人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.4最短路径（二阶）
一、选择题（3分）
1．（2024八上·遵义期末）如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点N关于直线BD的对称点G，过点G作GM⊥AC于点M，交BD于点P，则此时MP+PN的值最小，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠C=60°，
∵∠C=60°，∠CNG=90°，
∴∠G=30°，
∵CM=7，
∴CG=2CM=14，
∴NG=8，
∴BN=GB=4，
∴AC=BC=10，
故答案为：C.
【分析】作点N关于直线BD的对称点G，过点G作GM⊥AC于点M，交BD于点P，则此时MP+PN的值最小，再利用含30°角的直角三角形的性质求出CG=2CM=14，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
2．（2024八上·梅河口期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于AD的对称点点P'，连结P'Q，
根据对称性可得：QP'=QP，
∴BQ+QP的最小值 也就是BQ+QP'的最小值，
∴当BP'⊥AC时，BQ+QP'的值最小，此时点Q与D重合，点P'与C重合，BQ+QP'的最小值就是线段BC的长度，
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=12，∠BAC=30°，
∴BC=
故答案为：C。
【分析】作点P关于AD的对称点点P'，连结P'Q，根据对称性可得：QP'=QP，从而得出BQ+QP的最小值 也就是BQ+QP'的最小值，根据垂线段最短，即可得出BQ+QP'的最小值就是线段BC的长度，根据含30°锐角的直角三角形的性质，即可得出BC的长度，也就是BQ+QP的最小值 。
3．（2023八上·中江期中） 如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，点M、N分别是BC、AB边上的动点，∠B＝56°，当△DMN的周长最小值时，则∠MDN的度数是（ ）
A．124° B．68° C．60° D．56°
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M，
此时，△DMN的周长最小，
∵AB⊥AD，BC⊥DC，
∴∠DAB＝∠DCB＝90°，
DM＝FM，DN＝EN，
∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，
∵∠B＝56°，
∴∠ADC＝124°，
设∠MDN＝α，
∴∠ADN+∠CDM＝124°﹣α
∴∠DNM+∠DMN＝2（124°﹣α），
∴α+2（124°﹣α）＝180°，
解得：α＝68°，
故选：B．
【分析】延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M，利用轴对称的性质可得△DMN的周长最小，再设∠MDN＝α，利用三角形的内角和可得α+2（124°﹣α）＝180°，再求解即可.
4．如图，P是∠AOB内任意一点，OP=8 cm，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点，连接分别交OB、OA于点N、M，连接PN、PM，
由对称性可得OP2=OP1=OP=8，
∵△PMN周长的最小值是8cm，
∴
∴OP1=OP2=P1P2，
∴△OP1P2是等边三角形，
∴∠P2OP1=60°，
∴2（∠AOP+∠BOP）=60°，
∴∠AOP+∠BOP=30°，即∠AOB=30°.
故答案为：B．
【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点P2、P1，连接P2P1分别交OB、OA于点N、M，由对称性可得OP2=OP1=OP=8，，由题意证明△OP1P2是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠P2OP1=60°，然后根据对称性可得∠AOB=30°，即可得解.
5．（2023八上·庄浪期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC=6， BC＝8，AB＝10， AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值，
当垂直于即移到位置时，的长度最小，
的最小值即为的长度，
，
，即的最小值为．
故答案为：B．
【分析】由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解．
6．（2023八上·大化期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若BC=7，∠CAB=30°，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（ ）
A．20 B． C．21 D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CE，
∵是以AC为底边的等腰三角形，且DE平分∠ADC，
∴DE垂直平分AC，
∴点A与点C关于直线DE对称，
∴
如下图，当点P与点E重合时，
此时△PBC周长有最小值，
∵
∴
∴△PBC周长的最小值为：
故答案为：C.
【分析】连接CE，根据题意得到DE垂直平分AC，即则知当点P与点E重合时，且此时△PBC周长有最小值，进而根据含30°的直角三角形求出AB的长度即可求解.
