人教版2023-2024学年九年级数学上册24.3正多边形和圆同步练习
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知正多边形的边心距与边长的比为,则此正多边形为( )
A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形
2.只用下列图形中的一种,能够进行平面镶嵌的是( )
A.正十边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正五边形
3.以下说法正确的是
A.每个内角都是120°的六边形一定是正六边形.
B.正n边形的对称轴不一定有n条.
C.正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数.
D.正多边形一定既是轴对称图形,又是中心对称图形.
4.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,若直线PA与⊙O相切于点A,则∠PAB=( )
A.30° B.35° C.45° D.60°
5.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为( )
A.2, B.2 ,π C., D.2,
6.如图,有一圆内接正八边形,若的面积为10,则正八边形的面积为何?( )
A.40 B.50 C.60 D.80
7.如图,一种电子游戏,电子屏幕上有一正六边形,点P沿直线从右向左移动,当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时,就会发出警报,则直线上会发出警报的点P有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
8.将边长为3cm的正三角形各边三等分,以这6个分点为顶点构成一个正六边形,则这个正六边形的面积为( )
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
9.如图所示,的内接多边形的周长为3,的外切多边形的周长为,则下列各数中与此圆的周长最接近的是( )
A. B. C. D.
10.小敏在作⊙O的内接正五边形时,先做了如下几个步骤:
(1)作⊙O的两条互相垂直的直径,再作OA的垂直平分线交OA于点M,如图1;
(2)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交CA于点D,连结BD,如图2.若⊙O的半径为1,则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.要使正六边形旋转后能与自身重合,至少应将它绕中心逆时针方向旋转 .
12.如图,平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边,则∠α等于 °.
13.已知正六边形ABCDEF内接于⊙O,图中阴影部分的面积为,则⊙O的半径为 .
14.从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形,则此正方形的边长为 .
15.如图所示,以六边形的每个顶点为圆心,1为半径画圆,则图中阴影部分的面积为 .
16.如图,正六边形ABCDEF的边长为2cm,点P为这个正六边形内部的一个动点,则点P到这个正六边形各边的距离之和为 cm
三、解答题
17.如图,正外接圆的半径为,求正的边长,边心距,周长和面积.
18.如图,正八边形内接于,为弧上的一点(点不与点A,重合),求的度数.
19.比较正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点和不同点.例如:
它们的一个相同点:正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等.
它们的一个不同点:正五边形不是中心对称图形,正六边形是中心对称图形.
请你再写出它们的两个相同点和不同点:
相同点:
① ;
② .
不同点:
① ;
② .
20.如图,是的内接正五边形.求证:.
21.已知如图,的内接中,,弦分别,且,求证:五边形是正五边形.
22.如图,是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆.
正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为______;
连接BE,BE是否为的内接正n边形的一边?如果是,求出n的值;如果不是,请说明理由.
23.请用无刻度直尺完成下列作图,不写画法,保留画图痕迹(用虚线表示画图过程,实线表示画图结果).
(1)如图1,E是平行四边形ABCD边AD上一点,过点A画一条直线,使其与EC平行;
(2)如图2,正六边形ABCDEF(六边相等,六角相等的六边形),在图中画一条直线,使其垂直平分AF;
(3)如图3,⊙O是四边形ABCD的外接圆,且AB=BC=CD,在图中画一条异于BC的直线,使其与AD平行.
24.如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON
(1)求图1中∠MON的度数
(2)图2中∠MON的度数是 ,图3中∠MON的度数是
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____
参考答案:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A D A C A C C
11.60
【分析】本题主要考查了正六边形与圆.根据正六边形的性质可得相邻的对应点与中心连线的夹角,即可求解.
【详解】解:根据正六边形的性质得,相邻的对应点与中心连线的夹角为:,即至少应将它绕中心逆时针方向旋转.
故答案为:60
12.72
【分析】先分别求出正五边形的一个内角为108°,正方形的每个内角是90°,再根据圆周角是360度求解即可.
【详解】正五边形的一个内角为108°,正方形的每个内角是90°,
所以∠α=360°-108°-90°-90°=72°,
故答案为72.
【点睛】本题考查了多边形的内角和,熟练掌握多边形内角和公式:(n-2) 180°是解题的关键.
13.4.
【详解】试题分析:要求三角形的面积就要先求出它的边长,根据正多边形与圆的关系即可求出.
解:阴影部分是一个正三角形,连接DO并延长,交BF于点G.
设边长是a,
则面积是,
得到=12,
解得a=4,
则DG=BD sin60°=4×=6
因而半径OD=DG=6×=4.
考点:正多边形和圆.
14.cm
【分析】因为要想裁出一块面积最大的正方形,需要正方形边长最长,所以正方形的四个顶点在圆周上,由此可画出图形;连接OA,过O作OE⊥AD交AD与E,在Rt△AEO中,由勾股定理可得出边长.
