西行驶1 km,怎样表示合适呢 若规定购进为正,超市购进某种饮料100箱表示为+100箱,那么超市售出这种饮料90箱,怎样表示合适呢
学生独立思考后,举手回答.
探究2　带“+”或“-”的数的认识
观察下列图片,思考问题:
生活费收支清单
日期 项目 收支情况 金额/元
8月15日 扫二维码支付给文具店 支出 21
8月17日 爸爸给的红包 收入 188
8月18日 扫二维码支付给超市 支出 100
8月20日 妈妈给的红包 收入 80
　图1　
　　　　图2
问题2:(1)图1中的21,188,100,80的含义分别是什么
(2)图2中,电梯按键上的“-2”与“2”所代表的含义有什么不同
(3)怎样用符号表示这些具有相反意义的量呢
学生先独立思考,然后举手回答问题.
教师引导学生总结出具有相反意义的量的特点:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的数的前面加上“+”(读作“正”)来表示;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的数的前面加上“-”(读作“负”)来表示.
探究3　带“+”或“-”的数的应用
做一做:
1.请仿照上述表示相反意义的量的方法,完成下表:
意义 向北走1.8 km 向南走3 km 盈利30% 亏损20% 水位上升 30 cm 水位 下降 　50 cm　
表示方法 +1.8 km 　-3 km　 +30% 　-20%　 +30 cm -50 cm
　　2.用带“+”或“-”的数表示下列具有相反意义的量:
(1)如果规定高于海平面记作正,那么,珠穆朗玛峰高于海平面8 848.86 m,可记作　-8 848.86　m,吐鲁番盆地最低点低于海平面154.31 m,可记作　-154.31　m.
(2)如果规定收入记作正,那么,小亮家的年收入126 800元可记作　+126 800　元;“-77 800元”表示小亮家　支出　(填“收入”或“支出”)了77 800元.
学生先独立思考,然后小组交流展评.
追问:你能举出现实生活中还可以用带“+”或“-”的数表示的具有相反意义的量吗
设计意图:让学生体会用符号表示数的简洁性,培养学生的符号意识.通过生活中的实例,让学生体会类比的数学思想方法,增强处理信息的能力,引导学生用带“+”或“-”的数来表示具有相反意义的量,培养学生的抽象概括能力,同时突破本节课的难点,培养学生的符号意识.
典例精讲
例　有一批白菜,以每筐25 kg为准,现抽取8筐样品进行称重,称后的记录如下(单位:kg):
26.5,22,27,24.5,26,23,23,22.5.
如果规定超过标准质量的部分记作正,请分别用带“+”或“-”的数表示样品质量与标准质量的差.
解:由题意,得这8筐样品质量与标准质量的差表示为+1.5 kg,-3 kg,+2 kg,-0.5 kg,+1 kg,-2 kg,-2 kg,-2.5 kg.
设计意图:通过例题,提高学生运用知识的能力和推理能力,加深学生用带“+”或“-”的数表示具有相反意义的量的理解与应用.
巩固训练
1.下列选项中,表示的不是一对具有相反意义的量的是(D)
A.超市购进30千克葡萄和卖出30千克葡萄
B.电梯上升10米和下降10米
C.高于警戒水位0.6米和低于警戒水位0.6米
D.年龄增加2岁和体重减少2千克
2.如果盈利50元记作+50元,那么亏损30元记作(C)
A.+30元　　　　B.-20元　　　　C.-30元　　　　D.+20元
3.某地冬季里某一天的气温为-3℃,“-3℃”的含义是(A)
A.零下3摄氏度　　　　　　　　　　B.零上3摄氏度
C.降低3摄氏度　　　　　　　　　　D.升高3摄氏度
4.在体育课立定跳远测试中,以2.00 m为标准,若小明跳出了2.35 m,可记作+0.35 m,则小刚跳出了1.65 m,应记作　-0.35 m　.
设计意图:通过设置不同形式的练习题,使学生所学知识得到巩固,也使学生的思维能力得到提高,能更好地将知识学以致用.
课堂小结
本节课我们研究用带“+”或“-”的数表示具有相反意义的量,请同学们带着以下问题进行总结:
(1)数是如何产生的 “+”或“-”可以表示生活中的哪些量
(2)在学习用带“+”或“-”的数表示具有相反意义的量的过程中,你经历了什么 这个过程中用到了哪些数学方法 积累了哪些活动经验
设计意图:学生通过自主反思,可进一步加深对具有相反意义的量的理解,通过运用数学思想解决问题,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考,使学生真正深入数学学习过程中,抓住数学思维的内在实质.
课堂8分钟.
1.教材第4,5页习题A组第1,2题,B组第3题.
教学反思

第2课时　有理数的分类
课时目标
1.通过具有相反意义的量的表示方法,引导学生理解正、负数的概念,会识别正、负数,培养学生的数感与符号意识.
