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人教版八年级上学期数学第十三章质量检测（进阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
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阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2016八上·禹州期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，若EA=2，则BE=（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2024八上·益阳开学考）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D，满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为（ ）
A．30° B．120°
C．30°或120° D．30°或75°或120°
3．（2024八上·哈尔滨期末）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．AD的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2024八上·随县期末）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F， 交于点G，若，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
5．（2021八上·陇县期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，则 （ ）
A．10 B．11 C．13 D．15
6．（2019八上·朝阳期中）已知等边△ABC中AD⊥BC，AD=12，若点P在线段AD上运动，当 AP+BP的值最小时，AP的长为（ ）.
A．4 B．8 C．10 D．12
7．（2024八上·沭阳期末）如图，，为内部一条射线，点P为射线上一点，，点M、N分别为、边上动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
8．（2024八上·黄石港期末）如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·三台期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
10．（2022八上·长沙开学考）如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2024八上·巴彦期末）如图，在四边形ABCD中，，，点E是上一点，若，，则的度数为 ．
12．（2023八上·肇源开学考）如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为 ．
13．（2020八上·濉溪期末）如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，直线DE过点I，且DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE＝ ．
14．（2022八上·中山期末）如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为 ．
15．（2024八上·田阳期末） 如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是lcm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当△PBQ是直角三角形时，t等于 ．
阅卷人 三、解答题（共8题，共75分）
得分
16．（2024八上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
（1）如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为_________________；
（2）如图，点C、A分别在x轴、y轴负半轴上，边交y轴于点D，边交x轴于点E，若平分，点B坐标为．探究线段、、之间的数量关系．请回答下列问题：
①写出点C的坐标为_____________，点A的坐标为_____________，点D的坐标为_____________；
②直接写出线段、、之间的数量关系：_______________．
17．（2024八上·宁南期末）如图，是边长为厘米的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为厘米秒．当点到达点时，、两点停止运动．设点的运动时间为．
（1）当运动时间为秒时，的长为________厘米，的长为________厘米；用含的式子表示
（2）当为何值时，是直角三角形；
（3）如图，连接、，相交于点，则点，在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
18．（2024八上·南充期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AB的中点，过点A作l1∥BC，过点B作l2⊥CD于F，l1与l2交于点E，连接CE、DE.
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）试证明△BCE是等腰三角形.
19．（2024八上·通道期末）如图，在等边中，点M为上任意一点，延长至点N，使，连接交于点P．
（1）求证：；
（2）作于点H，设，请用含的式子表示的长度．
20．（2024八上·璧山期末）上午8时，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛处，从望灯塔，测得，．
（1）求从海岛到灯塔的距离；
（2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔的距离最短？
21．（2024八上·湖南期末） 如图，在等腰中，，，为上一点，于点．
（1）如图，若，求的度数．
（2）如图，过作于点，求证：≌．
（3）若，，，求的值．
22．（2024八上·四会期末）已知：如图， 为 的角平分线，且，为延长线上的一点， ，过作，为垂足．求证：
（1）；
（2）；
（3）．
23．（2024八上·龙江期末）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，，点为轴上一动点，以为边作等边．
（1）求证：；
（2）的度数为 ；
（3）当点运动时，的长度是否发生变化？若不变化，直接写出的长，若变化请说出变化的规律．
（4）在轴上找一点，使是等腰三角形，直接写出满足条件的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C=30°，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥AB于点E，EA=2，
∴∠DEA=90°，∠DEB=90°，
∴∠BAD=60°，∠EDA=30°，
∴AD=2AE=4，
∴AB=2AD=8，
∴BE=AB﹣AE=8﹣2=6，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质和在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；求出BE的值.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OD＝PD，OP＝OD，OP＝CD，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当D在D1时，OD＝PD，
∵∠AOP＝∠OPD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当D在D2点时，OP＝OD，
则∠OPD＝∠ODP＝（180°﹣30°）＝75°；
③当D在D3时，OP＝DP，
则∠ODP＝∠AOP＝30°；
综上所述：120°或75°或30°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形，已知等腰三角形求其中一角的度数，灵活的根据等腰三角形的性质分类讨论确定点D的位置是求角度数的关键.
