人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.4最短路径（三阶）

人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.4最短路径（三阶）
一、选择题（3分）
1．（2023八上·东西湖月考）如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP＋PQ＋QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是（　　）
A．∠1＋∠2＝90° B．2∠1＋∠2＝180°
C．∠1－∠2＝90° D．2∠2－∠1＝30°
2．（2023八上·海曙期中）如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，∠B+∠C=150°，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ最小值是（　　）
A．12 B．15 C．16 D．18
3．（2022八上·德清期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．8 D．6
4．（2022八上·河西期末）如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2020八上·无锡月考）如图.在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（　　）
A．84° B．88° C．90° D．96°
6．（2024八上·遵义期末）如图，中，，垂足为，点为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022八上·临海期末）如图，在中，，，，，动点P在边上，点P关于，的对称点分别为点E，F，连接，交，分别为点M，N.
甲：我发现线段的最大值为2，最小值为；
乙：我连接，，发现一定为钝角三角形.
则下列判断正确的是（　　）
A．甲对乙对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲错乙错
8．（2022八上·青川期末）如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（　　）
A．4 B．3 C．5 D．6
二、填空题（3分）
9．（2023八上·余姚月考）如图，边长为2的等边中，是边上的中线，点E在上，连接，在的下方作等边，连接，则周长的最小值是　 　．
10．（2020八上·常熟期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为6的等边三角形，且点B、C、E在同一条直线上，点P是CD边上的一个动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为　 　.
11．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）八年级上册20.4 课题学习 最短路径问题 同步练习）点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是 轴上使得∣PA—PB∣的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP·OQ=　 　.
12．（人教版八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为　 　．
13．（2017八上·鄞州月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　 　．
三、解答题
14．（2023八上·椒江月考）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．
（1）　 　°，　 　；
（2）若是等腰三角形，求的度数；
（3）若点M在线段上，连接、，则的值最小时　 　．
四、实践探究题
15．（2024八上·江汉期末）如图
（1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：；
（2）在中，，，是角平分线，，．
①应用探究如图（2），若，求证：；
②迁移拓展如图（3），P为线段上一点，绕C点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，
则MP+PQ+QN最小，
由三角形外角性质得∠OPM=∠1 ∠O=∠1 30°，
∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，
∴∠OPM=∠QPN=∠1 30°，
∴∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1 30°)
∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2，
∵∠N′QA=∠3，∠OQP=∠N′QA
∴∠OQP=∠3=30°+∠2，
在△MQP中，由内角和定理得∠1+∠OQP+∠QPM=180°，
即∠1+30°+∠2+180°-2(∠1 30°)=180°，
化简得∠1 ∠2=90°.
故答案为：D.
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，由三角形外角性质得∠OPM=∠1 ∠O=∠1 30°，由轴对称及对顶角相等可得∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1 30°)，同理可得∠OQP=∠3=30°+∠2，在△MQP中，根据三角形的内角和定理可求得∠1+30°+∠2+180°-2(∠1 30°)=180°，化简可得∠1 ∠2=90°.
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，
则 ，
∵∠ABC+∠C=150°，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
连接BP、PF、PQ，则，
∴，
∴当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，
则BP+PQ最小值为FQ的长，
此时，Q为EB中点，故与A重合，
∵，
∴，
在中， ，
∴BP+PQ最小值为．
故答案为：D.
【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形30°所对直角边等于斜边的一半，正确的作出图形是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点；作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，计算求解即可．
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，
由直线yx可知，∠MOA＝60°，
∴∠MOA＝∠OAM＝60°，
∴△OAM是等边三角形，
∴OA＝OM，
∵△APQ是等边三角形，
∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∴∠OAQ＝∠MAP，
∴△OAQ≌△MAP（SAS），
∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，
∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，
过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值，
此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°，
∴∠OBA＝30°，
∴AB＝2OA＝8.
故答案为：C.
【分析】如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，易证△OAM是等边三角形，根据等边三角形的性质得OA＝OM，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，从而利用SAS证明△OAQ≌△MAP，根据全等三角形的性质得∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，从而得出PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，再根据轴对称最值问题，作点O关于直线PM的对称点B，连接AB，根据含30度角直角三角形的性质，求出AB的长即可．
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵与关于直线l对称，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点P与点C重合，即点B，P，共线时，取得最小值，最小值为，
即的最小值为4．
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
5．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图示，作 关于 和 的对称点 ， A" ，连接 A'A"，交 于 ，交 于 ，则A'A" 即为 的周长最小值.