2.了解有理数的概念,掌握有理数的分类方法,会将有理数恰当归类,体会分类讨论的数学思想方法,培养学生的数感.
学习重点
理解有理数的概念,并能掌握有理数的分类.
学习难点
熟练准确地进行有理数的分类.
课时活动设计
复习引入
上节课我们学习了用带“+”或“-”的数表示具有相反意义的量,请举例说明.
学生先独立思考,然后请同学回答.
例如:+2,-3,+8,-13,+20,-6,+290,-123,-53,+22,-43…
追问:观察这些数,它们有什么特征 你能将它们进行分类吗
设计意图:引导学生回顾上一节所学内容,让学生进行分类,体会分类讨论的数学思想方法,培养学生的抽象意识.
探究新知
探究1　正、负数的概念
思考:经过观察上一活动中的数,可以发现,它们都是在之前学过的数前面加上“+”或“-”得到的,你能尝试给这样的数下个定义吗
学生先独立思考,然后小组交流,最后由各组尝试给出定义,教师适当做出引导.
师生共同归纳正、负数的概念:像-3,-13,-6,-123,-53,-43等这样形式的数,它们都是在已学过的数(0除外)的前面加上“-”得到的,这样的数叫作负数;像+2,+8,+20,+290,+22等这样形式的数,都是在已学过的数(0除外)的前面加上“+”得到的,这样的数叫作正数.
0既不是正数也不是负数.正数中的“+”可以省略不写,如+2可以写成2,等等.
思考:(1)“-”为什么不能省略不写呢
(2)结合小学学过的各种数,请任意写出10个正数,10个负数(形式尽量多样).
学生先独立思考,然后小组讨论,最后展评.
探究2　有理数的认识及分类
教师将学生举出的正数和负数的例子写在黑板上,例如:
正数:+7,,998,4,70,+1.8%,,+17,3.8,+.
负数:-9,-4.5,-,-4,-2,-2.7%,-8,-2.7,-.
思考:你能将上述正、负数再进行分类吗 说一说你分类的依据.
学生分类,教师同步展示:
正整数:+7,998,4,70,+17;
正分数:,+1.8%,,3.8,+;
负整数:-9,-4,-2,-8;
负分数:-4.5,-,-2.7%,-2.7,-.
教师归纳总结:正整数、0和负整数统称为整数,正分数和负分数统称为分数,整数和分数统称为有理数.
任何分数都可以化为有限小数或无限循环小数;反过来,任何有限小数或无限循环小数都能表示成分数.例如:3.8=(3.8×10)÷10==.
设计意图:引导学生对数进行分类,并概括正、负数的概念,培养学生的抽象概括能力和分类意识,培养学生的发散思维,为进一步的分类作准备,发展学生的数感和符号意识.通过对数进行分类,培养学生科学严谨的态度,让学生知道分类要做到不重不漏,体会分类讨论的数学思想方法,培养学生的数感与抽象能力.
典例精讲
例1　读出下列各数,并把它们分别填入相应的圈内:
-8,,+7,-2.7,-,3.8,+,0.
正数:　　　　　负数:
整数: 负分数:
解:正数有,+7,3.8,+;负数有-8,-2.7,-;
整数有-8,+7,0;负分数有-2.7,-.
例2　(1)整数、负数有什么特点
(2)一个数不是正数就是负数,对吗
(3)下面的数是什么数
,,,0.2,4.25.
解:(1)整数包括正整数、0和负整数.负数包括负整数和负分数.
(2)不对.0既不是正数,也不是负数.0是正数与负数的分界.
(3)分数和小数,统称为分数.
教师提示:小学阶段的分数和小数在初中阶段统称为分数.
设计意图:通过例题,提高学生运用知识的能力,增强学生对数的分类意识,加深学生对有理数及其分类的理解与应用.
巩固训练
1.关于-4,,0.41,-1,0,3.14这六个数,下列说法错误的是(B)
A.-4,0是整数
B.,0.41,0,3.14是正数
C.-4,,0.41,-1,0,3.14是有理数
D.-4,-1是负数
2.下列说法正确的是(A)
A.自然数就是非负整数　　　　　　B.正数和负数统称为有理数
C.整数一定是正数　　　　　　　　D.分数包括正分数、负分数和0
3.某种试剂的说明书上标明保存温度是(10±2)℃,请你写出一个适合该试剂保存的温度:　9℃(答案不唯一,在8~12℃范围内即可)　.
设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.
课堂小结
本节课我们研究了正数和负数及有理数的概念,请同学们带着以下问题进行总结:
(1)有理数有几种分类方法 分别是什么
(2)在学习有理数的过程中,你经历了什么 这个过程中用到了哪些数学方法 积累了哪些活动经验
设计意图:学生通过自主反思,可进一步加深对正、负数及有理数概念的理解,通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考,使学生真正深入数学学习过程中,抓住数学思维的内在实质.
课堂8分钟.
1.教材第7,8页习题A组第2题,B组第4,5题,C组第6题选做.
教学反思