人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.4最短路径（一阶）
一、选择题
1．（2023八上·吉林期中）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P，使PM+PN最短， 则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点M关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，此时PM+PN最短，如图所示，
与直线l交于点C，点P应选在点C。
故答案为：C.
【分析】轴对称-最短路径问题．一般方法：先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
2．（2022八上·曹县期中）如图，中，，垂直平分，点P为直线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴关于对称，
设交于D，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
的最小值是5.
故答案为：B．
【分析】设交于D，当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，再求解即可。
3．（2021八上·巢湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N
∴M′N′=M′E，
∴CE=CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB=4，
∴×4 CE=8，
∴CE=4．
即CM+MN的最小值为4．
故答案为：B．
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值，再根据三角形的面积可得×4 CE=8，最后求出CE=4即可。
4．（2021八上·日照期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，
此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，同理可得∠OPM=∠ODM=50°，所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.
故答案为：B.
【分析】先求出∠COD=2∠AOB=80°，再利用SAS证明△CON≌△PON，最后根据全等三角形的判定与性质求解即可。
5．（2024八上·南充期末）如图，在直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（2，8）和（6，0），若点P是y轴上的一个动点，且A、B、P三点不在同一条直线上，当△ABP的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（0，5） C．（0，6） D．（0，8）
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'，AB'与y轴的交点即为所求的点P，如图所示：
∵点B的坐标为（6，0），
∴点B'的坐标为（-6，0），
作AC⊥x轴于点C，
∵点A的坐标为（2，8），
∴OC=2，AC=8，
∴B'C=8=AC，
∴△CAB'为等腰直角三角形，AC//y轴，
∴∠OPB'=45°，
∴OP=OB'=6，
∴点P的坐标为（0，6），
故答案为：C.
【分析】作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'，AB'与y轴的交点即为所求的点P，作AC⊥x轴于点C，先求出△CAB'为等腰直角三角形，AC//y轴，可得∠OPB'=45°，证出OP=OB'=6，再求出点P的坐标即可.
6．（2024八上·高邑期末）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，AM
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点
∴AD⊥BC
∵EF是线段AC的垂直平分线
∴点C关于直线EF的对称点为点A，AM=CM
∴AD的长为CM+MD的最小值
∴周长的最小值为
∴AD=10
∴
故答案为：A
【分析】连接AD，AM，根据等腰三角形性质可得AD⊥BC，再根据线段垂直平分线的性质可得点C关于直线EF的对称点为点A，AM=CM，则AD的长为CM+MD的最小值，根据三角形周长可得AD=10，再根据三角形面积即可求出答案.
7．（2023八上·合江期中）如图，在中，，，的面积为12，于点，直线垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，分别连接，，则的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴点C是点B关于EF的对称点，
∴线段CD是PD+PB的最小值，
∵，于点，
∴的面积 ==，
∴CD=4，
∵AB=AC，
∴BD=，
∴的周长的最小值是：CD+BD=4+3=7。
故答案为：B.
【分析】首先根据垂直平分线的性质得出点C是点B关于EF的对称点，然后再根据轴对称的性质得出线段CD是PD+PB的最小值，从而得出的周长的最小值是：CD+BD，然后根据三角形的面积和等腰三角形的性质可分别求得CD与BD的长，即可得出答案。
8．（2020八上·重庆月考）如图，在 中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点.若BC＝4， 面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5.
故答案为：D.
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可.
二、填空题
9．如图，在直角坐标系中，已知两点，点是轴上的一点，则的最小值是 .
【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：
作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于点P，则P点即为所求.所以PA+PB=A'B=，即 PA+PB的最小值为 10.
故答案为：10.
【分析】根据题意作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，A'B即为PA+PB的最小值，根据勾股定理求出A'B的长即可.
10．（2020八上·扎兰屯期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，
∵S△ABC＝ BC AD＝ AC BQ，
∴BQ＝ ＝ ，
即PC+PQ的最小值是 ．
故答案为 ．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长，即可得解。
11．（2022八上·长沙月考）如图，，点在的角平分线上，，点、是两边、上的动点，当的周长最小时，点到距离是 .