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；内错角的概念
【解析】【解答】解：延长交于点E，如下图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】延长交于点E，通过ASA证明，得出，根据平行线的性质得出，从而得出，再根据，推出，得出，得到，即可求解．
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM=5，
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE=6，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，
∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM=6，
∴AC=AM+CM＝AB+2BE=11.
故答案为：B.
【分析】延长BE交AC于M，对图形进行角标注，根据等角的余角相等可得∠3＝∠4，由等腰三角形的性质可得BM＝2BE=6，由外角的性质可得∠4＝∠5+∠C，则∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，推出∠5＝∠C，则CM＝BM=6，然后根据AC=AM+CM进行计算.
6．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，如下图所示
∵等边△ABC中AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ABF=∠CBF= ∠BAC=30°，
∴PD= AP
∴ AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值
∵在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短
∴BF即为PD＋BP的最小值
∴BF与AD的交点即为P点，如下图所示
∵∠CAD=∠ABF=∠CBF =30°
∴AP= BP，PD= BP= AP
∵AD=12
∴AP＋PD=12
∴AP＋ AP=12
解得：AP=8
故答案为：B.
【分析】过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，根据等边三角形的性质可得：∠CAD=∠ABF=∠CBF= ∠BAC=30°，从而可得：PD= AP，故 AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值，根据垂线段最短的性质即可判断BF即为PD＋BP的最小值，再根据30°所对的直角边是斜边的一半求AP即可.
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：当AB为等腰△ABC的腰时，分别以点B和A为圆心，AB的长为半径，画圆，与格点的交点即为所求；如图：
根据题意可得，点C在格点上，且点C在圆上，故符合题意的点C个数为8个；
当AB为等腰△ABC的底边时，分别以点B和A为圆心，AB的长为半径，画圆，连接两个圆的交点，与格点无交点；如图：
根据题意可得，点C在格点上，故不存在符合题意的点C；
综上，符合题意的点C个数为8个；
故答案为：B.
【分析】根据题意，分类讨论：当AB为等腰△ABC的腰时，根据题意的点C的个数为8个，当AB为等腰△ABC的底边时，不存在符合题意的点C，即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；线段的中点
【解析】【解答】解：∵D是AB的中点，
∴，
∵等边三角形ABC中∠BAC=∠ACB=60°，
且DF⊥AC，
∴∠FDA=180°-90°-60°=30°，
在Rt△ADF中，，
∴，
同理，在Rt△FEC中，，
∴．
故答案为：B
【分析】根据中点的性质可得，根据等边三角形的性质可得∠BAC=∠ACB=60°，再根据含30°角直角三角形的性质可求得，，结合题意加以计算即可求解。
10．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上取点使，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，③正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴，②正确，故符合要求；
∴，①正确，故符合要求；
∵，，
∴，④正确，故符合要求；
综上：正确的有①②③④，共4个，
故答案为：D．
【分析】在上取点使，先利用“SAS”证出，可得，，再利用线段的和差及等量代换求出，再利用三角形的面积公式及割补法求出即可.
11．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定
12．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
13．【答案】3cm
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，
∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF．
∵DE∥BC，
∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，
∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，
∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，
∴DE=DI﹣EI=3（cm）．
故答案为3cm．
【分析】根据角平分线的定义，可得∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，根据平行线的性质，可得∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，利用等量代换可得∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，由等角对等边可得DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，利用DE=DI﹣EI即可求出结论.
14．【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵点与点关于对称，
∴为的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：3．
【分析】连接OQ，根据轴对称的性质可得，再利用含30°角的直角三角形的性质可得。
15．【答案】1或2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴AB=BC=3cm，∠B=60°，
设点P的运动时间为t（s），△PBQ是直角三角形，
∴AP=tcm，BQ=tcm，
∴BP=(3-t)cm，
若△PBQ是直角三角形，则∠BPQ=90°或∠PQB=90°，
当∠BPQ=90°时，BP=BQ=t，即3-t=t，解得t=2；
当∠PQB=90°时，BQ=BP，即t=(3-t)，解得t=1，
∴当t为1或2时，△BPQ是直角三角形.
