冀教版（2024）七年级上册数学2.7 角的和与差 同步教案

课时目标
1.结合具体图形,了解两个角的和与差的意义,并会进行角的和差计算,培养学生的几何直观.
2.了解角平分线,通过折纸活动,进一步理解角平分线的意义,培养学生主动探索的科学精神.
3.了解两角互余和两角互补的意义,通过探究了解同角(等角)的余角或补角相等,体会简单的数学推理.
学习重点
角平分线的意义,余角和补角的意义以及计算.
学习难点
复杂角度的计算.
课时活动设计
复习引入
如图所示,图中共有几个角 它们之间有什么关系
学生确定角的个数,明确角之间的和差关系.
教师关注:学生是否能发现角的和差关系,若学生仅说出它们的大小关系,教师可引导学生进一步观察图形,类比线段的和与差,发现角的和差关系.
追问:你能用符号表示这些角之间的和差关系吗
教师关注:学生能否理解角的和与差的意义.
设计意图:从角的比较大小关系上研究角的和与差,突出反映角的和与差的意义与度数间的关系,加深对角的和与差概念的理解.
探究新知
探究1　用角的和与差表示第三个角
思考:线段可以比较长短,可以进行线段的和与差运算;类似地,角也可以比较大小,也可以进行角的和与差运算,那么如何进行和与差的运算呢
如图,在∠AOB的内部做射线OC,那么AOB,∠AOC,∠COB之间有什么关系
学生先独立观察,再小组交流,选派学生代表回答探究问题.
解:观察可知,∠AOB=∠AOC+∠COB.
∠AOC=∠AOB-∠COB.
∠COB=∠AOB-∠AOC.
归纳:这就是用两个角的和与差表示第三个角.
探究2　角的平分线
问题1:如图,如果∠AOP=∠BOP,那么射线OP有什么特点
小组讨论,教师引导学生射线OP将∠AOB平分为两个相等的角,从而引出角平分线的概念.
角平分线的概念:特别地,如果从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,那么这条射线叫作这个角的角平分线.
教师引导学生探究通过折纸作出角的平分线.
按下列步骤操作:
(1)在半透明纸上画出∠AOB.
(2)折纸时,过顶点,使角的两边重合.
(3)把纸展开,以O为端点,沿折痕画射线OP,如图所示.
如图所示,射线OP就是所画角的平分线吗 说明理由.
理由:折叠角时,折痕与角两边所成的两个角重合,即两角的大小相等,根据定义可得角平分线.
观察图形,利用线段中点的定义,尝试用三种语言归纳角平分线,小组内互相交流.
归纳:
1.文字语言:射线OP是∠AOB的平分线.
2.图形语言:如图.
3.符号语言:∠AOP=∠BOP,
∠AOP=∠AOB,∠BOP=∠AOB,
∠AOB=2∠AOP,∠AOB=2∠BOP.
探究3　角的和与差的计算
问题2:已知∠1=103°24'28″,∠2=30°54″.求∠1+∠2和∠1-∠2的度数.
学生活动:请同学们自己在练习本上,尝试计算,遇到问题小组内互相交流.
教师规范过程:
解:∠1+∠2=103°24'28″+30°54″.
103° 24' 28″
+ 30° 54″
133° 24' 82″
　(82″=1'22″)
所以∠1+∠2=133°25'22″.
∠1-∠2=103°24'28″-30°54″
103° 24' 28″
- 30° 54″
73° 23' 34″
　(24'28″=23'88″)
所以∠1-∠2=73°23'34″.
探究4　余角与补角
1.角的互余和互补
已知∠α和∠β.
如果∠α+∠β=90°,那么就称∠α与∠β互为余角,简称互余.其中,∠α(∠β)叫作∠β(∠α)的余角.
如果∠α+∠β=180°,那么就称这两个角互为补角,简称互补.其中,∠α(∠β)叫作∠β(∠α)的补角.
2.余角和补角的计算
问题3:如果∠α=46°,那么它的余角是多少度 它的补角是多少度
解:由题意,得它的余角是90°-46°=44°.
它的补角是180°-46°=134°.
3.余角和补角的性质
问题4:如果∠1和∠2都是∠α的余角,那么∠1和∠2相等吗 请说明理由.
学生小组合作交流,得出结论.
解:∠1和∠2相等.
理由:因为∠1与∠α互余,所以∠1+∠α=90°.
因为∠2与∠α互余,所以∠2+∠α=90°.
所以∠1=90°-∠α,∠2=90°-∠α.
所以∠1=∠2.
用同样的方式可以说明:如果∠3和∠4都是∠β的补角,那么∠3=∠4.
追问:从中可以得出什么结论
小组讨论,师生共同归纳.
结论:同角(或等角)的余角相等,同角(或等角)的补角相等.
注意:(1)互余和互补都是两个角之间的数量关系的概念,不能单独说哪一个角是余角或补角.
(2)两个角互余或互补只是两个角的和为90°或180°,跟位置无关.
(3)当互补的两个角有公共顶点时,又称这两个角互为邻补角(简称邻补角).
设计意图:让学生通过观察、猜想、验证得到两个角之间的关系,对角的和差进行探究,得到角的平分线,余角、补角以及角的计算,发展学生的符号意识和几何直观能力.
典例精讲
例1　如图,已知OP是∠AOC的平分线,OQ是∠COB的平分线.
(1)若∠POC=21°,求∠AOC的度数;
(2)若∠BOC=40°,求∠COQ的度数;
(3)若∠AOB=82°,求∠POQ的度数.
解:(1)因为OP是∠AOC的平分线,∠POC=21°,
所以∠AOC=2∠POC=42°.
(2)OQ是∠COB的平分线,∠BOC=40°,
所以∠COQ=∠COB=×40°=20°.
(3)因为OP是∠AOC的平分线,OQ是∠COB的平分线,
所以∠POC=∠AOC,∠COQ=∠COB.
所以∠POQ=∠POC+∠COQ=∠AOC+∠COB=(∠AOC+∠COB)=∠AOB.
因为∠AOB=82°,所以∠POQ=×82°=41°.
例2　在图1中,∠AOB=90°;在图2中,∠DSE=180°.请写出每个图中互为余角、互为补角的角.
解:∠AOC与∠BOC互为余角,∠DSF与∠ESF互为补角.
设计意图:通过例题,巩固本节课所学知识,增强对新知的理解.
巩固训练
1.已知射线OA,OB,OC,且OC在∠AOB的内部,下列条件能判定OC是∠AOB的平分线的是 (D)
A.∠AOC=∠BOC B.∠AOB=2∠AOC
C.∠BOC=∠AOB D.以上选项都可以
2.如果∠AOC=∠DOB,那么∠AOD与∠COB相等吗 说明理由.
解:相等.
理由:因为∠AOC=∠DOB,
所以∠AOC+∠COD=∠DOB+∠COD.
所以∠AOD=∠COB.
3.如图,已知∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,请写出∠1,∠2,∠3,∠4中的等量关系,并试着说说理由.
解:∠1=∠2,∠3=∠4.
理由:因为∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°,所以∠1=∠2.
因为∠1+∠3=90°,∠1+∠4=90°,所以∠3=∠4(同角的余角相等).
设计意图:进一步巩固所学知识,拓展应用,培养学生巩固训练、积极思考的习惯.
课堂小结
1.本节课我们学习的内容是什么
2.通过本节课的探究活动,你有什么感受
设计意图:通过小结,学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第89页习题A组第1,2,3题,B组第4,5题,C组第6题.
教学反思