【答案】5cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，分别作关于的对称点，连接交于点，连接，，
∴，OP=OE'，
∵，点在的角平分线上，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
同理可得是等边三角形，
∴，
∴，
∵当的周长最小时，三点共线，
此时即为到的距离，
∴，
故答案为：5cm.
【分析】 如图，分别作P关于OA、OB的对称点E'、F'，连接E'F'交OP于点Q，连接EE'、FF'、PE'、PF'， 根据轴对称的性质得∠E'OA=∠AOP，OP=OE'，再结合角平分线的性质得∠E'OP=60°，则△E'OP是等边三角形，同理可得△OPF'是等边三角形，根据等边三角形的性质得PE'=PF'，根据等腰三角形的三线合一得OP⊥E'F'，当△PEF的周长最小时，E'、Q、F'三点共线，此时PQ即为P到EF的距离.
12．（2023八上·禹城月考）如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
【答案】80°
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
如图，分别作A点关于BC、DC的对称点A1、A2，连接A1A2，分别交BC、DC于点E、F，在DA延长线上取一点G；
由图形可知：AE=A1E，AF=A2F，∴=AE+EF+AF=A1E+EF+A2F=A1A2，此时周长最小；
∵∠C=50°，∠B=∠D=90°，∴∠DAB=130°，∠GAB=50°
又∵∠GAB=∠A2+∠A1，∴∠A2+∠A1=50°
由图形对称可得，∠DAF=∠A2，∠EAB=∠A1，∴∠DAF+∠EAB=50°，
∠EAF=∠DAB-∠DAF-∠EAB=∠DAB-（∠DAF+∠EAB）=130°-50°=80°。
故答案为：80°。
【分析】先根据要求作图，然后用已知条件，以及四边形内角和等于360°，求出关键角∠DAB及其补角∠GAB的度数，然后利用三角形外角性质得到∠GAB=∠A2+∠A1，通过倒角∠DAF=∠A2，∠EAB=∠A1，最终求出∠EAF的度数。
13．（2024八上·讷河期末）如图所示，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm.．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形， D为BC边上的中点 ，
∴AD⊥BC，BD=2cm，
∴△ABC的面积=BC·AD=×4×AD=12，解得AD=6cm，
∵EF垂直平分AB，
∴点A与点B关于直线EF对称，
∴BM+DM的最小值为AD的长，
∵ △BDM的周长=BD+DM+BM=2+DM+BM，
∴BM+DM的值最小时，△BDM的周长就最小，
∴△BDM的周长最小值为2+6=8cm.
故答案为：8.
【分析】由△BDM的周长=BD+DM+BM=2+DM+BM， 当BM+DM的值最小时，△BDM的周长就最小，连接AD，由点A与点B关于直线EF对称，可得BM+DM的最小值为AD的长，利用三角形的面积求出AD的长即可.
三、解答题
14．（2023八上·花垣月考） 《西游记》第三十二回写道：“金角大王、银角大王派巴山虎、倚海龙去请母亲来吃唐僧肉，让她带着幌金绳来拿孙行者.”话说两个小妖在A点接到老妖婆后，来到小河边P点喝水，随后回到B点的洞府去见两位大王。小妖智商有限，请各位同学帮忙规划一下，当P点在哪时，路程最近呢？请大家作出路线图并简要说明理由.
【答案】解：作A点关于小河的对称点，连接交小河所在直线于P点；
理由：因为“两点之间，线段最短”，所以为最短路径.
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作A点关于小河的对称点，连接交小河所在直线于P点；
理由：根据作法得：，
∴（两点之间，线段最短），
即为最短路径．
【分析】根据“两点之间，线段最短”，结合轴对称的性质求解即可。
15．（2023八上·天桥期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为，.
⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
⑵请作出关于y轴对称的；
⑶在y轴上存在一点P，满足点P到点A与点B距离之和最小，请直接写出的最小值为 ▲ .
【答案】解：⑴如图所示；
⑵如图所示
⑶
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】（3）连接A'B，则PA+PB=PA'+PB=A'B=，
∴PA+PB的最小值为，
故答案为：.
【分析】（1）根据点A、C的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用轴对称的性质可得PA+PB=PA'+PB=A'B，再利用勾股定理求解即可.
