冀教版（2024）七年级上册数学 4.1 整式 同步教案

整式的加减
一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“整式的加减”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段代数式,包括代数式、整式、分式的概念及运算.课标重点强调数的意义、建立数感、理解代数式的表述功能、建立符号意识、理解运算的意义及运算的必要性.
人们对事物的认识,一般要经历从具体到抽象、再从抽象到具体,不断往复、逐步提高的过程,从“数的运算”到“式的运算”是这种从“具体到抽象”过程的进一步深入和发展.在本单元中,整式的概念、合并同类项、去括号法则和整式的加减运算等主要内容,既是以后学习整式乘法、分式运算、方程和函数等知识的基础,也是培养学生抽象思维能力的重要内容.
在学习整式的过程中,要把概念和运算紧密联系.新课标明确指出本单元的重点在于了解整式的概念,会进行简单的整式的加减运算,所以本单元的目标就是让学生理解并掌握整式的概念和掌握单项式的概念、系数、次数,多项式的概念、项、次数及同类项、合并同类项等内容,为下一步的学习打下坚实的基础.结合具体情境,充分展现知识发生、发展的过程,关注新旧知识间的联系,使学生体验从具体问题情境中抽象出数学符号的过程,发展符号意识,感受计算原理,提高运算能力,培养学生的应用意识.
2.本单元教学内容分析
　 冀教版教材七年级上册第四章“整式的加减”,本章包括四个小节:4.1整式;4.2合并同类项;4.3去括号;4.4整式的加减.
通过提供充分的素材,让学生经历用代数式表示数量的过程,进一步发展符号意识,教学活动应成为师生互动、共同提高的过程,正确处理教师的讲解和学生的活动之间的关系.结合现实的、富有趣味性的情境,探索合并同类项的法则,并学会运用加法结合律,乘法对加法的分配律等,通过数与式的类比,自然而合理地解决去括号问题.关注学生对算理的认识和理解,重视培养学生从不同角度展开对数学的思考以及分析问题与解决问题的能力,从情境问题到用整式表示的过程中,让学生学会有条理地表达自己的思考过程,开展用数学语言(代数式)合乎逻辑地进行讨论,提出疑问,让学生在经历“符号化”的过程中,体验数学抽象,初步发展推理能力,积累数学活动经验;保证学生掌握基本的运算技能,使学生能进行简单的整式的加减运算,并要求在每一步的算理教学中,教师不要人为拔高,达到教学目标要求即可;整式的加减运算是建立在数的运算基础上的,因此要强调运用数的运算律,保证基本运算技能的训练,同时要注意避免过多的、繁琐的运算.
三、单元学情分析
本单元内容是冀教版教材数学七年级上册第四章整式的加减,学生在前面已经学习了有理数的运算、用字母表示数和代数式,初步积累了用代数式表示数量的活动经验,在学习单项式的系数和次数,多项式的概念时会比较容易,但是多项式的次数和单项式的次数学生容易混淆,所以在教学过程中要进行重点强调.由于学生形象直观思维比较成熟,抽象思维比较薄弱,所以对于多项式的次数要重点进行讲解.
四、单元学习目标
1.理解整式的概念,知道单项式、多项式、整式与代数式的联系和区别,提高学生的辨析能力.
2.理解同类项的概念,会辨别同类项,并能熟练地合并同类项.
3.探索并掌握去括号法则,并能准确地去括号.
4.理解整式加减运算的算理,能进行简单的整式加减运算,在加减运算的过程中,感悟代数式推理的重要性,进一步提升数学抽象能力和运算能力.
