人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.3等腰三角形（三阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2024八上·睢宁期末）在中，，点是边上两点，且垂直平分平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
2．（2024八上·北海期末）如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作交于点，则，
是边长为的等边三角形，
，，
∵EG∥AC，
∴∠BEG=∠A=60°，∠BGE=∠C=60°，
是等边三角形，
又点是边的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的长为，
故答案为：D
【分析】作EG∥AC交BC于点G，则，推出是等边三角形，由中点定义及等边三角形性质得，求得，结合，推出，可用AAS证明，由全等三角形的性质得，即可得解．
3．（2023八上·乐山期末）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；轴对称的性质
【解析】【解答】如下图
解：连接、
∵点B关于AC的对称点恰好落在CD上
∴△ABC≌△AEC
∴AB=，∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠
∵AB=AD
∴=AD
∴∠ADC=∠
∴设∠ACB=x，∠BAC=y
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=2x，
∵∠=∠+∠ACD=x+y
∴∠ADC=∠=x+y
∵∠=∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-x-y
∴在四边形ADCB中，
∠ADC+∠DCB+∠CBA+∠BAD=360°
即α+2x+（x+y）+（180°-x-y）=360°
∴α+2x=180°
∴x=90°－α
即∠ACB=90°－α
故答案为：D
【分析】本题考查轴对称的性质，四边形内角和与三角形外角的性质，由点B关于AC的对称点恰好落在CD上可知：△ABC≌△AEC，可得出AB=，∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠，由AB=AD等量代换可得出=AD，由等腰三角形的性质等边对等角可知∠ADC=∠，设∠ACB=x，∠BAC=y，可表示出∠BCD=2x，∠ADC=∠=x+y，∠=∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-x-y，在利用四边形内角和为360°可列出α+2x+（x+y）+（180°-x-y）=360°解得x=90°－α，即可得出答案.
4．（2023八上·丰南期中）如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点为延长线上一点，当时，交于，则的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：过点Q作AD的延长线的垂线于点F，如图所示：
是等边三角形，
=，
，
=，
，
，
∵，
(AAS) ，
AE=CF，PE=QF，
同理可证 ，
DE=DF，
AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，
DE= ．
故答案为：B
【分析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F，先根据等边三角形的性质得到=，进而结合三角形全等的判定与性质证明 (AAS) 即可得到AE=CF，PE=QF，同理可证 ，进而得到AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，从而即可求解。
5．（2023八上·鹿寨期中）如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，且AB+AC=BE，则∠B的大小是（ ）
A．42° B．44° C．46 ° D．48°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
6．（2023八上·周口期中）如图，平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)，若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
7．（2023八上·慈溪期中）如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的动点，且，，下列结论中正确的是（ ）
A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值
C．当时，的周长最小 D．当时，
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
8．（2022八上·珠海期中）如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①∵等边和等边，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③作于N，于F，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，故③正确；
④在上截取，连接．
由②知，
∴，
由③知：平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为等边三角形，则，
故，故④正确；
正确的有①②③④．
故答案为：D．
【分析】证明，可得，故①正确；；利用全等三角形的性质可得，由对顶角相等可得，利用三角形内角和可推出，故②正确；作于N，于F，可证，可得，根据角平分线的判定定理即证平分，故③正确；在上截取，连接．证，可得，从而推出为等边三角形，则，，故④正确.