【详解】解:设该正方形的边长为x,则:
要想裁出一块面积最大的正方形,需要正方形边长最长,所以正方形的四个顶点在圆周上,
如下图所示:
连接OA,过O作OE⊥AD交AD与E,则:
在Rt△AEO中,由勾股定理得:
,
解得:,
∴该正方形的边长为.
故答案为.
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用.
15.
【分析】本题主要考查了扇形的面积.先求出六边形的内角和,再根据扇形的面积公式即可求出.
【详解】解:六边形的内角和为,
所以图中阴影部分的面积为.
故答案为:
16.6
【详解】试题解析:如图所示,过P作PH⊥BC于H,
根据正六边形的性质可知,∠BPC=60°,
即∠BPH=∠BPC=×60°=30°,BH=BC=×2=1cm;
∴PH=
∴正六边形各边的距离之和=6PH=6×=6cm.
考点:正多边形和圆.
17.边心距,边长为,周长是,面积是.
【分析】连接,延长交于D,根据等边三角形性质得出,,进而求得;再根据勾股定理求出,即可求出,进而求得周长和面积.
【详解】解:如图:连接,延长交于D,
∵正外接圆是,
∴,
∴边心距,
由勾股定理得:,
∴三角形边长为,,
∴的周长是;
的面积是.
【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点,正确作辅助线后求出的长是解题的关键.
18.
【分析】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用,连接、、,根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数,根据圆周角定理求出的度数.
【详解】解:如图,连接、、,
∵八边形是正八边形,
∴,
∴,
∴.
19.见解析
【分析】根据正多边形的定义,性质,对称性,对角线的特点,中心角的大小、内角的大小,外角的大小去辨析解答即可.本题考查了正多边形的定义和性质,熟练掌握性质是解题的关键.
【详解】相同点:①正五边形的和正六边形都是轴对称图形.
②正五边形和正六边形的外角和都是.
不同点:①正五边形的对角线都相等;正六边形对角线不全等.
②正五边形的对角线不交于同一点;正六边形对角线过中心的三条交于同一点.
20.证明见解析
【分析】根据正五边形的性质求出,根据三角形的内角和定理,可得∠CBD的度数,进而可得出∠ABD的度数,然后根据同旁内角互补,两直线平行可证得结论.
【详解】证明:∵是正五边形,
∴.
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查的是正多边形和圆,熟知正五边形的性质是解答此题的关键.
21.详见解析.
【分析】此题考查了正多边形和圆,欲求证五边形是正五边形,就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等即可.
【详解】在中,∵,
∴,
又∵弦分别,,
∴,
∴,
又∵,
∴,即,
∴点A,E,B,C,D把五等分,
∴五边形是正五边形
22.(1);(2)是,n=12.
【详解】试题分析:(1)连接、、,设半径为,根据中心角的度数可知正六边形的相邻两半径与边构成等边三角形,从而可用含r的式子表示边长,同理也用含r的式子表示正方形的边长,即可得;
(2)求出∠BOE的度数,然后去除360°,根据所得的商即可得.
试题解析:()连接、、,
设半径为,
,,
是等腰直角三角形,,
是等边三角形,,
∴.
()若是,则,
又∵,∴,,
故是⊙内接正十二边形.
23.(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【分析】(1)连接AC,BD交于点O,作直线OE交BC于F,作直线AF即可.
(2)连接AE,BF交于点G,连接BD,CE交于点H,作直线GH即可.
(3)作直径BE,CF,作直线EF即可.
【详解】解:(1)如图1,直线AF即为所求作.
(2)如图2,直线GH即为所求作.
(3)如图3,直线EF即为所求作.
【点睛】本题考查作图-复杂作图,线段的垂直平分线,平行四边形的性质,正多边形和圆等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
24.(1);(2),;(3).
【分析】(1)如图(见解析),先根据圆内接正三角形的性质可得,再根据圆内接正三角形的性质可得,然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,最后根据角的和差、等量代换即可得;
(2)如图(见解析),先根据圆内接正方形的性质可得,再根据(1)同样的方法可得;先根据圆内接正五边形的性质可得中心角,再根据(1)同样的方法可得;
(3)根据(1)、(2)归纳类推出一般规律即可得.
【详解】(1)如图,连接OB、OC,则,
是内接正三角形,
中心角,
∵点O是内接正三角形ABC的内心,
∴,
∴,
在和中,,
∴,
∴,
∴,
故答案为:;
(2)如图1,连接OB、OC,
四边形ABCD是内接正方形,
中心角,
同(1)的方法可证:;
如图2,连接OB、OC,
五边形ABCDE是内接正五边形,
中心角,
同(1)的方法可证:,
故答案为:,;
(3)由上可知,的度数与正三角形边数的关系是,
的度数与正方形边数的关系是,
的度数与正五边形边数的关系是,
归纳类推得:的度数与正n边形边数n的关系是,
故答案为:.
【点睛】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点,熟练掌握正多边形中心角的求法是解题关键.