人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.3等腰三角形（二阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2024八上·余姚期末）下列命题中是真命题的是（ ）
A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等
2．（2021八上·罗庄期中）如图，在 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2024八上·长乐期末）如图，在中，点D在上，的垂直平分线与于点M，的垂直平分线与于点N，若的三个内角皆不相等，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020八上·濉溪期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BM⊥AD，垂足为M，且AB=5，BM=2，AC=9，则∠ABC与∠C的关系为（ ）
A．∠ABC=2∠C B．∠ABC= ∠C
C． ∠ABC=∠C D．∠ABC=3∠C
5．（2024八上·海曙期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·滨江期末）如图，在中，，，等边的顶点在上，边交于点，若，，则的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024八上·老河口期末）如图， 是边长为 20 的等边三角形， 点 是BC边上任意一点， 于点 于点， 则（ ）
A．5 B．20 C．15 D．10
8．（2023八上·清原期末）如图，在△ABC中，和的角平分线相交于点O，过点O作交于E，交于F，过点O作于D．下列四个结论：
①；
②；
③点O到各边的距离都相等；
④设，，则．
其中正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分）
9．（2024八上·重庆市开学考）如图，在中，D为边上一点，且平分，过A作于点E．，若，，，则 ．
10．（2019八上·徐州月考）如图， 中， ， ，点 为 中点，且 ， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，则 为 度.
11．（2021八上·长春期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．
12．（2024八上·播州期末）如图，在中，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点、分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，则的值为 ．
13．（2024八上·武侯开学考）如图，为线段上一动点点不与点、重合，在同侧分别作等边和等边，与交于，与相交于P，与交于点，连结，以下五个结：①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论有 只填序号．
三、解答题
14．（2024八上·西吉期末）如图1，直线，平分，过点B作交于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度运动；已知，设动点D，E的运动时间为t．
（1）当点D沿射线方向运动，满足，试求运动时间t的值；（提示：过点B作，垂足为F）
（2）当点D在射线或射线的反向延长线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．
15．（2024八上·遵义期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DC⊥AC，垂足为C，AD交线段BC于F，E是AC边上一点，连接BE，交AD于点G且BE＝AD．
（1）猜猜BE与AD有怎样的位置关系？说说你的理由；
（2）若BE是∠ABC的角平分线，试说明△CFD是等腰三角形．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线（三线合一），A正确；
B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，B错误；
C、等腰三角形可能是锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，C错误；
D、有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，D错误；
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用角的运算可得∠BCD=∠A=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC=8，，最后利用线段的和差计算可得。
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】证明：延长BM，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BM⊥AD，
∴∠BAM=∠EAM，∠AMB=∠AME
又∵AM=AM，
∴△ABM≌△AEM，
∴BM=ME，AE=AB，∠AEB=∠ABE，
∴BE=BM+ME=4，AE=AB=5，
∴CE=AC-AE=9-5=4，
∴CE=BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠EBC=∠C，
又∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC.
∴∠ABE=2∠C，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=3∠C.
故答案为：D.
【分析】延长BM到E，证明△ABF≌△AEM，利用线段长度推出△BCE是等腰三角形，再根据角度转换求出即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵BP⊥AP，
∴∠APB=∠BPD=90°，
∴∠BAP=∠BDP，
∴AB=BD，
∴AP=PD，
∴S△APB=S△BPD，S△APC=S△CPD，
∴S△APB+S△APC=S△BPD+S△CPD=S△BPC=S△ABC=×10=5.
故答案为：C.
【分析】延长AP交BC于点D，利用角平分线的定义和垂直的定义可证得∠ABP=∠CBP，∠APB=∠BPD，利用三角形的内角和定理可证得∠BAP=∠BDP，利用等角对等边可证得AB=BD，利用等腰三角形的性质可得到AP=PD，利用三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，可证得S△APB=S△BPD，S△APC=S△CPD，据此可证得S△BPC=S△ABC，代入计算求出△PBC的面积.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴BF=EF=BE=10，∠PFB=60°，
∵AB=AC，BD=CD=BC=7，
∴AD⊥BC，DF=BF-BD=3，
∴∠FPD=90°-∠PFD=30°，
∴PF=2DF=6，
∴PE=EF-PF=4；
故答案为：D.
【分析】先根据等边三角形性质可得BF、EF长以及∠PFD度数，再根据等腰三角形三线合一得到AD⊥BC以及BD长，进而求出DF长；再根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半得到PF的长，即可求得PE=EF-PF=4.
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵ ，DF⊥AC，
∴∠BED=∠DFC=90°，
∴∠BDE=∠FDC=30°，
∴BE=BD，FC=CD，
∴BE+CF=（BD+CD）=BC=×20=10.
故答案为：D.