二、填空题（每题3分）
9．（2020八上·宾县期末）一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长依次为2.31，2.32，2.33，2.31，则这个六边形的周长为 ．
【答案】13.92
【知识点】等边三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
AB＝2.31，BC＝2.32，CD＝2.33，DE＝2.31，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．
∴GC＝BC＝2.32，DH＝DE＝2.31．
∴GH＝2.32+2.33+2.31＝6.96，FA＝PA＝PG﹣AB﹣BG＝6.96﹣2.31﹣2.32＝2.33，EF＝PH﹣PF﹣EH＝6.96﹣2.33﹣2.31＝2.32．
∴六边形的周长为2.31+2.32+2.33+2.31+2.32+2.33＝13.92．
故答案为：13.92．
【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
10．（2024八上·瓯海期末）如图，在中，，，，点在上，过点作的垂线，分别交射线，线段于点，，连接，恰好平分，则线段的长是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵恰好平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点作于，过点作于，先求出，然后在中计算出，的值，再利用得到的值，即可根据角平分线的性质得到，，然后设，既有，然后得到，建立方程，求出BH的值，然后在中运用勾股定理求出的值解题即可．
11．（2023八上·玉泉期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点(不与点BC重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．以下四个结论： ①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．其中正确的结论是 (把你认为正确结论的序号都填上)．
【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
12．（2021八上·柳州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交点于 ，且 ，以 为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于 轴，交直线 于点 ，以 为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于 轴，交直线 于点 ，以 为边长作等边三角形 ，…，按此规律进行下去，则点 的横坐标是 .
【答案】31.5
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA= OB1= ，
即A1的横坐标为 = ，
∵ °，
∴∠OB1D=30°，
∵A1B2//x轴，
∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∴A1B2=2A1B1=2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B= A1B2=1，
即A2的横坐标为 +1= ，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C= A2B3=2，
即A3的横坐标为 +1+2= ，
同理可得，A4的横坐标为 +1+2+4= ，
由此可得，An的横坐标为 ，
∴点A6的横坐标是 ，
故答案为：31.5.
【分析】如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质分别求出A1的横坐标为 = ，A2的横坐标为 +1= ，A3的横坐标为 +1+2= ，继而得出An的横坐标为 ，求出当n=6时的横坐标即可.
13．（2023八上·福州月考）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，BD与点，连CD分别交AE、AB于点F、G，过点作交BD于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是： .
【答案】①③④⑤
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形，
∴、 、，
∴是等腰三角形，且顶角，
∴，故①正确；
∵， 即，
∴，
∴，，
∴，由知，故②错误；
记与的交点为，
由且，
，
则，
在和中，
∴，
∴，故③④正确；
∵，，，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
正确的为①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知是等腰三角形且顶角，据此可判断； ②求出和度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断； ③根据证明即可判断③④正确； 由， ， 则即可判断⑤．
三、解答题
14．（2024八上·田阳期末） 在△ABC中，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，点E是BC边的中点．过点E作AD延长线的垂线，垂足为点G，交AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：∠AHF＝∠AFH；
（2）探究：在线段EH上是否能找到一点P，使得△BEP≌△CEF．如果能够，请找出并证明之；
（3）证明：BH＝CF．
【答案】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠HAG＝∠FAG，
∵FH⊥AD，
∴∠AGH＝∠AGF＝90°，
在△AHG和△AFG中，
，
∴△AHG≌△AFG（ASA），
∴∠AHF＝∠AFH．
（2）解：在线段EH上能找到一点P，使得△BEP≌△CEF，理由如下：
作BP∥AC，交EH于点P，则△BEP≌△CEF，
证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∵BP∥AC，
∴∠EBP＝∠C，
在△BEP和△CEF中，
，
∴△BEP≌△CEF（ASA）；
（3）证明：∵△BEP≌△CEF，
∴BP＝CF，
∵BP∥AC，
∴∠BPH＝∠AFH，
∵∠AHF＝∠AFH，
∴∠BPH＝∠AHF，
∴BH＝BP，
∴BH＝CF．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠HAG＝∠FAG，由垂直的定义得∠AGH＝∠AGF＝90°，从而用ASA证出△AHG≌△AFG，进而根据全等三角形的对应角相等得∠AHF＝∠AFH；
（2）在线段EH上能找到一点P，使得△BEP≌△CEF，理由如下：过点B作BP∥AC，交EH于点P，则△BEP≌△CEF；由中点定义得BE＝CE，由二直线平行，内错角相等，得∠EBP＝∠C，从而可用ASA证△BEP≌△CEF；
（3）由全等三角形的对应边相等得BP＝CF，由二直线平行，同位角相等得∠BPH＝∠AFH，结合（1）的结论可得∠BPH＝∠AHF，由等角对等边得BH=BP，从而等量代换可得BH=CF.