7．（2023八上·大冶期中）已知，在内有一定点P，点M，N分别是上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．2 D．2.5
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA，OB对称的点P1，P2，连接P1P2分别交OA，OB于点M，N，如图，
∵ OA垂直平分P1P，OB垂直平分PP2，
∴ PM=P1M，PN=P2N，
∴C △PMN最小值=MN+PM+PN=MN+P1M+P2N=P1P2=3，
由轴对称的性质得：∠POA=∠P1OA，∠POB=∠P2OB，
∵∠AOB=30°，
∴ ∠P1OP2=60°，
∵ OA垂直平分P1P，OB垂直平分PP2，
∴ OP=OP1，OP=OP2，
∴ OP=OP1=OP2，
∴ △ P1OP2为等边三角形，
∴ OP1=OP2=P1P2=3，
∴ OP=3.
故答案为：B.
【分析】由轴对称的性质可得 PM=P1M，PN=P2N，∠P1OP2=2∠AOB， OP=OP1，OP=OP2，证明△ P1OP2为等边三角形，而C △PMN最小值=P1P2=3，OP=P1P2 即可求得.
8．（2022八上·安徽期末）如图，等边和等腰，，点E，F分别为边，的中点，若的面积为16，，点M是CE上的动点，则的周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接交于点，连接
∵是等边三角形，点E为边的中点，
∴关于对称，
∴，
∴，
即：当三点共线时，的周长最短，
∵是等腰三角形，F为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为；
故答案为：D．
【分析】连接交于点，连接，当三点共线时，的周长最短，根据，求出，再求出的周长的最小值为即可。
二、填空题（3分）
9．（2024八上·凤山期末）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °
【答案】150
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．
由对称性可得，，
根据三角形外角的性质可得，，
，根据三角形内角和定理可得
，
∴.
故答案为：150．
【分析】作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，即可得出，进而推出，即可得出答案．
10．（2023八上·泊头月考）如图，将一副直角三角尺ABC、ABD斜边重合按如图位置放置，其中，
⑴ °；
⑵点E、F分别是边BC、BD上的点，连接AE、AF、EF．当周长最小时， °．
【答案】105；150
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）∵∠CAB=45°，∠DAB=60°，
∴∠CAD=∠CAB+∠DAB=45°+60°=105°；
故答案为：105°；
（2）作点A关于BC和CD的对称点A'，A''，连接A'A''分别交CD、BC于点F、E，则此时△AEF的周长最小，
∵∠CAD=105°，
∴∠A'+∠A''=180°-∠CAD=75°，
由对称性可得∠A'=∠EAC，∠A''=∠DAF，
∴∠EAC+∠DAF=∠A'+∠A''=75°，
∴∠EAF=∠CAD-（∠EAC+∠DAF）=30°，
∴180°- ∠EAF=150°.
故答案为：150.
【分析】（1）利用∠CAD=∠CAB+∠DAB进行计算即可；
（2）作点A关于BC和CD的对称点A'，A''，连接A'A''分别交CD、BC于点F、E，则此时△AEF的周长最小，根据对称性及三角形内角和定理进行解答即可.
11．（2023八上·潮南月考）如图所示∠AOB=60°，点Р是∠AOB内一定点，并且OP=2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点О到线段MN的距离为 .
【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作P点关于OB和OA对称的点P1和P2，连接P1P2分别交OA，OB于点M，N，过点O作OH⊥P1P2， 如图，
∴当△PMN的周长取最小值，PM+MN+NP=P1P2，
由垂直平分线得：OP=OP1，OP=OP2，∠P1OB=∠POB，∠P2OA=∠POA，
∴ OP1=OP2，
∵∠AOB=60° ，
∴ ∠ P1OP2=120°，
∵ OH⊥P1P2，
∴ ∠OP1P2=30°，
∴ OH===1.
故答案为：1.
【分析】根据轴对称得P1P2为△PMN的最小周长，再根据30°的直角三角形的性质即可求得.
12．（2021八上·滨城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE分别交边AB、AC于点D、E、P为直线DE上一点．若BC＝2，则△BCP周长的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接PA，
∵DE是线段AC的垂直平分线，P在直线DE上，
∴PA=PC，
∴PB+PC=PB+PA，
∴要想△PBC的周长最小，则PB+PC+BC最小，即PB+PC的值最小，则PA+PB的值最小，
∴当A、P、B三点共线时，PA+PB的值最小即为AB，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
∴PB+PC的最小值为4，
∴△PBC的周长的最小值为4+BC=6，
故答案为：6．
【分析】由题意可知当P点与D点重合时，PC+PB的值最小，则可求出三角形BCP周长的最小值为AB+BC=6.