【分析】利用等边三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BDE=∠FDC=30°，再根据含30°角直角三角形的性质可求出BE=BD，FC=CD，由BE+CF=（BD+CD）=BC即可求解.
8．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
9．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长交于点F，如图：
∴∠BEA=∠BEF=90°，
∵平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠BFA是△ACF的外角，
∴∠BFA=∠C+∠FAC.
∵AB=BF，
∴∠BAF=∠BFA=∠C+∠FAC.
∵，
∴∠BAC=3∠C，即∠BAF+∠FAC=3∠C，
∴∠C+∠FAC+∠FAC=3∠C，
∴∠FAC=∠C.
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点F，证明，得出，从而可得，根据三角形外角性质和等腰三角形性质得∠BAF=∠BFA=∠C+∠FAC；然后根据和三角形的内角和定理得∠BAC=3∠C，换算得∠C+∠FAC+∠FAC=3∠C，进而可得∠FAC=∠C.根据“等角对等边”得，即可得AE长．
10．【答案】108
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）= ×（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为：108.
【分析】连接OB、OC，由角平分线的定义得∠BAO=∠BAC可求得∠BAO的度数，由等边对等角和三角形内角和定理得∠ABC=（180°-∠BAC）可求得∠ABC的度数，结合已知用边角边可证△AOB≌△AOC，由全等三角形的性质得OB=OC，由线段的垂直平分线的判定可得点O在BC的垂直平分线上，结合已知可得点O是△ABC的外心，则∠OCB=∠OBC，由折叠的性质可得OE=CE，由等边对等角可得∠COE=∠OCB，在△OCE中，用三角形内角和定理可求解.
11．【答案】15
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD=30°，
∵DF=DE，
∴∠E=∠DFE=15°．
故答案为：15．
【分析】先求出∠ACB=60°，再求出∠CDG=∠CGD=30°，最后计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥AC于点M，
∵∠AEC=90°，∠C=30°，
∴AC=2AE，
由画法得AP是∠CAE的平分线，
DM⊥AC，DE⊥AE，
∴DM=DE，
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DM⊥AC于点M，先根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半得出AC=2AE，根据作图可知AP是∠CAE的平分线，由角平分线的性质得DM=DE，再由三角形的面积公式即可得出结论.
13．【答案】
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：和都是等边三角形，
∴，，，
∴， .
在和中，
，
∴，
∴；故选项①正确；
②∵
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；故选项②正确；
③∵
∴，
∵∠BPO=∠APC，，；
∴∠AOB=∠ACB=60°；故选项③正确；
④∵，
，
，故选项④错误；
如图，过点作，垂足为，作，垂足为，
∴∠CMO=∠CNO=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOE=180°－∠AOB=120°.
，
∴∠PCM=∠QCN=60°－∠MCQ.
∵，，∠PCM=∠QCN，
∴，
∴，
平分，故选项俗正确．
综上所述，正确的结论有：，
故答案为：；
【分析】由等边三角形的性质证明，于是可利用SAS证明 ，利用全等三角形边的结论可判断①；利用ASA证明 ， 可得，证明△PCQ是等边三角形，利用等边三角形角的性质即可判断②；利用全等三角形角的性质得，结合对角线的性质和三角形内角和定理即可得∠AOB=∠ACB=60°，于是可判断③；利用三角形“大边对大角，大角对大边”可判断④；过点作，垂足为，作，垂足为，证明 ， 于是可得CM=CN，即可利用角平分线的性质判断⑤.
14．【答案】（1）的值为或．
（2）存在，的值为或．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS
15．【答案】（1）解：BE⊥AD，理由如下：
∵∠BAC＝90°，DC⊥AC，
∴∠ACD＝∠BAE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CAD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CAD（HL），
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠AGE＝∠ABE+∠BAG＝∠CAD+∠BAG＝∠BAC＝90°，
∴BE⊥AD．
（2）解：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵∠AGE＝∠FGB，
∴∠AEB＝∠BFG，
∵Rt△ABE≌Rt△CAD，
∴∠AEB＝∠D，
∴∠BFG＝∠D，
∵∠BFG＝∠CFD，
∴∠CFD＝∠D，
∴CD＝CF，
∴△CFD是等腰三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出Rt△ABE≌Rt△CAD，可得∠ABE＝∠CAD，再利用角的运算和等量代换可得∠AGE＝∠ABE+∠BAG＝∠CAD+∠BAG＝∠BAC＝90°，即可得到BE⊥AD；
（2）利用角平分线的定义及等量代换可得∠AEB＝∠BFG，再利用全等三角形的性质可得∠AEB＝∠D，再利用等量代换可得∠CFD＝∠D， 即可得到 △CFD是等腰三角形．
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.3等腰三角形（二阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2024八上·余姚期末）下列命题中是真命题的是（ ）
A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线（三线合一），A正确；
B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，B错误；
C、等腰三角形可能是锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，C错误；
D、有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，D错误；
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定逐一判断即可.