故答案为：1或2.
【分析】由等边三角形的性质得AB=BC=3cm，∠B=60°，设点P的运动时间为t（s），△PBQ是直角三角形，则AP=tcm，BQ=tcm，BP=(3-t)cm，然后分∠BPQ=90°或∠PQB=90°两种情况，根据含30°角直角三角形的性质得出BP与BQ的关系，从而建立方程，求解可得答案.
16．【答案】（1）；
（2）①，，；②
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）过B点作x轴垂线，垂足为D，
由题意知，，，
∵，，
∴，
在和中有
∴
∴，，，
故B点坐标为；
故答案为：；
（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，
∵点B坐标为，且点B在第一象限
∴，，
，，
①由题意知，，
∵，，
∴
在和中有
∴
∴，
∵，，
故，，
∵平分
∴
∴
∴
∴为等腰三角形，为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形．
∴，
∵，
∴，
在和中有
∴
∴
∴
则点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为，
故答案为：，，；
②由①可知，，，故有．
【分析】（1） 过B点作x轴垂线，垂足为D ，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，，即可求出答案.
（2）①过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角平分线的定义可得，则，即，再根据等腰三角形判定定理可得也为等腰三角形，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
②由①可知，，，故有，即可求出答案.
（1）解：过B点作x轴垂线，垂足为D，
由题意知，，，
∵，，
∴，
在和中有
∴
∴，，，
故B点坐标为；
故答案为：；
（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，
∵点B坐标为，且点B在第一象限
∴，，
，，
①由题意知，，
∵，，
∴
在和中有
∴
∴，
∵，，
故，，
∵平分
∴
∴
∴
∴为等腰三角形，为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形．
∴，
∵，
∴，
在和中有
∴
∴
∴
则点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为，
故答案为：，，；
②由①可知，，，故有．
17．【答案】（1），
（2） 或
（3）不变，且
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
18．【答案】（1）证明：∵l1∥BC
∴∠EAB＋∠ABC＝180°
∵∠ABC＝90°
∴∠EAB＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°
∵l2⊥CD
∴∠EBC＋∠DCB＝90°
∵∠EBC＋∠EBA＝90°
∴∠DCB＝∠EBA
在△AEB和△BDC中
∴△AEB≌△BDC（ASA）
（2）证明：由△AEB≌△BDC（已证）得AE＝BD
∵D为AB的中点，即AD＝BD
∴AE＝AD
∵∠ABC＝90°，AB＝AC
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠BAC＝45°∴∠EAC＝90°－45°＝45°
∴∠EAC＝∠DAC
在△EAC和△DAC中
∴△EAC≌△DAC（SAS）
∴DC＝CE
由（1）△AEB≌△BDC得BE＝CD
∴BE＝CE
∴△BCE是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先利用角的运算及等量代换求出∠DCB＝∠EBA，再利用“ASA”证出△AEB≌△BDC即可；
（2）先证出△ABC是等腰直角三角形，可得∠EAC＝∠DAC，再利用“SAS”证出△EAC≌△DAC，可得DC＝CE，再结合BE＝CD，证出 BE＝CE，可得△BCE是等腰三角形.