5.能运用整式的有关知识解决一些实际问题,培养应用意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
整式的加减
课时划分 内容本质与研究方法
4.1　整式 第1课时　单项式 通过辨析有关代数式的特点,分析有关代数式的本质属性,有效准确地识别单项式
第2课时　多项式 类比单项式的学习方法,分析代数式的特点,归纳总结多项式的定义,培养学生的归纳概括能力
4.2　合并 同类项 第1课时　合并同类项 体会将一个多项式中的同类项进行合并的过程,通过具体情境让学生经历并感知合并同类项法则过程的重要性
第2课时　合并同类项 的应用　　　　　　 用代数式表示数量关系之后,运用合并同类项化简之后再求值计算较为简便
4.3　去括号 利用乘法对加法的分配律来探索并发现去括号法则,并鼓励学生运用法则解决问题
4.4　整式的加减 整式加减的过程本质上就是合并同类项,通过整式的加减运算,总结整式加减的一般步骤
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
第1课时　单　项　式
课时目标
1.通过经历列代数式的过程,了解单项式及单项式的次数、系数的概念,并能在具体问题中识别和运用,培养学生的观察、归纳能力.
2.经历在具体情境中用代数式表示数量关系的过程,体验数学抽象,发展符号意识.
3.在发现、探索、总结的过程中,让学生积累数学活动经验,提高数学素养,体会成功的乐趣.
学习重点
理解单项式及单项式的系数、次数的概念.
学习难点
能够准确地判断一个代数式是否是单项式,且能迅速而准确地确定一个单项式的系数和次数.
课时活动设计
情境引入
1.小亮家的电冰箱平均每天耗电量为m千瓦·时,那么n天耗电量为　mn　千瓦·时.
2.某物品包装箱的形状是长方体,如果包装箱的宽和高都为a cm,长为b cm,那么它的体积是　a2b　cm3.
3.一个两位数,个位数字是x,十位数字是y,这个两位数可表示为　10y+x　;如果个位数字与十位数字交换位置,所得的两位数可表示为　10x+y　.
4.为践行绿水青山就是金山银山的理念,实现美丽中国建设,某地计划逐年增加植树造林的面积.如果第一年植树造林a公顷,第二年比第一年增加了10%,那么第二年将比第一年的植树造林面积增加　10%a　公顷.
5.如图,在边长为a的正方形内,挖去一个底为b、高为的三角形,则剩下部分的面积为　a2-b　.
请同学们独立完成以上问题.
设计意图:复习巩固了用字母表示数和列代数式,同时得到了6个代数式,为引出单项式的概念作铺垫.
探究新知
探究　单项式及其相关概念
观察上面得到的代数式:mn,a2b,10y+x,10x+y,10%a,a2-b.
思考:从所含的运算来看,它们各自有什么特点 你能尝试给它们分类吗
学生讨论,教师引导学生概括单项式的概念.
单项式:像mn,a2b,10%a这样的代数式,它们都是由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式,我们把这样的代数式叫作单项式.
教师补充:单独一个数或一个字母也是单项式,如a,5.
思考:如果试着把单项式10%a中的因数分成两部分,该怎么分合适
学生小组内讨论后发表看法.
归纳:单项式可看成是由数字因数和字母因数两部分组成的,我们把单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.
如单项式mn的系数是1,次数是2;单项式10%a的系数是10%,次数是1.
设计意图:通过归纳体验,培养学生语言概括能力.
典例精讲
例1　请指出下列各代数式哪些是单项式,哪些不是,并说明理由.
x+y,-,2πr,5m,,b,5,.
解:-,2πr,5m,b,5是单项式;x+y不是积的形式,中x+y不是积的形式,是4与a相除得到,不符合单项式的定义.
总结:1.单项式中的数字与字母或字母与字母之间是相乘关系.
2.单独一个数或一个字母也是单项式.
例2　请指出下列单项式的系数和次数.
(1)a;　(2)-xy2;　(3)-;　(4)πx2y;　(5)-23a2b3.
解:(1)a的系数为1,次数为1.
(2)-xy2的系数为-1,次数为3.
(3)-的系数为-,次数为3.
(4)πx2y的系数为π,次数为3.
(5)-23a2b3的系数为-23,次数为5.
总结:1.单项式的系数包括它的符号,-x的系数是-1.
2.当单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写.
3.当字母的指数是1时,指数通常省略不写,如y的指数是1.
例3　请将下列问题的结果用代数式表示.如果是单项式,请指出它们的系数和次数.