2．（2021八上·罗庄期中）如图，在 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用角的运算可得∠BCD=∠A=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC=8，，最后利用线段的和差计算可得。
3．（2024八上·长乐期末）如图，在中，点D在上，的垂直平分线与于点M，的垂直平分线与于点N，若的三个内角皆不相等，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
4．（2020八上·濉溪期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BM⊥AD，垂足为M，且AB=5，BM=2，AC=9，则∠ABC与∠C的关系为（ ）
A．∠ABC=2∠C B．∠ABC= ∠C
C． ∠ABC=∠C D．∠ABC=3∠C
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】证明：延长BM，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BM⊥AD，
∴∠BAM=∠EAM，∠AMB=∠AME
又∵AM=AM，
∴△ABM≌△AEM，
∴BM=ME，AE=AB，∠AEB=∠ABE，
∴BE=BM+ME=4，AE=AB=5，
∴CE=AC-AE=9-5=4，
∴CE=BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠EBC=∠C，
又∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC.
∴∠ABE=2∠C，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=3∠C.
故答案为：D.
【分析】延长BM到E，证明△ABF≌△AEM，利用线段长度推出△BCE是等腰三角形，再根据角度转换求出即可.
5．（2024八上·海曙期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵BP⊥AP，
∴∠APB=∠BPD=90°，
∴∠BAP=∠BDP，
∴AB=BD，
∴AP=PD，
∴S△APB=S△BPD，S△APC=S△CPD，
∴S△APB+S△APC=S△BPD+S△CPD=S△BPC=S△ABC=×10=5.
故答案为：C.
【分析】延长AP交BC于点D，利用角平分线的定义和垂直的定义可证得∠ABP=∠CBP，∠APB=∠BPD，利用三角形的内角和定理可证得∠BAP=∠BDP，利用等角对等边可证得AB=BD，利用等腰三角形的性质可得到AP=PD，利用三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，可证得S△APB=S△BPD，S△APC=S△CPD，据此可证得S△BPC=S△ABC，代入计算求出△PBC的面积.
6．（2024八上·滨江期末）如图，在中，，，等边的顶点在上，边交于点，若，，则的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴BF=EF=BE=10，∠PFB=60°，
∵AB=AC，BD=CD=BC=7，
∴AD⊥BC，DF=BF-BD=3，
∴∠FPD=90°-∠PFD=30°，
∴PF=2DF=6，
∴PE=EF-PF=4；
故答案为：D.
【分析】先根据等边三角形性质可得BF、EF长以及∠PFD度数，再根据等腰三角形三线合一得到AD⊥BC以及BD长，进而求出DF长；再根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半得到PF的长，即可求得PE=EF-PF=4.
7．（2024八上·老河口期末）如图， 是边长为 20 的等边三角形， 点 是BC边上任意一点， 于点 于点， 则（ ）
A．5 B．20 C．15 D．10
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵ ，DF⊥AC，
∴∠BED=∠DFC=90°，
∴∠BDE=∠FDC=30°，
∴BE=BD，FC=CD，
∴BE+CF=（BD+CD）=BC=×20=10.
故答案为：D.
【分析】利用等边三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BDE=∠FDC=30°，再根据含30°角直角三角形的性质可求出BE=BD，FC=CD，由BE+CF=（BD+CD）=BC即可求解.
8．（2023八上·清原期末）如图，在△ABC中，和的角平分线相交于点O，过点O作交于E，交于F，过点O作于D．下列四个结论：
①；
②；
③点O到各边的距离都相等；
④设，，则．
其中正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
二、填空题（每题3分）
9．（2024八上·重庆市开学考）如图，在中，D为边上一点，且平分，过A作于点E．，若，，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长交于点F，如图：
∴∠BEA=∠BEF=90°，
∵平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠BFA是△ACF的外角，
∴∠BFA=∠C+∠FAC.
∵AB=BF，
∴∠BAF=∠BFA=∠C+∠FAC.
∵，
∴∠BAC=3∠C，即∠BAF+∠FAC=3∠C，
∴∠C+∠FAC+∠FAC=3∠C，
∴∠FAC=∠C.
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点F，证明，得出，从而可得，根据三角形外角性质和等腰三角形性质得∠BAF=∠BFA=∠C+∠FAC；然后根据和三角形的内角和定理得∠BAC=3∠C，换算得∠C+∠FAC+∠FAC=3∠C，进而可得∠FAC=∠C.根据“等角对等边”得，即可得AE长．
10．（2019八上·徐州月考）如图， 中， ， ，点 为 中点，且 ， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，则 为 度.