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.4最短路径（一阶）
一、选择题
1．（2023八上·吉林期中）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P，使PM+PN最短， 则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
2．（2022八上·曹县期中）如图，中，，垂直平分，点P为直线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
3．（2021八上·巢湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2021八上·日照期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
5．（2024八上·南充期末）如图，在直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（2，8）和（6，0），若点P是y轴上的一个动点，且A、B、P三点不在同一条直线上，当△ABP的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（0，5） C．（0，6） D．（0，8）
6．（2024八上·高邑期末）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·合江期中）如图，在中，，，的面积为12，于点，直线垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，分别连接，，则的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
8．（2020八上·重庆月考）如图，在 中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点.若BC＝4， 面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．如图，在直角坐标系中，已知两点，点是轴上的一点，则的最小值是 .
10．（2020八上·扎兰屯期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
11．（2022八上·长沙月考）如图，，点在的角平分线上，，点、是两边、上的动点，当的周长最小时，点到距离是 .
12．（2023八上·禹城月考）如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
13．（2024八上·讷河期末）如图所示，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm.．
三、解答题
14．（2023八上·花垣月考） 《西游记》第三十二回写道：“金角大王、银角大王派巴山虎、倚海龙去请母亲来吃唐僧肉，让她带着幌金绳来拿孙行者.”话说两个小妖在A点接到老妖婆后，来到小河边P点喝水，随后回到B点的洞府去见两位大王。小妖智商有限，请各位同学帮忙规划一下，当P点在哪时，路程最近呢？请大家作出路线图并简要说明理由.
15．（2023八上·天桥期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为，.
⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
⑵请作出关于y轴对称的；
⑶在y轴上存在一点P，满足点P到点A与点B距离之和最小，请直接写出的最小值为 ▲ .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点M关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，此时PM+PN最短，如图所示，
与直线l交于点C，点P应选在点C。
故答案为：C.
【分析】轴对称-最短路径问题．一般方法：先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
2．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴关于对称，
设交于D，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
的最小值是5.
故答案为：B．
【分析】设交于D，当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，再求解即可。
3．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N
∴M′N′=M′E，
∴CE=CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB=4，
∴×4 CE=8，
∴CE=4．
即CM+MN的最小值为4．
故答案为：B．
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值，再根据三角形的面积可得×4 CE=8，最后求出CE=4即可。
4．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，
此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，同理可得∠OPM=∠ODM=50°，所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.
故答案为：B.
【分析】先求出∠COD=2∠AOB=80°，再利用SAS证明△CON≌△PON，最后根据全等三角形的判定与性质求解即可。
5．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'，AB'与y轴的交点即为所求的点P，如图所示：
∵点B的坐标为（6，0），
∴点B'的坐标为（-6，0），
作AC⊥x轴于点C，
∵点A的坐标为（2，8），
∴OC=2，AC=8，
∴B'C=8=AC，
∴△CAB'为等腰直角三角形，AC//y轴，
∴∠OPB'=45°，
∴OP=OB'=6，
∴点P的坐标为（0，6），
故答案为：C.
【分析】作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'，AB'与y轴的交点即为所求的点P，作AC⊥x轴于点C，先求出△CAB'为等腰直角三角形，AC//y轴，可得∠OPB'=45°，证出OP=OB'=6，再求出点P的坐标即可.
6．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，AM
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点
∴AD⊥BC
∵EF是线段AC的垂直平分线
∴点C关于直线EF的对称点为点A，AM=CM
∴AD的长为CM+MD的最小值
∴周长的最小值为
∴AD=10
∴
故答案为：A
【分析】连接AD，AM，根据等腰三角形性质可得AD⊥BC，再根据线段垂直平分线的性质可得点C关于直线EF的对称点为点A，AM=CM，则AD的长为CM+MD的最小值，根据三角形周长可得AD=10，再根据三角形面积即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴点C是点B关于EF的对称点，
∴线段CD是PD+PB的最小值，
∵，于点，
∴的面积 ==，
∴CD=4，
∵AB=AC，
∴BD=，
∴的周长的最小值是：CD+BD=4+3=7。
故答案为：B.