延长 ，作 于 点，
，
，
，
， ，
且 ， ，
，
故答案为：B.
【分析】根据要使 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出 关于BC和ED 的对称点A'， A" ，即可得出∠AA'M+∠A"=44°， 进而得出∠ANN+∠ANM=2(∠AA'M+∠A")即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵的面积等于的面积的，
∴点P在AD的垂直平分线上，
如图所示，作点B关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C交垂直平分线于点P，由对称性可得：B'P=BP，
∴BP+PC=B'P+PC=B'C，则PB+PC的值最小，
∵AD=BB'，AD=BC，
∴BB'=BC，
∴△BCB'是等腰直角三角形，
∴∠B'CB=∠B'=45°，
∴∠B'BP=45°，
∴∠PBD=45°，
故答案为：B.
【分析】根据题意先作图求出点P在AD的垂直平分线上，再求出PB+PC的值最小，最后求解即可。
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CP，CE，CF，PM，PN，
∵点P关于BC，AC的对称点分别为点E，F，
∴CP＝CE，CP＝CF，∠PCN＝∠ECN，∠PCM＝∠FCM，
∴∠ECF＝2∠ACB＝60°，
∴△ECF是等边三角形，
当点P与B重合时，CP最大为2AB＝2，
当点P与A重合时，CP最小为CA，
∴EF的最大值为2，最小值为，故甲正确；
由对称性知，∠E＝∠CPN＝60°，∠F＝∠CPM＝60°，
∴∠MPN＝120°，
∴△PMN是钝角三角形，故乙正确.
故答案为：A.
【分析】连接CP、CE、CF、PM、PN，根据轴对称的性质可得CP＝CE，CP＝CF，∠PCN＝∠ECN，∠PCM＝∠FCM，则∠ECF＝2∠ACB＝60°，推出△ECF是等边三角形，当点P与B重合时，CP最大为2AB，当点P与A重合时，CP最小为CA，据此判断甲；由对称性知∠E＝∠CPN＝60°，∠F＝∠CPM＝60°，则∠MPN＝120°，进而判断乙.
8．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD，
∵∠ADC=90°，C'D=CD，
∴点C'与点C关于AD对称，
连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，
∵∠A=∠ADC=90°
∴CD//AB，
∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°，
∵C'D=CD，∠ADC=90°
∴CC' =2CD，
∵BC=2CD，
∴CC' =BC，
∴∠C'=∠CBC'，
∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°，
过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E，
则BE=AD=2，
在Rt△BEC'中，∠C'=30°， BE=2，
∴BC' =2BE=4，
即PB+ PC的值最小值为4，
故答案为：A.
【分析】延长CD至C'，使C'D=CD，得出点C'与点C关于AD对称，连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，根据条件先求出C'C=BC，从而判断出∠C'=30°，再构造出Rt△BEC'，利用含30°角的直角三角形的性质，即可求出结果.
9．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：、 为等边三角形，
∴CA=CB，CE=CF，∠ACB=∠ECF，
∴∠ACE=∠BCF，
∴≌(SAS)
∴∠CAE=∠CBF，
又 是边上的中线，
∴∠CAE=∠CBF=30°，
作点D关于BF对称的点H，
∴BD=BH，∠CBH=2∠CBF=60°，
是等边三角形，
∴∠BDH=60°，∠HDC=120°，
的周长=CF+DF+CD=CF+HF+CD
周长最小时，H、F、C三点共线，
中，∠HDC=120°，CD=HD=1，
∴CH=，
即的周长最小为CD+CH=1+.
故答案为： .
【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB，CE=CF，∠ACB=∠ECF，推出≌(SAS)，根据三角形全等的性质及等腰三角形的性质可得∠CAE=∠CBF=30°，作点D关于BF对称的点H，由对称性可得BD=BH，∠CBH=2∠CBF=60°，是等边三角形，推出H、F、C三点共线时，的周长最小，即可得的周长最小为CD+CH=1+.