15．（2024八上·余姚期末）如图，∠BCD＝90°，BC＝CD，CD⊥AD，AC、BD交于点E，DA＝DE，BN平分∠DBC，交AC于点M，交DC于点N．
（1）求∠ACD的度数；
（2）求证：DB＝DA+DC；
（3）求证：AE＝2MN．
【答案】（1）解：∵∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴BC⊥CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BN平分∠DBC，
∴∠NBC＝∠DBC＝22.5°，
∴∠BNC＝90°﹣∠NBC＝67.5°，
∵CD⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵DA＝DE，
∴∠DAC＝∠AED，
∴∠AED＝∠BCA，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠BCA，
∴BE＝BC，
∵BN平分∠DBC，
∴BN⊥AC，
∴∠ACD＝90°﹣∠BNC＝22.5°
（2）证明：由（1）得，BE＝BC＝CD，
∵BD＝BE+DE，
∴DB＝DA+DC；
（3）证明：如图，过点D作DH⊥AE于点H，
在△BCN和△CDA中，
，
∴△BCN≌△CDA（ASA），
∴CN＝DA，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴DE＝CN，AE＝2HE，∠HDE＝∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC＝45°，
∴∠HDE＝22.5°＝∠NCM，
在△HDE和△MCN中，
，
∴△HDE≌△MCN（AAS），
∴HE＝MN，
∴AE＝2MN．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出，，再根据及得出，进而得到，最后利用等腰三角形三线合一的性质得出BN⊥AC，计算即可.
（2）根据证得即可.
（3）过点作于点，利用ASA证明，得出，利用证明，得出即可.
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.3等腰三角形（三阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2024八上·睢宁期末）在中，，点是边上两点，且垂直平分平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·北海期末）如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·乐山期末）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·丰南期中）如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点为延长线上一点，当时，交于，则的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．（2023八上·鹿寨期中）如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，且AB+AC=BE，则∠B的大小是（ ）
A．42° B．44° C．46 ° D．48°
6．（2023八上·周口期中）如图，平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)，若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023八上·慈溪期中）如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的动点，且，，下列结论中正确的是（ ）
A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值
C．当时，的周长最小 D．当时，
8．（2022八上·珠海期中）如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分）
9．（2020八上·宾县期末）一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长依次为2.31，2.32，2.33，2.31，则这个六边形的周长为 ．
10．（2024八上·瓯海期末）如图，在中，，，，点在上，过点作的垂线，分别交射线，线段于点，，连接，恰好平分，则线段的长是 ．
11．（2023八上·玉泉期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点(不与点BC重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．以下四个结论： ①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．其中正确的结论是 (把你认为正确结论的序号都填上)．
12．（2021八上·柳州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交点于 ，且 ，以 为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于 轴，交直线 于点 ，以 为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于 轴，交直线 于点 ，以 为边长作等边三角形 ，…，按此规律进行下去，则点 的横坐标是 .
13．（2023八上·福州月考）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，BD与点，连CD分别交AE、AB于点F、G，过点作交BD于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是： .