13．（2023八上·台州期中）如图，中，，，，平分，如果点P，点G分别为，上的动点，那么的最小值是 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点A作AE垂直于BC交BC于点E，交CD于点P， 过点P作PG⊥AC交于点Q
∵CD平分∠ACB.
∴PE=PG
∴AP+PG=AP+PE=AE
此时AP+PG的值最小
∵=AB×AC=BC×AE
=×6×AE
==3AE
解得AE=
故答案为：.
【分析】首先过点A作AE⊥BC交BC于点E，交DC于点P，其次过点P作PG⊥AC于点G，此时AP +PG的值最小，最后再根据三角形ABC的面积求出BC边上的高AE的长即可.
三、解答题
14．（2018八上·泰州期中）如图，一个牧童在小河的南2km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西 km北3km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
【答案】解：设小河为直线MN，如图，
作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线．在Rt△A′DB中，由勾股定理得：
A′B= = =8（km）．
答：他要完成这件事情所走的最短路程是8km．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 利用轴对称求最短问题，设小河为直线MN，如图， 作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线 ，根据勾股定理即可算出A'B的长，从而得出答案。
四、实践探究题
15．（2024八上·嘉兴期末）如图，在直角坐标系中，已知点，直线l是第二、四象限的角平分线．
（1）操作：连结线段，作出线段关于直线l的轴对称图形．
（2）发现：请写出坐标平面内任一点关于直线l的对称点的坐标．
（3）应用：请在直线l上找一点Q，使得最小，并写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：如图：
A1B 1即为所求做的线段；
（2）解：
（3）解：如图，
作点C关于直线l的对称点C1，连接AC1，与l的交点即Q的位置.
．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 （1）利用方格纸的特点找到A、B关于直线l对称点A1，B1的位置，连接即可；
（2）观察A和A1，B和B1的坐标变化，即可得出平面内关于直线l对称的两个点的坐标特点；
（3）找到C关于直线l的对称点C1，连接AC1，与l的交点即Q，读出Q坐标即可.
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.4最短路径（二阶）
一、选择题（3分）
1．（2024八上·遵义期末）如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
2．（2024八上·梅河口期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则BQ+QP的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2023八上·中江期中） 如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，点M、N分别是BC、AB边上的动点，∠B＝56°，当△DMN的周长最小值时，则∠MDN的度数是（ ）
A．124° B．68° C．60° D．56°
4．如图，P是∠AOB内任意一点，OP=8 cm，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（2023八上·庄浪期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC=6， BC＝8，AB＝10， AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
6．（2023八上·大化期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若BC=7，∠CAB=30°，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（ ）
A．20 B． C．21 D．
7．（2023八上·大冶期中）已知，在内有一定点P，点M，N分别是上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．2 D．2.5
8．（2022八上·安徽期末）如图，等边和等腰，，点E，F分别为边，的中点，若的面积为16，，点M是CE上的动点，则的周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
二、填空题（3分）
9．（2024八上·凤山期末）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °
10．（2023八上·泊头月考）如图，将一副直角三角尺ABC、ABD斜边重合按如图位置放置，其中，
⑴ °；
⑵点E、F分别是边BC、BD上的点，连接AE、AF、EF．当周长最小时， °．
11．（2023八上·潮南月考）如图所示∠AOB=60°，点Р是∠AOB内一定点，并且OP=2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点О到线段MN的距离为 .
12．（2021八上·滨城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE分别交边AB、AC于点D、E、P为直线DE上一点．若BC＝2，则△BCP周长的最小值为 ．
13．（2023八上·台州期中）如图，中，，，，平分，如果点P，点G分别为，上的动点，那么的最小值是 .
三、解答题
14．（2018八上·泰州期中）如图，一个牧童在小河的南2km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西 km北3km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
四、实践探究题
15．（2024八上·嘉兴期末）如图，在直角坐标系中，已知点，直线l是第二、四象限的角平分线．
（1）操作：连结线段，作出线段关于直线l的轴对称图形．
（2）发现：请写出坐标平面内任一点关于直线l的对称点的坐标．
（3）应用：请在直线l上找一点Q，使得最小，并写出点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点N关于直线BD的对称点G，过点G作GM⊥AC于点M，交BD于点P，则此时MP+PN的值最小，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠C=60°，
∵∠C=60°，∠CNG=90°，
∴∠G=30°，
∵CM=7，
∴CG=2CM=14，
∴NG=8，
∴BN=GB=4，
∴AC=BC=10，
故答案为：C.
