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人教版八年级上学期数学第十三章质量检测（初阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2024八上·丰城开学考）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·益阳开学考）如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（ ）
A．Р为两角平分线的交点
B．P为两边上的高的交点
C．P为两边的垂直平分线的交点
D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点
3．（2024八上·攀枝花开学考）如图，在中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．
若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·贵州期中）如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F．若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．16
5．（2024八上·承德期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·西吉期末）点关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·襄城期末）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
8．（2024八上·镇海区期末）若等腰三角形中有一个角等于36°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A．36° B．72° C．108°或36° D．108°或72°
9．（2024八上·呈贡期末）如图， 在中，，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点，作于点E．有下列三个结论：①平分；②；③．其中错误的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（2024八上·桑植期末）如图，已知，点、、……在射线上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形．若，则△A4B4A5的边长为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，已知点为中点，，过点作，垂足为点，若，则 ．
12．（2024八上·益阳开学考）如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒．
13．（2024八上·德阳期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于M，N点．若点D为边上一动点，点P为直线上一动点，当的值最小时，周长为 ．
14．（2024八上·巴彦期末）如图，在中，是的垂直平分线，与交于点，，，则 ．
15．（2024八上·西吉期末）如图，已知，，，则 ．
阅卷人 三、解答题（共8题，共75分）
得分
16．（2024八上·阿图什期末）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD是多少？
17．（2024八上·庄浪期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于N．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，的周长是．求的长．
18．（2020八上·合江月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中， ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（ 1 ）在图中画出与 ABC关于直线y成轴对称的 A1B1C1；
（ 2 ）求 ABC的面积；
（ 3 ）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
19．（2023八上·潮南期中）已知在中，，，．
（1）求m的取值范围；
（2）若是等腰三角形，求的周长．
20．（2023八上·丰城开学考）在综合实践课上，老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动：在等腰三角形纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与A，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角为，斜边交于点．
（1）特例感知
当时，___________°，点从向A运动时，逐渐变___________（填“大”或“小”）；
（2）思维拓展
在点的滑动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角的大小；若不可以，请说明理由．
21．（2024八上·杭州期末）如图，在中，，点是边上的中点，连结，平分交于点，过点作交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
22．（2023八上·信阳月考）如图，早上，一艘轮船以海里小时的速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，到上午，轮船在处测得小岛在北偏西方向上，在小岛周围海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？
23．（2020八上·长沙期末）如图，在 中， ， 于点 ， 平分 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，把一个图形沿某条直线翻折后，直线两侧的部分能够互相重合，这样的图形是轴对称图形，得只有选项符合题意，
故答案为：．
【分析】本题考查轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义： 是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴 .观察图形可得只有C选项左右两边对折之后能够完全重合，据此可选出答案.
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质求解即可．
【解答】
解：∵P到∠A的两边的距离相等，
∴P在∠A的角平分线上；
∵PA＝PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
由题知，直线为的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】根据等边对等角得出∠CDA=∠A=50°，根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等得出CD=BD，等边对等角得出∠B=∠BCD，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出∠B=25°，根据三角形内角和是180°即可求解.
4．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质
5．【答案】D
【知识点】轴对称的性质
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】∵等腰三角形中有一个角等于36°，∴①若36°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为36°；
②若36°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°-36°×2=108°．
∴这个等腰三角形的顶角的度数为：36°或108°．
故答案为：C．
【分析】分为①36°为顶角、②36°为底角，利用三角形的内角和定理解题即可．
9．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的边长为，
同理：，
即的边长为，
…
依此类推，则的边长为，
则的边长为；
故答案为：A
【分析】根据等边三角形性质可得，再根据三角形外角性质可得，则的边长为，同理：的边长为，依此类推，则的边长为，则的边长为，即可求出答案.
11．【答案】1
【知识点】等腰三角形的性质
12．【答案】1或3
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
由等边的边长为，点是的中点，可求得的长，然后，可得为等边三角形，分析为等边三角形即可求得答案．
【解答】
解：∵等边的边长为，点是的中点，
∴，
∴当是等腰三角形时，可得三角形为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵动点的速度为/秒，
∴当从时，，当从时，．
故答案为：1或3．
13．【答案】11
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
16．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
18．【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣ ×2×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3＝ ；
（3）如图所示，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△ABC的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于P，则PB+PC的值最小．
19．【答案】（1）解：根据题意，得，
即，
解得：
（2）解：当时，的周长为；
当时，，
∴不存在，故舍去，
∴的周长为48
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边即可求解；
（2）分AB=AC=20和BC=AC=8，两种情况分别进行计算即可解答．
（1）解：根据题意，得，
即，
解得；
（2）解：当时，
的周长为；
当时，，
∴不存在，故舍去，
∴的周长为48．
20．【答案】（1），小
（2）可以是等腰三角形，当或时，是等腰三角形
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵为的中点，，
∴，即，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠C=∠ABC=38°，由等腰三角形的三线合一得∠ADB=90°，最后根据直角三角形的量锐角互余可算出∠BAD的度数；
（2）由角平分线定义得∠EBF=∠EBC，由平行线的性质得∠EBC=∠BEF，则∠EBF=∠FEB，最后根据等角对等边可得FB=FE.