三、解答题
14．（2024八上·田阳期末） 在△ABC中，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，点E是BC边的中点．过点E作AD延长线的垂线，垂足为点G，交AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：∠AHF＝∠AFH；
（2）探究：在线段EH上是否能找到一点P，使得△BEP≌△CEF．如果能够，请找出并证明之；
（3）证明：BH＝CF．
15．（2024八上·余姚期末）如图，∠BCD＝90°，BC＝CD，CD⊥AD，AC、BD交于点E，DA＝DE，BN平分∠DBC，交AC于点M，交DC于点N．
（1）求∠ACD的度数；
（2）求证：DB＝DA+DC；
（3）求证：AE＝2MN．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作交于点，则，
是边长为的等边三角形，
，，
∵EG∥AC，
∴∠BEG=∠A=60°，∠BGE=∠C=60°，
是等边三角形，
又点是边的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的长为，
故答案为：D
【分析】作EG∥AC交BC于点G，则，推出是等边三角形，由中点定义及等边三角形性质得，求得，结合，推出，可用AAS证明，由全等三角形的性质得，即可得解．
3．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；轴对称的性质
【解析】【解答】如下图
解：连接、
∵点B关于AC的对称点恰好落在CD上
∴△ABC≌△AEC
∴AB=，∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠
∵AB=AD
∴=AD
∴∠ADC=∠
∴设∠ACB=x，∠BAC=y
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=2x，
∵∠=∠+∠ACD=x+y
∴∠ADC=∠=x+y
∵∠=∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-x-y
∴在四边形ADCB中，
∠ADC+∠DCB+∠CBA+∠BAD=360°
即α+2x+（x+y）+（180°-x-y）=360°
∴α+2x=180°
∴x=90°－α
即∠ACB=90°－α
故答案为：D
【分析】本题考查轴对称的性质，四边形内角和与三角形外角的性质，由点B关于AC的对称点恰好落在CD上可知：△ABC≌△AEC，可得出AB=，∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠，由AB=AD等量代换可得出=AD，由等腰三角形的性质等边对等角可知∠ADC=∠，设∠ACB=x，∠BAC=y，可表示出∠BCD=2x，∠ADC=∠=x+y，∠=∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-x-y，在利用四边形内角和为360°可列出α+2x+（x+y）+（180°-x-y）=360°解得x=90°－α，即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：过点Q作AD的延长线的垂线于点F，如图所示：
是等边三角形，
=，
，
=，
，
，
∵，
(AAS) ，
AE=CF，PE=QF，
同理可证 ，
DE=DF，
AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，
DE= ．
故答案为：B
【分析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F，先根据等边三角形的性质得到=，进而结合三角形全等的判定与性质证明 (AAS) 即可得到AE=CF，PE=QF，同理可证 ，进而得到AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，从而即可求解。
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
7．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①∵等边和等边，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③作于N，于F，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，故③正确；
④在上截取，连接．
由②知，
∴，
由③知：平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为等边三角形，则，
故，故④正确；
正确的有①②③④．
故答案为：D．
【分析】证明，可得，故①正确；；利用全等三角形的性质可得，由对顶角相等可得，利用三角形内角和可推出，故②正确；作于N，于F，可证，可得，根据角平分线的判定定理即证平分，故③正确；在上截取，连接．证，可得，从而推出为等边三角形，则，，故④正确.
9．【答案】13.92
【知识点】等边三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
AB＝2.31，BC＝2.32，CD＝2.33，DE＝2.31，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．
∴GC＝BC＝2.32，DH＝DE＝2.31．
∴GH＝2.32+2.33+2.31＝6.96，FA＝PA＝PG﹣AB﹣BG＝6.96﹣2.31﹣2.32＝2.33，EF＝PH﹣PF﹣EH＝6.96﹣2.33﹣2.31＝2.32．
∴六边形的周长为2.31+2.32+2.33+2.31+2.32+2.33＝13.92．
故答案为：13.92．
【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵恰好平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点作于，过点作于，先求出，然后在中计算出，的值，再利用得到的值，即可根据角平分线的性质得到，，然后设，既有，然后得到，建立方程，求出BH的值，然后在中运用勾股定理求出的值解题即可．
11．【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
12．【答案】31.5
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA= OB1= ，
即A1的横坐标为 = ，
∵ °，
∴∠OB1D=30°，
∵A1B2//x轴，
∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∴A1B2=2A1B1=2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B= A1B2=1，
即A2的横坐标为 +1= ，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C= A2B3=2，
即A3的横坐标为 +1+2= ，
同理可得，A4的横坐标为 +1+2+4= ，
由此可得，An的横坐标为 ，
∴点A6的横坐标是 ，
故答案为：31.5.
