冀教版（2024）七年级上册数学 5.1 等式与方程 同步教案

一元一次方程
一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的“一元一次方程”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,在初中阶段学生将进一步学习负数、无理数,以及它们的四则运算,还将学习代数式、方程、不等式、函数等内容.“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系(相等关系和不等关系),是一类应用广泛的数学工具.有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念,发展运算能力.通过经历对现实问题中量的分析,借助用字母表示的未知数,建立两个量之间关系的过程,知道方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达,从而体会方程思想,体会算数与代数的差异.
一元一次方程是“数与代数”领域的主要内容,它在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位,本单元的学习内容主要有四个方面:第一,等式的基本性质;第二,方程的意义,构建一元一次方程的过程与方法;第三,一元一次方程的有关概念及其解法;第四,一元一次方程在解决一些简单的实际问题中的应用.这四个方面是一个连贯的整体.一元一次方程是一类重要的数学模型,它具有典型的示范性和指导性.首先,这一模型化思想,对其他方程模型、不等式模型、函数模型的学习,都起着启迪思维的重要作用;其次,在用它解决实际问题时,对其中数量关系的分析方法和认知途径,也是今后运用其他数学模型解决实际问题的重要基础;第三,一元一次方程的解法是一项数学基本技能,它对方程组、一元一次不等式及一元二次方程的求解,都将产生深远的影响.
2.本单元教学内容分析
　 冀教版教材七年级上册第五章“一元一次方程”,本章包括四个小节:5.1等式与方程;5.2一元一次方程;5.3解一元一次方程;5.4一元一次方程的应用.
本单元通过对等式的基本性质的探究过程,引出方程的概念,进而对一元一次方程进行探讨.利用等式的基本性质解一元一次方程,并能够运用一元一次方程来解决实际生活中的问题.通过一元一次方程的学习,明确方程是刻画现实世界数量关系的有效模型,对学生进一步学习一元一次不等式和一元二次方程积累一定的经验,建立了学生的模型观念,培养了学生的运算能力.
按照先经历、感知,再概括、提升,最后达到理性认识的过程来呈现主要内容.通过代数方法与算术方法的对比,引导学生体会“方程”的意义与作用,突出方程与生活的紧密联系,增强学生的应用意识.通过探究天平平衡现象的游戏,在领悟和感知等式基本性质的过程中,获得一元一次方程的解法.引导学生分析等式的变形依据,强调程序但不过分追求解一元一次方程的技巧.在用一元一次方程解决实际问题的过程中,强化引导学生分析情境中的数量关系,突出符号意识,增强学生的模型观念和运算能力.这样的教学能让学生增强对数学学习的兴趣.感悟数学论证的逻辑,体会数学的严谨性,形成初步的推理能力和重事实、讲道理的科学精神.
三、单元学情分析
本单元内容是冀教版教材数学七年级上册第五章一元一次方程,学生在前面已学习了代数式和整式,初步积累了用字母表示数的经验.根据学生的最近发展区创设特定情境,学生一直处于用字母表示数量关系的氛围之中,使学生更加主动地去探索等式的基本性质,培养学生良好的数学探究意识.合理应用等式的基本性质,探究解一元一次方程的步骤,解决一元一次方程在现实生活中的广泛应用是学习本单元内容的主要目标.
四、单元学习目标
1.引导学生经历一元一次方程的建立和运用的过程,使学生能根据具体问题中的数量关系列出方程,感受模型化过程,形成初步的方程思想.
2.能通过天平平衡问题探究和掌握等式的基本性质.提高学生的探究能力和推理能力.
3.了解方程、一元一次方程、方程的解等概念,会解一元一次方程,体会解方程过程中的“化归”思想,增强运算能力.
4.对于一些简单的实际问题,会分析其中的数量关系,列出一元一次方程并求解,能根据实际问题确定其解,使学生经历用数学解决实际问题的过程.培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.
5.通过一元一次方程模型的建立和应用,帮助学生提高数学抽象模型思想以及分析问题和解决问题的能力,增强数学的应用意识和学习数学的兴趣.
五、单元学习内容及学习方法概览
一元一次方程
课时划分 内容本质与研究方法
5.1　等式与方程 借助天平平衡的游戏,通过观察、对比和归纳,探究出等式的基本性质,体会等式变形的依据,掌握等式的基本性质并熟练运用
5.2　一元一次方程 借助由特殊到一般的的研究思路,归纳一元一次方程的概念,能根据方程解的定义求字母的值
5.3　解一元一次方程 第1课时　用移项解一元一次方程 借助等式的基本性质理解移项的概念,用移项、合并同类项解一元一次方程,发展运算能力和思维能力
第2课时　用去括号、去分母解一元一次方程 用去括号、去分母解一元一次方程,借助由特殊到一般的的研究思路,归纳解一元一次方程的一般步骤
续表
一元一次方程
课时划分 内容本质与研究方法
5.4　一元一次方程的应用 第1课时　用一元一次方程解决和差倍分问题 能从实际问题中抽象出数量之间的等式关系,会解决有关一元一次方程的简单问题,发展学生的的应用意识,培养学生分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念.(鸡兔同笼、和差倍分,各分量的和等于总量)
第2课时　用一元一次方程解决行程问题与工程问题 能从实际问题中抽象出数量之间的等式关系,会解决有关一元一次方程的简单问题,发展学生的的应用意识,培养学生分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念(工程问题、行程问题)
第3课时　同一个量的不同表示问题 能从实际问题中抽象出数量之间的等式关系,会解决有关一元一次方程的简单问题,发展学生的应用意识,培养学生分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念(追及问题,同一个量的不同表示)
第4课时　用一元一次方程解决储蓄问题与销售问题 能从实际问题中抽象出数量之间的等式关系,会解决有关一元一次方程的简单问题,发展学生的的应用意识,培养学生分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念(增长率问题、储蓄、销售问题)
第5课时　用一元一次方程解决几何问题与分段计费问题 能从实际问题中抽象出数量之间的等式关系,会解决有关一元一次方程的简单问题,发展学生的的应用意识,培养学生分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念(几何问题、分段问题)
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
课时目标
1.借助天平平衡的游戏,通过观察、操作、归纳、猜想的过程增强学生的合作意识,探究出等式的基本性质,体会等式变形的依据,掌握等式的基本性质并熟练运用.体验数学活动的探索性和创造性,发展学生的抽象概括能力.