(1)新能源汽车具有低能耗、低碳等特点,市场认可度持续提升.某品牌新能源汽车为了进一步提高市场占有率,将原价为a万元/辆的汽车按九折出售.如果一周内销售了这种汽车b辆,那么这周的销售额为多少万元
(2)小亮从图书馆返回家,若行走的速度为v m/min,则t min所走的路程是多少米
(3)如图,圆柱形容器内部的底面圆半径为r,液面高为h,那么其中液体的体积是多少
解:(1)这周的销售额为0.9ab万元.0.9ab是单项式,它的系数是0.9,次数是2.
(2)t min所走的路程是vt m.vt是单项式,它的系数是1,次数是2.
(3)容器中液体的体积是πr2h.πr2h是单项式,它的系数是π,次数是3.
设计意图:通过例题的讲解与示范,及时归纳总结,提高对重点知识的归纳能力,形成规律性的认识.
巩固训练
1.下列式子是单项式的是(B)　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　
A.a-1 B.a2 C.a+b D.a+b=1
2.若单项式-3x2y的系数是m,次数是n,则mn的值为(D)
A.9 B.3 C.-3 D.-9
3.请你写出三个不同的单项式,要求它们的系数是-2,所含字母都是x和y,且它们的次数都是4.
解:-2xy3,-2x2y2,-2x3y.
4.若(m-2)x2yn是关于x,y的一个四次单项式,m,n应满足的条件是什么
解:由题意可知,m,n要满足2+n=4,m-2≠0,
所以m≠2,n=2.
设计意图:通过对题目的辨析,巩固了单项式的概念及单项式的系数、次数的概念.
课堂小结
1.单项式:由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式;
2.单项式的系数:单项式中的数字因数叫作单项式的系数;
3.单项式的次数:单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数.
设计意图:让学生在总结中突破难点,培养学生总结概括的能力.
课堂8分钟.
1.教材第134页习题A组第1,2题,B组第3,4题,C组第5题.
第1课时　单　项　式
　　　1.单项式的概念.
2.单项式的次数和系数.
3.例题讲解.
教学反思
第2课时　多　项　式
课时目标
1.掌握多项式的概念及其项、次数、常数项的概念,进而理解整式的概念.
2.经历多项式、整式概念的形成和运用过程,知道多项式的项、次数的确定方法,进一步培养学生分析问题、解决问题的能力.
3.体会多项式、整式的实际背景,进一步感受字母表示数的意义,进一步培养学生积极思考的学习态度以及合作交流的意识.
学习重点
掌握整式的概念,掌握多项式的定义,多项式的项和次数以及常数项的概念.
学习难点
确定多项式的次数和项数并和单项式区分开来.
课时活动设计
情境引入
教师:上节课我们学习了单项式的有关概念,那请同学们看下面的一些问题.
1.下列代数式中,哪些是单项式 如果是单项式,请指出它们的系数和次数.
2xy,-4x,a+b,-xy,,m,-,-ab,π+2r.
解:2xy是单项式,系数是2,次数是2;-4x是单项式,系数是-4,次数是1;-xy是单项式,系数是-,次数是2;m是单项式,系数是1,次数是1;-是单项式,系数是-,次数是0;-ab是单项式,系数是-1,次数是2.
2.目前,地球上生存的生物约有150万种.其中,无脊椎动物约有m万种,脊椎动物约有　(150-m)　万种.
3.如图,城楼门口的形状下部是长方形,上部是半圆形,城楼门口的面积是　2ra+πr2　.
4.一个三位数,个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,则这个三位数是　100c+10b+a　.
请同学们独立完成以上问题.
设计意图:通过回顾有关单项式及代数式的知识,引导学生思考代数式和单项式之间的关系,引出本节课的学习内容.
探究新知
探究　多项式及其相关概念
观察教学活动1得到的代数式:150-m,2ra+πr2,100c+10b+a.
思考:从这些代数式所含的运算来看,它们各自有什么特点
学生讨论,教师引导学生总结归纳:
多项式的概念:像这样的代数式,它们都是由单项式相加组成的代数式,我们把这样的代数式叫作多项式.
问题1:多项式2ra+πr2是由几个单项式相加而得到的 每个单项式各指的是谁 是几次多项式
教师引导学生回答,根据学生的回答,给予肯定、否定或纠正.