10．【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接PE，
∵△ABC和△DCE都是边长为6的等边三角形，
∴AC=EC，∠ACB=∠ECD=60°
∴∠ACP=60°
∴∠ACP=∠ECP
在△ACP和△ECP中，
∴△ACP≌△ECP
∴PA=PE
∴AP+PB=PE+PB
当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BE的长，
∴AP+BP的最小值为：6×2=12.
故答案为：12.
【分析】如图，连接PE，利用等边三角形的性质可得∠ACP=∠ECP=60°，根据SAS可证△ACP≌△ECP，可得PA=PE，从而求出AP+PB=PE+PB，当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BE的长，据此解答即可.
11．【答案】5
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA PB|的值最大的点，
∵点B是2x2的正方形的对角线的交点，
∴点P即为AB延长线上的点，此时P(3，0)即OP=3；
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值，
∵A′( 1，2)，B(2，1)，
设过A′B的直线为：y=kx+b，则 ，
解得 ，
∴Q(0， )，即OQ= ，
∴OPOQ=3× =5.
故答案为：5.
【分析】根据题意连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA PB|的值最大的点，得到OP=3；再由对称的性质得到A′B为QA+QB的最小值，由点的坐标求出OP·OQ的值.
12．【答案】4
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF=2，点G为EF的中点，
∴DG=1，
∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；
∵AB=2，AD=3，
∴AA′=4，
∴A′D=5，
∴A′G=A′D﹣DG=5﹣1=4；
∴PA+PG的最小值为4；
故答案为：4.
【分析】添加辅助线作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长，根据矩形的性质计算A′G即可.
13．【答案】140°
【知识点】三角形的外角性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH，
∵∠DAB=110°，
∴∠HAA′=70°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×70°=140°.
【分析】根据轴对称的相关知识解答此题。作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，因此△AMN的周长最小值就是线段A′A″的长，根据∠DAB=110°，得出∠HAA′=∠AA′M+∠A″，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，得出∠AMN=∠MA′A+∠MAA′，∠ANM=∠NAD+∠A″，即可求出结果。
14．【答案】（1）4，45
（2）解：∵平分，，
∴，
①当时，，
∴，
②当时，，
③当时，，
综上所述，的度数为或或.
（3）2
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
，
，
，
∵AC=4，
，
点是的中点，
，
故答案为：4，45；
（3）如图，过点M作MP⊥BC于点P，作点P关于CD的对称点P'，
，
，
∴∠CPM=∠CP'M=90°，
平分，
∴MP=MP'，
在和中，
，
，
∴，
∴MP+ME=MP'+ME，
当点E，M，P'三点共线时，的值最小，
又垂线段最短，
当时，有最小值，
，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
，，
，
，
∵AC=4，
，
故答案为：2.
【分析】（1）根据角平分线的定义得，根据直角三角形两锐角互余得∠B=30°，从而利用含30°的直角三角形的性质得AB=2AC=8，最后根据中点的定义求出AE的长；
（2）根据角平分线的定义得，接下来进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，然后根据等腰三角形“等边对等角”、三角形内角和定理进行求解即可；
（3）过点M作MP⊥BC于点P，作点P关于CD的对称点P'，从而得∠CPM=∠CP'M=90°，然后根据角平分线的性质得MP=MP'，接下来利用全等三角形的判定定理“HL”证明，根据全等三角形对应边相等得，从而得，进而得点E，M，三点共线时，的值最小，根据垂线段最短可知当时，有最小值，此时，从而求出，，最后根据含30°的直角三角形的性质得AP'的值，进而求出CP=CP'=AC-AP'.