【答案】108
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）= ×（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为：108.
【分析】连接OB、OC，由角平分线的定义得∠BAO=∠BAC可求得∠BAO的度数，由等边对等角和三角形内角和定理得∠ABC=（180°-∠BAC）可求得∠ABC的度数，结合已知用边角边可证△AOB≌△AOC，由全等三角形的性质得OB=OC，由线段的垂直平分线的判定可得点O在BC的垂直平分线上，结合已知可得点O是△ABC的外心，则∠OCB=∠OBC，由折叠的性质可得OE=CE，由等边对等角可得∠COE=∠OCB，在△OCE中，用三角形内角和定理可求解.
11．（2021八上·长春期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．
【答案】15
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD=30°，
∵DF=DE，
∴∠E=∠DFE=15°．
故答案为：15．
【分析】先求出∠ACB=60°，再求出∠CDG=∠CGD=30°，最后计算求解即可。
12．（2024八上·播州期末）如图，在中，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点、分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥AC于点M，
∵∠AEC=90°，∠C=30°，
∴AC=2AE，
由画法得AP是∠CAE的平分线，
DM⊥AC，DE⊥AE，
∴DM=DE，
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DM⊥AC于点M，先根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半得出AC=2AE，根据作图可知AP是∠CAE的平分线，由角平分线的性质得DM=DE，再由三角形的面积公式即可得出结论.
13．（2024八上·武侯开学考）如图，为线段上一动点点不与点、重合，在同侧分别作等边和等边，与交于，与相交于P，与交于点，连结，以下五个结：①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论有 只填序号．
【答案】
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：和都是等边三角形，
∴，，，
∴， .
在和中，
，
∴，
∴；故选项①正确；
②∵
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；故选项②正确；
③∵
∴，
∵∠BPO=∠APC，，；
∴∠AOB=∠ACB=60°；故选项③正确；
④∵，
，
，故选项④错误；
如图，过点作，垂足为，作，垂足为，
∴∠CMO=∠CNO=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOE=180°－∠AOB=120°.
，
∴∠PCM=∠QCN=60°－∠MCQ.
∵，，∠PCM=∠QCN，
∴，
∴，
平分，故选项俗正确．
综上所述，正确的结论有：，
故答案为：；
【分析】由等边三角形的性质证明，于是可利用SAS证明 ，利用全等三角形边的结论可判断①；利用ASA证明 ， 可得，证明△PCQ是等边三角形，利用等边三角形角的性质即可判断②；利用全等三角形角的性质得，结合对角线的性质和三角形内角和定理即可得∠AOB=∠ACB=60°，于是可判断③；利用三角形“大边对大角，大角对大边”可判断④；过点作，垂足为，作，垂足为，证明 ， 于是可得CM=CN，即可利用角平分线的性质判断⑤.
三、解答题
14．（2024八上·西吉期末）如图1，直线，平分，过点B作交于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度运动；已知，设动点D，E的运动时间为t．
（1）当点D沿射线方向运动，满足，试求运动时间t的值；（提示：过点B作，垂足为F）
（2）当点D在射线或射线的反向延长线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．
【答案】（1）的值为或．
（2）存在，的值为或．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS
15．（2024八上·遵义期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DC⊥AC，垂足为C，AD交线段BC于F，E是AC边上一点，连接BE，交AD于点G且BE＝AD．
（1）猜猜BE与AD有怎样的位置关系？说说你的理由；
（2）若BE是∠ABC的角平分线，试说明△CFD是等腰三角形．
【答案】（1）解：BE⊥AD，理由如下：
∵∠BAC＝90°，DC⊥AC，
∴∠ACD＝∠BAE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CAD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CAD（HL），
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠AGE＝∠ABE+∠BAG＝∠CAD+∠BAG＝∠BAC＝90°，
∴BE⊥AD．
（2）解：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵∠AGE＝∠FGB，
∴∠AEB＝∠BFG，
∵Rt△ABE≌Rt△CAD，
∴∠AEB＝∠D，
∴∠BFG＝∠D，
∵∠BFG＝∠CFD，
∴∠CFD＝∠D，
∴CD＝CF，
∴△CFD是等腰三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出Rt△ABE≌Rt△CAD，可得∠ABE＝∠CAD，再利用角的运算和等量代换可得∠AGE＝∠ABE+∠BAG＝∠CAD+∠BAG＝∠BAC＝90°，即可得到BE⊥AD；
（2）利用角平分线的定义及等量代换可得∠AEB＝∠BFG，再利用全等三角形的性质可得∠AEB＝∠D，再利用等量代换可得∠CFD＝∠D， 即可得到 △CFD是等腰三角形．
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