19．【答案】（1）证明：如图，在等边中过点作与交于，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
，
；
（2）解：∵于点，且是等边三角形，
∴是的中点，
又∵由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）在等边中过点作与交于，先根据平行线的性质结合题意得到，，进而根据等边三角形的判定与性质得到，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）先根据等边三角形的性质得到是的中点，进而根据三角形全等的性质得到，从而结合题意进行线段的运算即可求解。
20．【答案】（1）解：由题意得：（海里），
∵，，
∴，
∴，
∴（海里），
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里；
（2）解：如图，过点C作CP⊥AB于点P，
根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，，
∵，
∴，
∴在中，（海里），
∵，
．
∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 （1）根据已知条件得到∠ACB=60°-30°=30°，
根据等腰三角形的性质得到结论；
（2）过C作CP⊥AB于P，则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离，根据直角三角形的性质即可得到结论．
21．【答案】（1）解：，，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，，
，
在和中，
，
≌；
（3）解：，，
，
，
，
于点，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
的值为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出，再利用角的运算求出即可；
（2）利用角的运算及等量代换可得，再利用“AAS”证出≌即可；
（3）先利用角的运算求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用全等三角形的性质可得，，最后利用线段的和差求出即可.
22．【答案】（1）解：为的角平分线，
，
在与中，
，
（2）解：，
，
，，
，
，，
和为等腰三角形，
，
，
，
（3）解：如图，过点作交的延长线于点，
平分，，，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得，然后由全等三角形的判定可得答案；
（2）由（1）得，可得，进而可得和为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得；
（2）过点作交的延长线于点，根据全等三角形的判定可得，，从而得到，，由，等量代换可得结论.
23．【答案】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴
（2）
（3）解：的长度不变，；
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（4）解：点M的坐标为或
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）∵△OAP是等边三角形，
∴∠BOP=60°，
∵△PBO≌△PCA，
∴∠CAP=∠BOP=60°；
故答案为：60°；
（4）①当AE=AM=2时，
∵OM=OA+AM=3或OM=AM-AO=1，
∴当M（0，3）或（0，-1）；
②当EA=EM=2时，
∵∠OAE=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM=AE=2，
∴此时点M（0，-1）；
③当MA=ME时
，∵∠OAE=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM=AE=2，
∴此时点M（0，-1），
综上点M的坐标为（0，-1）或M（0，3）.
【分析】（1）由等边三角形性质得OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60°，由等式性质推出∠OPB=∠APC，从而用SAS判断出△PBO≌△PCA，由全等三角形的对应边相等得OB=AC；
（2）由等边三角形的三个内角都是60°，得∠BOP=60°，进而根据全等三角形的对应角相等，得∠CAP=∠BOP=60°；
（3）AE的长度不变，始终等于2，理由如下：由（2）的结论、等边三角形的性质及平角的定义得∠EAO=60°，由三角形内角和定理得∠AEO=30°，然后根据含30°角直角三角形的性质得AE=2AO=2；
（4）分类讨论：①当AE=AM=2时，②当EA=EM=2时，③当MA=ME时，分别根据y轴上点的坐标特点及等边三角形的性质求解即可.
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人教版八年级上学期数学第十三章质量检测（进阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2016八上·禹州期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，若EA=2，则BE=（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C=30°，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥AB于点E，EA=2，
∴∠DEA=90°，∠DEB=90°，
∴∠BAD=60°，∠EDA=30°，
∴AD=2AE=4，
∴AB=2AD=8，
∴BE=AB﹣AE=8﹣2=6，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质和在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；求出BE的值.
2．（2024八上·益阳开学考）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D，满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为（ ）
A．30° B．120°
C．30°或120° D．30°或75°或120°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OD＝PD，OP＝OD，OP＝CD，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当D在D1时，OD＝PD，
∵∠AOP＝∠OPD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当D在D2点时，OP＝OD，
则∠OPD＝∠ODP＝（180°﹣30°）＝75°；
③当D在D3时，OP＝DP，
则∠ODP＝∠AOP＝30°；
综上所述：120°或75°或30°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形，已知等腰三角形求其中一角的度数，灵活的根据等腰三角形的性质分类讨论确定点D的位置是求角度数的关键.
3．（2024八上·哈尔滨期末）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．AD的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
4．（2024八上·随县期末）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F， 交于点G，若，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；内错角的概念
【解析】【解答】解：延长交于点E，如下图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】延长交于点E，通过ASA证明，得出，根据平行线的性质得出，从而得出，再根据，推出，得出，得到，即可求解．
5．（2021八上·陇县期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，则 （ ）
A．10 B．11 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM=5，
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE=6，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，
∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM=6，
∴AC=AM+CM＝AB+2BE=11.