（1），，
，
，
点是边的中点，
，
平分，
，
故答案为：4；45．
（2）∵平分，，
∴．
当时，，
∴；
当时，；
当时，．
综上所述，的度数为或或；
（3）如图，点M在上，且，作点P关于的对称点，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
当点E，M，三点共线时，的值最小，
又根据垂线段最短，
当时，有最小值，
，
，
，
，
．
15．【答案】（1）证明：作点D到AC、BC边的垂线，垂足分别为M、N，
∵是角平分线．
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴
（2）解：①在AB上取点E，使AE=AC，连接ED，作∠BDE的角平分线DF交AB于F点，
∵在中，，，
∴，
∴是角平分线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
又∵是角平分线，．
∴．
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵是角平分线，
∴，即，
∴即；
②
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）②解：如图，连接BQ，作点D关于BQ的对称点D'，连接BD'，CD'，CD'与BQ相交于点Q'，
∵∠ACB=∠PCQ=，
∴∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，CP=CQ，
∴△BQC≌△APC（SAS），
∴∠CBQ=∠CAP，
∵BQ是定直线，
∴D'Q'+Q'C=DQ'+Q'C≤DQ+QC，
当Q在点Q'时，CQ+DQ最小，
由对称性可得∠D'BQ=∠CBQ，BD'=BD，
∴BD'∶BC=D'Q'∶Q'C=BD∶BC=m∶(m+n），
∴当CQ+DQ最小时，.
【分析】（1）作点D到AC、BC边的垂线，垂足分别为M、N，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DM=DN，进而根据三角形的面积公式可得同高或等高的三角形面积之比等于底之比可得S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=DB∶DC；
（2）①在AB上取点E，使AE=AC，连接ED，作∠BDE的角平分线DF交AB于F点，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠CAB=∠CBA=36°，由角平分线的定义得∠CAD=∠DBA=18°，从而由SAS判断出△AED≌△ACD，得DE=CD，∠AED=∠ACB=108°，根据平角定义可求出∠BED=∠BDE=72°，由等角对等边得BE=BD=m，由角平分线的定义及三角形的内角和定理可推出∠B=∠EDB=36°，由等角对等边得BF=DF，由三角形外角性质推出∠DFE=∠FED=72°，由等角对等边得ED=DF，则可得BF=FD=ED=CD=n，根据（1）得结论可得ED∶BD=EF∶BF，从而代入即可得出结论；
②连接BQ，作点D关于BQ的对称点D'，连接BD'，CD'，CD'与BQ相交于点Q'，易得∠ACP=∠BCQ，从而可用SAS判断出△BQC≌△APC，得∠CBQ=∠CAP，BQ是定直线，由对称性可得D'Q'+Q'C=DQ'+Q'C≤DQ+QC，则当Q在点Q'时，CQ+DQ最小，由对称性可得∠D'BQ=∠CBQ，BD'=BD，从而根据（1）得结论可解了.
1 / 1人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.4最短路径（三阶）
一、选择题（3分）
1．（2023八上·东西湖月考）如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP＋PQ＋QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是（　　）
A．∠1＋∠2＝90° B．2∠1＋∠2＝180°
C．∠1－∠2＝90° D．2∠2－∠1＝30°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，
则MP+PQ+QN最小，
由三角形外角性质得∠OPM=∠1 ∠O=∠1 30°，
∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，
∴∠OPM=∠QPN=∠1 30°，
∴∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1 30°)
∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2，
∵∠N′QA=∠3，∠OQP=∠N′QA
∴∠OQP=∠3=30°+∠2，
在△MQP中，由内角和定理得∠1+∠OQP+∠QPM=180°，
即∠1+30°+∠2+180°-2(∠1 30°)=180°，
化简得∠1 ∠2=90°.
故答案为：D.
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，由三角形外角性质得∠OPM=∠1 ∠O=∠1 30°，由轴对称及对顶角相等可得∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1 30°)，同理可得∠OQP=∠3=30°+∠2，在△MQP中，根据三角形的内角和定理可求得∠1+30°+∠2+180°-2(∠1 30°)=180°，化简可得∠1 ∠2=90°.
2．（2023八上·海曙期中）如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，∠B+∠C=150°，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ最小值是（　　）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，
则 ，
∵∠ABC+∠C=150°，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
连接BP、PF、PQ，则，
∴，
∴当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，
则BP+PQ最小值为FQ的长，
此时，Q为EB中点，故与A重合，
∵，
∴，
在中， ，
∴BP+PQ最小值为．
故答案为：D.
【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形30°所对直角边等于斜边的一半，正确的作出图形是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点；作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，计算求解即可．
3．（2022八上·德清期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．8 D．6
【答案】C
【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，
由直线yx可知，∠MOA＝60°，
∴∠MOA＝∠OAM＝60°，
∴△OAM是等边三角形，
∴OA＝OM，
∵△APQ是等边三角形，
∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∴∠OAQ＝∠MAP，
∴△OAQ≌△MAP（SAS），
∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，
∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，
过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值，
此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°，
∴∠OBA＝30°，
∴AB＝2OA＝8.