【分析】如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质分别求出A1的横坐标为 = ，A2的横坐标为 +1= ，A3的横坐标为 +1+2= ，继而得出An的横坐标为 ，求出当n=6时的横坐标即可.
13．【答案】①③④⑤
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形，
∴、 、，
∴是等腰三角形，且顶角，
∴，故①正确；
∵， 即，
∴，
∴，，
∴，由知，故②错误；
记与的交点为，
由且，
，
则，
在和中，
∴，
∴，故③④正确；
∵，，，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
正确的为①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知是等腰三角形且顶角，据此可判断； ②求出和度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断； ③根据证明即可判断③④正确； 由， ， 则即可判断⑤．
14．【答案】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠HAG＝∠FAG，
∵FH⊥AD，
∴∠AGH＝∠AGF＝90°，
在△AHG和△AFG中，
，
∴△AHG≌△AFG（ASA），
∴∠AHF＝∠AFH．
（2）解：在线段EH上能找到一点P，使得△BEP≌△CEF，理由如下：
作BP∥AC，交EH于点P，则△BEP≌△CEF，
证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∵BP∥AC，
∴∠EBP＝∠C，
在△BEP和△CEF中，
，
∴△BEP≌△CEF（ASA）；
（3）证明：∵△BEP≌△CEF，
∴BP＝CF，
∵BP∥AC，
∴∠BPH＝∠AFH，
∵∠AHF＝∠AFH，
∴∠BPH＝∠AHF，
∴BH＝BP，
∴BH＝CF．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠HAG＝∠FAG，由垂直的定义得∠AGH＝∠AGF＝90°，从而用ASA证出△AHG≌△AFG，进而根据全等三角形的对应角相等得∠AHF＝∠AFH；
（2）在线段EH上能找到一点P，使得△BEP≌△CEF，理由如下：过点B作BP∥AC，交EH于点P，则△BEP≌△CEF；由中点定义得BE＝CE，由二直线平行，内错角相等，得∠EBP＝∠C，从而可用ASA证△BEP≌△CEF；
（3）由全等三角形的对应边相等得BP＝CF，由二直线平行，同位角相等得∠BPH＝∠AFH，结合（1）的结论可得∠BPH＝∠AHF，由等角对等边得BH=BP，从而等量代换可得BH=CF.
15．【答案】（1）解：∵∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴BC⊥CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BN平分∠DBC，
∴∠NBC＝∠DBC＝22.5°，
∴∠BNC＝90°﹣∠NBC＝67.5°，
∵CD⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵DA＝DE，
∴∠DAC＝∠AED，
∴∠AED＝∠BCA，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠BCA，
∴BE＝BC，
∵BN平分∠DBC，
∴BN⊥AC，
∴∠ACD＝90°﹣∠BNC＝22.5°
（2）证明：由（1）得，BE＝BC＝CD，
∵BD＝BE+DE，
∴DB＝DA+DC；
（3）证明：如图，过点D作DH⊥AE于点H，
在△BCN和△CDA中，
，
∴△BCN≌△CDA（ASA），
∴CN＝DA，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴DE＝CN，AE＝2HE，∠HDE＝∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC＝45°，
∴∠HDE＝22.5°＝∠NCM，
在△HDE和△MCN中，
，
∴△HDE≌△MCN（AAS），
∴HE＝MN，
∴AE＝2MN．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出，，再根据及得出，进而得到，最后利用等腰三角形三线合一的性质得出BN⊥AC，计算即可.
（2）根据证得即可.
（3）过点作于点，利用ASA证明，得出，利用证明，得出即可.
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