【分析】作点N关于直线BD的对称点G，过点G作GM⊥AC于点M，交BD于点P，则此时MP+PN的值最小，再利用含30°角的直角三角形的性质求出CG=2CM=14，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
2．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于AD的对称点点P'，连结P'Q，
根据对称性可得：QP'=QP，
∴BQ+QP的最小值 也就是BQ+QP'的最小值，
∴当BP'⊥AC时，BQ+QP'的值最小，此时点Q与D重合，点P'与C重合，BQ+QP'的最小值就是线段BC的长度，
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=12，∠BAC=30°，
∴BC=
故答案为：C。
【分析】作点P关于AD的对称点点P'，连结P'Q，根据对称性可得：QP'=QP，从而得出BQ+QP的最小值 也就是BQ+QP'的最小值，根据垂线段最短，即可得出BQ+QP'的最小值就是线段BC的长度，根据含30°锐角的直角三角形的性质，即可得出BC的长度，也就是BQ+QP的最小值 。
3．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M，
此时，△DMN的周长最小，
∵AB⊥AD，BC⊥DC，
∴∠DAB＝∠DCB＝90°，
DM＝FM，DN＝EN，
∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，
∵∠B＝56°，
∴∠ADC＝124°，
设∠MDN＝α，
∴∠ADN+∠CDM＝124°﹣α
∴∠DNM+∠DMN＝2（124°﹣α），
∴α+2（124°﹣α）＝180°，
解得：α＝68°，
故选：B．
【分析】延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M，利用轴对称的性质可得△DMN的周长最小，再设∠MDN＝α，利用三角形的内角和可得α+2（124°﹣α）＝180°，再求解即可.
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点，连接分别交OB、OA于点N、M，连接PN、PM，
由对称性可得OP2=OP1=OP=8，
∵△PMN周长的最小值是8cm，
∴
∴OP1=OP2=P1P2，
∴△OP1P2是等边三角形，
∴∠P2OP1=60°，
∴2（∠AOP+∠BOP）=60°，
∴∠AOP+∠BOP=30°，即∠AOB=30°.
故答案为：B．
【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点P2、P1，连接P2P1分别交OB、OA于点N、M，由对称性可得OP2=OP1=OP=8，，由题意证明△OP1P2是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠P2OP1=60°，然后根据对称性可得∠AOB=30°，即可得解.
5．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值，
当垂直于即移到位置时，的长度最小，
的最小值即为的长度，
，
，即的最小值为．
故答案为：B．
【分析】由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解．
6．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CE，
∵是以AC为底边的等腰三角形，且DE平分∠ADC，
∴DE垂直平分AC，
∴点A与点C关于直线DE对称，
∴
如下图，当点P与点E重合时，
此时△PBC周长有最小值，
∵
∴
∴△PBC周长的最小值为：
故答案为：C.
【分析】连接CE，根据题意得到DE垂直平分AC，即则知当点P与点E重合时，且此时△PBC周长有最小值，进而根据含30°的直角三角形求出AB的长度即可求解.
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA，OB对称的点P1，P2，连接P1P2分别交OA，OB于点M，N，如图，
∵ OA垂直平分P1P，OB垂直平分PP2，
∴ PM=P1M，PN=P2N，
∴C △PMN最小值=MN+PM+PN=MN+P1M+P2N=P1P2=3，
由轴对称的性质得：∠POA=∠P1OA，∠POB=∠P2OB，
∵∠AOB=30°，
∴ ∠P1OP2=60°，
∵ OA垂直平分P1P，OB垂直平分PP2，
∴ OP=OP1，OP=OP2，
∴ OP=OP1=OP2，
∴ △ P1OP2为等边三角形，
∴ OP1=OP2=P1P2=3，
∴ OP=3.
故答案为：B.