故答案为：C.
【分析】如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，易证△OAM是等边三角形，根据等边三角形的性质得OA＝OM，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，从而利用SAS证明△OAQ≌△MAP，根据全等三角形的性质得∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，从而得出PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，再根据轴对称最值问题，作点O关于直线PM的对称点B，连接AB，根据含30度角直角三角形的性质，求出AB的长即可．
4．（2022八上·河西期末）如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵与关于直线l对称，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点P与点C重合，即点B，P，共线时，取得最小值，最小值为，
即的最小值为4．
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
5．（2020八上·无锡月考）如图.在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（　　）
A．84° B．88° C．90° D．96°
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图示，作 关于 和 的对称点 ， A" ，连接 A'A"，交 于 ，交 于 ，则A'A" 即为 的周长最小值.
延长 ，作 于 点，
，
，
，
， ，
且 ， ，
，
故答案为：B.
【分析】根据要使 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出 关于BC和ED 的对称点A'， A" ，即可得出∠AA'M+∠A"=44°， 进而得出∠ANN+∠ANM=2(∠AA'M+∠A")即可得出答案.
6．（2024八上·遵义期末）如图，中，，垂足为，点为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵的面积等于的面积的，
∴点P在AD的垂直平分线上，
如图所示，作点B关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C交垂直平分线于点P，由对称性可得：B'P=BP，
∴BP+PC=B'P+PC=B'C，则PB+PC的值最小，
∵AD=BB'，AD=BC，
∴BB'=BC，
∴△BCB'是等腰直角三角形，
∴∠B'CB=∠B'=45°，
∴∠B'BP=45°，
∴∠PBD=45°，
故答案为：B.
【分析】根据题意先作图求出点P在AD的垂直平分线上，再求出PB+PC的值最小，最后求解即可。
7．（2022八上·临海期末）如图，在中，，，，，动点P在边上，点P关于，的对称点分别为点E，F，连接，交，分别为点M，N.
甲：我发现线段的最大值为2，最小值为；
乙：我连接，，发现一定为钝角三角形.
则下列判断正确的是（　　）
A．甲对乙对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲错乙错
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CP，CE，CF，PM，PN，
∵点P关于BC，AC的对称点分别为点E，F，
∴CP＝CE，CP＝CF，∠PCN＝∠ECN，∠PCM＝∠FCM，
∴∠ECF＝2∠ACB＝60°，
∴△ECF是等边三角形，
当点P与B重合时，CP最大为2AB＝2，
当点P与A重合时，CP最小为CA，
∴EF的最大值为2，最小值为，故甲正确；
由对称性知，∠E＝∠CPN＝60°，∠F＝∠CPM＝60°，
∴∠MPN＝120°，
∴△PMN是钝角三角形，故乙正确.
故答案为：A.
【分析】连接CP、CE、CF、PM、PN，根据轴对称的性质可得CP＝CE，CP＝CF，∠PCN＝∠ECN，∠PCM＝∠FCM，则∠ECF＝2∠ACB＝60°，推出△ECF是等边三角形，当点P与B重合时，CP最大为2AB，当点P与A重合时，CP最小为CA，据此判断甲；由对称性知∠E＝∠CPN＝60°，∠F＝∠CPM＝60°，则∠MPN＝120°，进而判断乙.
8．（2022八上·青川期末）如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（　　）
A．4 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD，
∵∠ADC=90°，C'D=CD，
∴点C'与点C关于AD对称，
连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，
∵∠A=∠ADC=90°
∴CD//AB，
∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°，
∵C'D=CD，∠ADC=90°
∴CC' =2CD，
∵BC=2CD，
∴CC' =BC，
∴∠C'=∠CBC'，
∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°，
过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E，
则BE=AD=2，
在Rt△BEC'中，∠C'=30°， BE=2，
∴BC' =2BE=4，
即PB+ PC的值最小值为4，
故答案为：A.
【分析】延长CD至C'，使C'D=CD，得出点C'与点C关于AD对称，连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，根据条件先求出C'C=BC，从而判断出∠C'=30°，再构造出Rt△BEC'，利用含30°角的直角三角形的性质，即可求出结果.