22．【答案】轮船继续向前航行，无触礁的危险
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
23．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ， ．
∴ 中， ，
∴ 中， ，
∴ ．
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义及在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半进行作答即可。
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人教版八年级上学期数学第十三章质量检测（初阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2024八上·丰城开学考）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，把一个图形沿某条直线翻折后，直线两侧的部分能够互相重合，这样的图形是轴对称图形，得只有选项符合题意，
故答案为：．
【分析】本题考查轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义： 是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴 .观察图形可得只有C选项左右两边对折之后能够完全重合，据此可选出答案.
2．（2024八上·益阳开学考）如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（ ）
A．Р为两角平分线的交点
B．P为两边上的高的交点
C．P为两边的垂直平分线的交点
D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质求解即可．
【解答】
解：∵P到∠A的两边的距离相等，
∴P在∠A的角平分线上；
∵PA＝PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
3．（2024八上·攀枝花开学考）如图，在中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．
若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
由题知，直线为的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】根据等边对等角得出∠CDA=∠A=50°，根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等得出CD=BD，等边对等角得出∠B=∠BCD，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出∠B=25°，根据三角形内角和是180°即可求解.
4．（2024八上·贵州期中）如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F．若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．16
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质
5．（2024八上·承德期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
6．（2024八上·西吉期末）点关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
7．（2024八上·襄城期末）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
8．（2024八上·镇海区期末）若等腰三角形中有一个角等于36°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A．36° B．72° C．108°或36° D．108°或72°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】∵等腰三角形中有一个角等于36°，∴①若36°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为36°；
②若36°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°-36°×2=108°．
∴这个等腰三角形的顶角的度数为：36°或108°．
故答案为：C．
【分析】分为①36°为顶角、②36°为底角，利用三角形的内角和定理解题即可．
9．（2024八上·呈贡期末）如图， 在中，，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点，作于点E．有下列三个结论：①平分；②；③．其中错误的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
10．（2024八上·桑植期末）如图，已知，点、、……在射线上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形．若，则△A4B4A5的边长为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的边长为，
同理：，
即的边长为，
…
依此类推，则的边长为，
则的边长为；
故答案为：A
【分析】根据等边三角形性质可得，再根据三角形外角性质可得，则的边长为，同理：的边长为，依此类推，则的边长为，则的边长为，即可求出答案.
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，已知点为中点，，过点作，垂足为点，若，则 ．
【答案】1
【知识点】等腰三角形的性质
12．（2024八上·益阳开学考）如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒．
【答案】1或3
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
由等边的边长为，点是的中点，可求得的长，然后，可得为等边三角形，分析为等边三角形即可求得答案．
【解答】
解：∵等边的边长为，点是的中点，
∴，
∴当是等腰三角形时，可得三角形为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵动点的速度为/秒，
∴当从时，，当从时，．
故答案为：1或3．
13．（2024八上·德阳期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于M，N点．若点D为边上一动点，点P为直线上一动点，当的值最小时，周长为 ．
【答案】11
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
14．（2024八上·巴彦期末）如图，在中，是的垂直平分线，与交于点，，，则 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
15．（2024八上·西吉期末）如图，已知，，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
阅卷人 三、解答题（共8题，共75分）
得分
16．（2024八上·阿图什期末）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD是多少？
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
17．（2024八上·庄浪期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于N．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，的周长是．求的长．
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
18．（2020八上·合江月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中， ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（ 1 ）在图中画出与 ABC关于直线y成轴对称的 A1B1C1；
（ 2 ）求 ABC的面积；
（ 3 ）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣ ×2×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3＝ ；
（3）如图所示，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△ABC的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于P，则PB+PC的值最小．
19．（2023八上·潮南期中）已知在中，，，．
（1）求m的取值范围；
（2）若是等腰三角形，求的周长．
【答案】（1）解：根据题意，得，
即，
解得：
（2）解：当时，的周长为；
当时，，
∴不存在，故舍去，
∴的周长为48
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边即可求解；
（2）分AB=AC=20和BC=AC=8，两种情况分别进行计算即可解答．
（1）解：根据题意，得，
即，
解得；
（2）解：当时，
的周长为；
当时，，
∴不存在，故舍去，
∴的周长为48．
20．（2023八上·丰城开学考）在综合实践课上，老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动：在等腰三角形纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与A，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角为，斜边交于点．
（1）特例感知
当时，___________°，点从向A运动时，逐渐变___________（填“大”或“小”）；
（2）思维拓展
在点的滑动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角的大小；若不可以，请说明理由．
【答案】（1），小
（2）可以是等腰三角形，当或时，是等腰三角形
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
21．（2024八上·杭州期末）如图，在中，，点是边上的中点，连结，平分交于点，过点作交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵为的中点，，
∴，即，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠C=∠ABC=38°，由等腰三角形的三线合一得∠ADB=90°，最后根据直角三角形的量锐角互余可算出∠BAD的度数；
（2）由角平分线定义得∠EBF=∠EBC，由平行线的性质得∠EBC=∠BEF，则∠EBF=∠FEB，最后根据等角对等边可得FB=FE.
22．（2023八上·信阳月考）如图，早上，一艘轮船以海里小时的速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，到上午，轮船在处测得小岛在北偏西方向上，在小岛周围海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？
【答案】轮船继续向前航行，无触礁的危险
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
23．（2020八上·长沙期末）如图，在 中， ， 于点 ， 平分 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ， ．
∴ 中， ，
∴ 中， ，
∴ ．
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义及在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半进行作答即可。
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