【分析】由轴对称的性质可得 PM=P1M，PN=P2N，∠P1OP2=2∠AOB， OP=OP1，OP=OP2，证明△ P1OP2为等边三角形，而C △PMN最小值=P1P2=3，OP=P1P2 即可求得.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接交于点，连接
∵是等边三角形，点E为边的中点，
∴关于对称，
∴，
∴，
即：当三点共线时，的周长最短，
∵是等腰三角形，F为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为；
故答案为：D．
【分析】连接交于点，连接，当三点共线时，的周长最短，根据，求出，再求出的周长的最小值为即可。
9．【答案】150
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．
由对称性可得，，
根据三角形外角的性质可得，，
，根据三角形内角和定理可得
，
∴.
故答案为：150．
【分析】作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，即可得出，进而推出，即可得出答案．
10．【答案】105；150
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）∵∠CAB=45°，∠DAB=60°，
∴∠CAD=∠CAB+∠DAB=45°+60°=105°；
故答案为：105°；
（2）作点A关于BC和CD的对称点A'，A''，连接A'A''分别交CD、BC于点F、E，则此时△AEF的周长最小，
∵∠CAD=105°，
∴∠A'+∠A''=180°-∠CAD=75°，
由对称性可得∠A'=∠EAC，∠A''=∠DAF，
∴∠EAC+∠DAF=∠A'+∠A''=75°，
∴∠EAF=∠CAD-（∠EAC+∠DAF）=30°，
∴180°- ∠EAF=150°.
故答案为：150.
【分析】（1）利用∠CAD=∠CAB+∠DAB进行计算即可；
（2）作点A关于BC和CD的对称点A'，A''，连接A'A''分别交CD、BC于点F、E，则此时△AEF的周长最小，根据对称性及三角形内角和定理进行解答即可.
11．【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作P点关于OB和OA对称的点P1和P2，连接P1P2分别交OA，OB于点M，N，过点O作OH⊥P1P2， 如图，
∴当△PMN的周长取最小值，PM+MN+NP=P1P2，
由垂直平分线得：OP=OP1，OP=OP2，∠P1OB=∠POB，∠P2OA=∠POA，
∴ OP1=OP2，
∵∠AOB=60° ，
∴ ∠ P1OP2=120°，
∵ OH⊥P1P2，
∴ ∠OP1P2=30°，
∴ OH===1.
故答案为：1.
【分析】根据轴对称得P1P2为△PMN的最小周长，再根据30°的直角三角形的性质即可求得.
12．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接PA，
∵DE是线段AC的垂直平分线，P在直线DE上，
∴PA=PC，
∴PB+PC=PB+PA，
∴要想△PBC的周长最小，则PB+PC+BC最小，即PB+PC的值最小，则PA+PB的值最小，
∴当A、P、B三点共线时，PA+PB的值最小即为AB，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
∴PB+PC的最小值为4，
∴△PBC的周长的最小值为4+BC=6，
故答案为：6．
【分析】由题意可知当P点与D点重合时，PC+PB的值最小，则可求出三角形BCP周长的最小值为AB+BC=6.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点A作AE垂直于BC交BC于点E，交CD于点P， 过点P作PG⊥AC交于点Q
∵CD平分∠ACB.
∴PE=PG
∴AP+PG=AP+PE=AE
此时AP+PG的值最小
∵=AB×AC=BC×AE
=×6×AE
==3AE
解得AE=
故答案为：.
【分析】首先过点A作AE⊥BC交BC于点E，交DC于点P，其次过点P作PG⊥AC于点G，此时AP +PG的值最小，最后再根据三角形ABC的面积求出BC边上的高AE的长即可.
14．【答案】解：设小河为直线MN，如图，
作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线．在Rt△A′DB中，由勾股定理得：
A′B= = =8（km）．
答：他要完成这件事情所走的最短路程是8km．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 利用轴对称求最短问题，设小河为直线MN，如图， 作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线 ，根据勾股定理即可算出A'B的长，从而得出答案。
15．【答案】（1）解：如图：
A1B 1即为所求做的线段；
（2）解：
（3）解：如图，
作点C关于直线l的对称点C1，连接AC1，与l的交点即Q的位置.
．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 （1）利用方格纸的特点找到A、B关于直线l对称点A1，B1的位置，连接即可；
（2）观察A和A1，B和B1的坐标变化，即可得出平面内关于直线l对称的两个点的坐标特点；
（3）找到C关于直线l的对称点C1，连接AC1，与l的交点即Q，读出Q坐标即可.
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