2.理解方程是等式,能根据等式的基本性质对方程变形,进一步发展学生的运算能力.
3.利用等式的基本性质求字母或式子的值,培养学生会用数学知识解决简单问题的能力.
学习重点
等式的基本性质.
学习难点
等式的基本性质的探究.
课时活动设计
复习引入
小学的时候我们已经学习了像2x=50,3x+1=4,5x-7=8这样的方程,其中x表示未知数,你还记得怎样根据问题中的数量关系列方程吗 又怎样解方程呢 找学生回答.
设计意图:通过复习简单的方程,引出等式的基本性质,为本节课学习内容作铺垫.
探究新知
探究1　等式的性质
问题:如图,天平处于平衡状态表示两边物体的质量相等,如果一个球的质量为x g,一个正方体的质量为1 g.通过观察操作,请你说出一个球的质量是多少克.
学生动手操作,小组合作交流,在草稿纸上画图,尝试写出等式并解答.
教师提示:可以通过增加或减少一定数量的球或正方体,使天平仍平衡.在探索天平平衡的过程中,球或正方体可看作不同的代数式.
找小组代表上黑板演示:
通过上面天平的图式以及等式3x+1=x+5的变形情况,等式两边同时减去1(或减去x),得到的是等式;在等式两边同时乘,得到的仍是等式.
师生共同归纳等式的基本性质:
1.等式的两边加上(或减去)同一个数或同一个整式,结果仍是等式,即
如果a=b,那么a±c=b±c.
2.等式的两边乘(或除以)同一个数(除数不等于0),结果仍是等式,即
如果a=b,那么ac=bc.
探究2　方程的概念
思考:观察黑板上的等式,你能尝试总结出方程的概念吗
师生共同总结:像3x+1=x+5,3x=x+4,2x=4,x=2这样的等式.其中,x是未知数.我们把这样含有未知数的等式叫作方程.
设计意图:借助天平平衡状态,探究出等式的基本性质,进而得到方程的概念.在此过程中培养学生的表达能力和总结能力,学会用数学语言表达现实世界.
典例精讲
例1　填空.
(1)如果a+2=b+7,那么a=　b+5　;
(2)如果3x=9y,那么x=　3y　;
(3)如果a=b,那么3a=　2b　.
例2　请在括号中写出下列等式变形的理由:
(1)如果a-3=b+4,那么a=b+7(　等式的基本性质1　);
(2)如果3x=2y,那么x=y(　等式的基本性质2　);
(3)如果-x=-y,那么x=2y(　等式的基本性质2　);
(4)如果2a+3=3b-1,那么2a-6=3b-10(　等式的基本性质1　).
设计意图:通过例题,巩固本节课所学内容,达到熟练运用等式的基本性质的目的.
巩固训练
1.如果ac=ab,那么下列各式不一定成立的是(D)
A.ac-1=ab-1　　　　　　　　　B.ac+a=ab+a
C.-3ac=-3ab D.c=b
2.下列变形中,不正确的是(D)
A.由y+3=5,得y=5-3 B.由3y=4y+2,得3y-4y=2
C.由y=-2y+1,得y+2y=1 D.由-y=6y+3,得y-6y=3
3利用等式的基本性质,把下列方程化成x=a的形式.
(1)x-3=-11;　(2)2x+4=10.　(3)x+3=8-2x.
解:(1)两边都加上3,得x-3+3=-11+3.
所以x=-8.
(2)两边都减去4,得2x+4-4=10-4.
所以2x=6.
两边都除以2,得=,
所以x=3.
(3)两边都减去3,得x+3-3=8-2x-3.
所以x=5-2x.
两边都加上2x,得x+2x=5-2x+2x.
所以3x=5.
两边都除以3,得=.
所以x=.
设计意图:通过练习,进一步熟悉等式的基本性质,并学会用等式的基本性质把方程进行变形.在此过程中也培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.
课堂小结
今天我们学习了哪些知识
1.等式的基本性质是什么
2.运用等式的基本性质如何将方程化为x=a的形式
设计意图:通过小结,学生复述本节课所学知识,使学生牢固掌握本节课所学内容,培养学生及时总结的良好学习习惯.
课堂8分钟.
1.教材第158,159页习题A组第1,2,4题,B组第5,6题.
5.1　等式与方程
　　　　1.等式的基本性质:
(1)等式的两边加上(或减去)同一个数或同一个整式,结果仍是等式,即
如果a=b,那么a±c=b±c.
(2)等式的两边乘(或除以)同一个数(除数不等于0),结果仍是等式,即
如果a=b,那么ac=bc.
2.方程式的概念:含有未知数的算式.
教学反思