二、填空题（3分）
9．（2023八上·余姚月考）如图，边长为2的等边中，是边上的中线，点E在上，连接，在的下方作等边，连接，则周长的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：、 为等边三角形，
∴CA=CB，CE=CF，∠ACB=∠ECF，
∴∠ACE=∠BCF，
∴≌(SAS)
∴∠CAE=∠CBF，
又 是边上的中线，
∴∠CAE=∠CBF=30°，
作点D关于BF对称的点H，
∴BD=BH，∠CBH=2∠CBF=60°，
是等边三角形，
∴∠BDH=60°，∠HDC=120°，
的周长=CF+DF+CD=CF+HF+CD
周长最小时，H、F、C三点共线，
中，∠HDC=120°，CD=HD=1，
∴CH=，
即的周长最小为CD+CH=1+.
故答案为： .
【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB，CE=CF，∠ACB=∠ECF，推出≌(SAS)，根据三角形全等的性质及等腰三角形的性质可得∠CAE=∠CBF=30°，作点D关于BF对称的点H，由对称性可得BD=BH，∠CBH=2∠CBF=60°，是等边三角形，推出H、F、C三点共线时，的周长最小，即可得的周长最小为CD+CH=1+.
10．（2020八上·常熟期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为6的等边三角形，且点B、C、E在同一条直线上，点P是CD边上的一个动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为　 　.
【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接PE，
∵△ABC和△DCE都是边长为6的等边三角形，
∴AC=EC，∠ACB=∠ECD=60°
∴∠ACP=60°
∴∠ACP=∠ECP
在△ACP和△ECP中，
∴△ACP≌△ECP
∴PA=PE
∴AP+PB=PE+PB
当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BE的长，
∴AP+BP的最小值为：6×2=12.
故答案为：12.
【分析】如图，连接PE，利用等边三角形的性质可得∠ACP=∠ECP=60°，根据SAS可证△ACP≌△ECP，可得PA=PE，从而求出AP+PB=PE+PB，当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BE的长，据此解答即可.
11．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）八年级上册20.4 课题学习 最短路径问题 同步练习）点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是 轴上使得∣PA—PB∣的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP·OQ=　 　.
【答案】5
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA PB|的值最大的点，
∵点B是2x2的正方形的对角线的交点，
∴点P即为AB延长线上的点，此时P(3，0)即OP=3；
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值，
∵A′( 1，2)，B(2，1)，
设过A′B的直线为：y=kx+b，则 ，
解得 ，
∴Q(0， )，即OQ= ，
∴OPOQ=3× =5.
故答案为：5.
【分析】根据题意连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA PB|的值最大的点，得到OP=3；再由对称的性质得到A′B为QA+QB的最小值，由点的坐标求出OP·OQ的值.
12．（人教版八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为　 　．
【答案】4
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF=2，点G为EF的中点，
∴DG=1，
∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；
∵AB=2，AD=3，
∴AA′=4，
∴A′D=5，
∴A′G=A′D﹣DG=5﹣1=4；
∴PA+PG的最小值为4；
故答案为：4.
【分析】添加辅助线作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长，根据矩形的性质计算A′G即可.
13．（2017八上·鄞州月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　 　．
【答案】140°
【知识点】三角形的外角性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH，
∵∠DAB=110°，
∴∠HAA′=70°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×70°=140°.
【分析】根据轴对称的相关知识解答此题。作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，因此△AMN的周长最小值就是线段A′A″的长，根据∠DAB=110°，得出∠HAA′=∠AA′M+∠A″，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，得出∠AMN=∠MA′A+∠MAA′，∠ANM=∠NAD+∠A″，即可求出结果。
三、解答题
14．（2023八上·椒江月考）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．
（1）　 　°，　 　；
（2）若是等腰三角形，求的度数；
（3）若点M在线段上，连接、，则的值最小时　 　．
【答案】（1）4，45
（2）解：∵平分，，
∴，
①当时，，
∴，
②当时，，
③当时，，
综上所述，的度数为或或.