解:在2ra+πr2中,是由两个单项式相加得到的,分别是2ra,πr2,就叫作二项式,两个单项式中,2ra的次数是2,πr2的次数是2,最高次数是二次,所以我们就说这个多项式的次数是二,整个多项式就叫作二次二项式.
学生讨论,师生共同归纳:
(1)多项式是若干个单项式的和.我们把多项式中的每一个单项式都叫作这个多项式的项,把不含字母的项叫作常数项.
(2)多项式含有几项,这个多项式就叫作几项式.
(3)在多项式里,最高次项的次数,叫作这个多项式的次数.多项式的次数是几,这个多项式就叫作几次式.
问题2:请同学们说出多项式3x2-y+3xy3+x4-1的项、常数项、项数、次数以及命名.
解:项有3x2,-y,3xy3,x4,-1;常数项为-1;项数为五,次数为四;命名为四次五项式.
引导学生归纳要点,总结注意多项式容易出现的问题:
(1)多项式的各项应包括它前面的符号;
(2)要确定一个多项式的次数,先要确定此多项式中各项(单项式)的次数,然后找次数最高的;
(3)一个多项式的最高次项可以不唯一;
(4)多项式没有系数的概念,但其每一项均有系数,每一项的系数也包括前面的符号.
教师活动:结合上节课所学的单项式及本节课所学的多项式,给出整式的概念.
整式的概念:单项式和多项式统称为整式.
设计意图:通过观察式子特点,讨论归纳多项式的概念,体现学生的主体作用和参与意识.通过教师引导,让学生总结归纳一些结论,培养学生的语言表达能力和总结归纳能力.
典例精讲
例1　下列多项式的项、常数项、次数分别是多少 它们分别是几次几项式 请填入表中.
多项式 2a-1 -2x+x2-3 x3-2xy2+y3-x2y
项 　2a,-1　 　-2x,x2,-3　 　x3,-2xy2,y3,-x2y　
常数项 　-1　 　-3　 　0　
次数 　1　 　2　 　3　
几次几项式 　一次二项式　 　二次三项式　 　三次四项式　
　　解:填表如上.
例2　如图,这是一个正方体和一个长方体的组合体.
(1)请用代数式表示这个组合体的体积.
(2)这个代数式是多项式还是单项式 如果是多项式,请写出它是几次几项式.
解:(1)这个组合体的体积是a3+a2b.
(2)这个代数式是多项式,它是三次二项式.
设计意图:通过例题的讲解与示范,加深对多项式、多项式的项、常数项、多项式的次数、整式等概念的理解.
巩固训练
1.如果多项式xn-2-5x+2是关于x的三次三项式,那么n等于(C)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如果一个多项式是五次多项式,那么这个多项式的每一项的次数(D)
A.都小于5 B.都大于5 C.都不小于5 D.都不大于5
3.如果多项式(-a-1)x2-xb+x+1是关于x的四次三项式,那么这个多项式的最高次项系数是　-　,a=　-1　.
4.多项式-x2y+x4y2-x-2的次数是　6　,常数项是　-2　.
5.若多项式3x4-3x2my-5xy是一个七次三项式,且n是二次项的系数,求m2+n的值.
解:因为多项式3x4-3x2my-5xy是一个七次三项式,n是二次项的系数,
所以2m+1=7,n=-5,解得m=3.
所以m2+n=32+(-5)=9-5=4.
设计意图:分析时紧扣多项式的定义,培养学生的逆向思维,使学生透彻理解多项式的有关概念,培养他们应用新知识解决问题的能力.
课堂小结
1.多项式,多项式的项,常数项,多项式的次数,整式等概念.
2.多项式不包含单项式,但它的每一项都是单项式.
3.多项式的次数其实是它的最高次项的次数.
4.注意:多项式的项应包括它的符号.
设计意图:培养学生养成系统整理知识的好习惯,加强教学反思,进一步提高教学效果.
课堂8分钟.
1.教材第137页习题A组第1,2,3题,B组第4,5题,C组第6题.
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教学反思