【分析】首先根据垂直平分线的性质得出点C是点B关于EF的对称点，然后再根据轴对称的性质得出线段CD是PD+PB的最小值，从而得出的周长的最小值是：CD+BD，然后根据三角形的面积和等腰三角形的性质可分别求得CD与BD的长，即可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5.
故答案为：D.
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可.
9．【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：
作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于点P，则P点即为所求.所以PA+PB=A'B=，即 PA+PB的最小值为 10.
故答案为：10.
【分析】根据题意作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，A'B即为PA+PB的最小值，根据勾股定理求出A'B的长即可.
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，
∵S△ABC＝ BC AD＝ AC BQ，
∴BQ＝ ＝ ，
即PC+PQ的最小值是 ．
故答案为 ．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长，即可得解。
11．【答案】5cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，分别作关于的对称点，连接交于点，连接，，
∴，OP=OE'，
∵，点在的角平分线上，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
同理可得是等边三角形，
∴，
∴，
∵当的周长最小时，三点共线，
此时即为到的距离，
∴，
故答案为：5cm.
【分析】 如图，分别作P关于OA、OB的对称点E'、F'，连接E'F'交OP于点Q，连接EE'、FF'、PE'、PF'， 根据轴对称的性质得∠E'OA=∠AOP，OP=OE'，再结合角平分线的性质得∠E'OP=60°，则△E'OP是等边三角形，同理可得△OPF'是等边三角形，根据等边三角形的性质得PE'=PF'，根据等腰三角形的三线合一得OP⊥E'F'，当△PEF的周长最小时，E'、Q、F'三点共线，此时PQ即为P到EF的距离.
12．【答案】80°
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
如图，分别作A点关于BC、DC的对称点A1、A2，连接A1A2，分别交BC、DC于点E、F，在DA延长线上取一点G；
由图形可知：AE=A1E，AF=A2F，∴=AE+EF+AF=A1E+EF+A2F=A1A2，此时周长最小；
∵∠C=50°，∠B=∠D=90°，∴∠DAB=130°，∠GAB=50°
又∵∠GAB=∠A2+∠A1，∴∠A2+∠A1=50°
由图形对称可得，∠DAF=∠A2，∠EAB=∠A1，∴∠DAF+∠EAB=50°，
∠EAF=∠DAB-∠DAF-∠EAB=∠DAB-（∠DAF+∠EAB）=130°-50°=80°。
故答案为：80°。
【分析】先根据要求作图，然后用已知条件，以及四边形内角和等于360°，求出关键角∠DAB及其补角∠GAB的度数，然后利用三角形外角性质得到∠GAB=∠A2+∠A1，通过倒角∠DAF=∠A2，∠EAB=∠A1，最终求出∠EAF的度数。
13．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形， D为BC边上的中点 ，
∴AD⊥BC，BD=2cm，
∴△ABC的面积=BC·AD=×4×AD=12，解得AD=6cm，
∵EF垂直平分AB，
∴点A与点B关于直线EF对称，
∴BM+DM的最小值为AD的长，
∵ △BDM的周长=BD+DM+BM=2+DM+BM，
∴BM+DM的值最小时，△BDM的周长就最小，
∴△BDM的周长最小值为2+6=8cm.
故答案为：8.
【分析】由△BDM的周长=BD+DM+BM=2+DM+BM， 当BM+DM的值最小时，△BDM的周长就最小，连接AD，由点A与点B关于直线EF对称，可得BM+DM的最小值为AD的长，利用三角形的面积求出AD的长即可.
14．【答案】解：作A点关于小河的对称点，连接交小河所在直线于P点；
理由：因为“两点之间，线段最短”，所以为最短路径.
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作A点关于小河的对称点，连接交小河所在直线于P点；
理由：根据作法得：，
∴（两点之间，线段最短），
即为最短路径．
【分析】根据“两点之间，线段最短”，结合轴对称的性质求解即可。
15．【答案】解：⑴如图所示；
⑵如图所示
⑶
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】（3）连接A'B，则PA+PB=PA'+PB=A'B=，
∴PA+PB的最小值为，
故答案为：.
【分析】（1）根据点A、C的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用轴对称的性质可得PA+PB=PA'+PB=A'B，再利用勾股定理求解即可.
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