（3）2
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
，
，
，
∵AC=4，
，
点是的中点，
，
故答案为：4，45；
（3）如图，过点M作MP⊥BC于点P，作点P关于CD的对称点P'，
，
，
∴∠CPM=∠CP'M=90°，
平分，
∴MP=MP'，
在和中，
，
，
∴，
∴MP+ME=MP'+ME，
当点E，M，P'三点共线时，的值最小，
又垂线段最短，
当时，有最小值，
，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
，，
，
，
∵AC=4，
，
故答案为：2.
【分析】（1）根据角平分线的定义得，根据直角三角形两锐角互余得∠B=30°，从而利用含30°的直角三角形的性质得AB=2AC=8，最后根据中点的定义求出AE的长；
（2）根据角平分线的定义得，接下来进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，然后根据等腰三角形“等边对等角”、三角形内角和定理进行求解即可；
（3）过点M作MP⊥BC于点P，作点P关于CD的对称点P'，从而得∠CPM=∠CP'M=90°，然后根据角平分线的性质得MP=MP'，接下来利用全等三角形的判定定理“HL”证明，根据全等三角形对应边相等得，从而得，进而得点E，M，三点共线时，的值最小，根据垂线段最短可知当时，有最小值，此时，从而求出，，最后根据含30°的直角三角形的性质得AP'的值，进而求出CP=CP'=AC-AP'.
（1），，
，
，
点是边的中点，
，
平分，
，
故答案为：4；45．
（2）∵平分，，
∴．
当时，，
∴；
当时，；
当时，．
综上所述，的度数为或或；
（3）如图，点M在上，且，作点P关于的对称点，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
当点E，M，三点共线时，的值最小，
又根据垂线段最短，
当时，有最小值，
，
，
，
，
．
四、实践探究题
15．（2024八上·江汉期末）如图
（1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：；
（2）在中，，，是角平分线，，．
①应用探究如图（2），若，求证：；
②迁移拓展如图（3），P为线段上一点，绕C点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）证明：作点D到AC、BC边的垂线，垂足分别为M、N，
∵是角平分线．
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴
（2）解：①在AB上取点E，使AE=AC，连接ED，作∠BDE的角平分线DF交AB于F点，
∵在中，，，
∴，
∴是角平分线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
又∵是角平分线，．
∴．
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵是角平分线，
∴，即，
∴即；
②
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）②解：如图，连接BQ，作点D关于BQ的对称点D'，连接BD'，CD'，CD'与BQ相交于点Q'，
∵∠ACB=∠PCQ=，
∴∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，CP=CQ，
∴△BQC≌△APC（SAS），
∴∠CBQ=∠CAP，
∵BQ是定直线，
∴D'Q'+Q'C=DQ'+Q'C≤DQ+QC，
当Q在点Q'时，CQ+DQ最小，
由对称性可得∠D'BQ=∠CBQ，BD'=BD，
∴BD'∶BC=D'Q'∶Q'C=BD∶BC=m∶(m+n），
∴当CQ+DQ最小时，.
【分析】（1）作点D到AC、BC边的垂线，垂足分别为M、N，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DM=DN，进而根据三角形的面积公式可得同高或等高的三角形面积之比等于底之比可得S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=DB∶DC；
（2）①在AB上取点E，使AE=AC，连接ED，作∠BDE的角平分线DF交AB于F点，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠CAB=∠CBA=36°，由角平分线的定义得∠CAD=∠DBA=18°，从而由SAS判断出△AED≌△ACD，得DE=CD，∠AED=∠ACB=108°，根据平角定义可求出∠BED=∠BDE=72°，由等角对等边得BE=BD=m，由角平分线的定义及三角形的内角和定理可推出∠B=∠EDB=36°，由等角对等边得BF=DF，由三角形外角性质推出∠DFE=∠FED=72°，由等角对等边得ED=DF，则可得BF=FD=ED=CD=n，根据（1）得结论可得ED∶BD=EF∶BF，从而代入即可得出结论；
②连接BQ，作点D关于BQ的对称点D'，连接BD'，CD'，CD'与BQ相交于点Q'，易得∠ACP=∠BCQ，从而可用SAS判断出△BQC≌△APC，得∠CBQ=∠CAP，BQ是定直线，由对称性可得D'Q'+Q'C=DQ'+Q'C≤DQ+QC，则当Q在点Q'时，CQ+DQ最小，由对称性可得∠D'BQ=∠CBQ，BD'=BD，从而根据（1）得结论可解了.
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