故答案为：B.
【分析】延长BE交AC于M，对图形进行角标注，根据等角的余角相等可得∠3＝∠4，由等腰三角形的性质可得BM＝2BE=6，由外角的性质可得∠4＝∠5+∠C，则∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，推出∠5＝∠C，则CM＝BM=6，然后根据AC=AM+CM进行计算.
6．（2019八上·朝阳期中）已知等边△ABC中AD⊥BC，AD=12，若点P在线段AD上运动，当 AP+BP的值最小时，AP的长为（ ）.
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，如下图所示
∵等边△ABC中AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ABF=∠CBF= ∠BAC=30°，
∴PD= AP
∴ AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值
∵在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短
∴BF即为PD＋BP的最小值
∴BF与AD的交点即为P点，如下图所示
∵∠CAD=∠ABF=∠CBF =30°
∴AP= BP，PD= BP= AP
∵AD=12
∴AP＋PD=12
∴AP＋ AP=12
解得：AP=8
故答案为：B.
【分析】过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，根据等边三角形的性质可得：∠CAD=∠ABF=∠CBF= ∠BAC=30°，从而可得：PD= AP，故 AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值，根据垂线段最短的性质即可判断BF即为PD＋BP的最小值，再根据30°所对的直角边是斜边的一半求AP即可.
7．（2024八上·沭阳期末）如图，，为内部一条射线，点P为射线上一点，，点M、N分别为、边上动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
8．（2024八上·黄石港期末）如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：当AB为等腰△ABC的腰时，分别以点B和A为圆心，AB的长为半径，画圆，与格点的交点即为所求；如图：
根据题意可得，点C在格点上，且点C在圆上，故符合题意的点C个数为8个；
当AB为等腰△ABC的底边时，分别以点B和A为圆心，AB的长为半径，画圆，连接两个圆的交点，与格点无交点；如图：
根据题意可得，点C在格点上，故不存在符合题意的点C；
综上，符合题意的点C个数为8个；
故答案为：B.
【分析】根据题意，分类讨论：当AB为等腰△ABC的腰时，根据题意的点C的个数为8个，当AB为等腰△ABC的底边时，不存在符合题意的点C，即可得出答案.
9．（2024八上·三台期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；线段的中点
【解析】【解答】解：∵D是AB的中点，
∴，
∵等边三角形ABC中∠BAC=∠ACB=60°，
且DF⊥AC，
∴∠FDA=180°-90°-60°=30°，
在Rt△ADF中，，
∴，
同理，在Rt△FEC中，，
∴．
故答案为：B
【分析】根据中点的性质可得，根据等边三角形的性质可得∠BAC=∠ACB=60°，再根据含30°角直角三角形的性质可求得，，结合题意加以计算即可求解。
10．（2022八上·长沙开学考）如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上取点使，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，③正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴，②正确，故符合要求；
∴，①正确，故符合要求；
∵，，
∴，④正确，故符合要求；
综上：正确的有①②③④，共4个，
故答案为：D．
【分析】在上取点使，先利用“SAS”证出，可得，，再利用线段的和差及等量代换求出，再利用三角形的面积公式及割补法求出即可.
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2024八上·巴彦期末）如图，在四边形ABCD中，，，点E是上一点，若，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定
12．（2023八上·肇源开学考）如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为 ．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
13．（2020八上·濉溪期末）如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，直线DE过点I，且DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE＝ ．
【答案】3cm
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，
∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF．
∵DE∥BC，
∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，
∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，
∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，
∴DE=DI﹣EI=3（cm）．
故答案为3cm．
【分析】根据角平分线的定义，可得∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，根据平行线的性质，可得∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，利用等量代换可得∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，由等角对等边可得DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，利用DE=DI﹣EI即可求出结论.
14．（2022八上·中山期末）如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵点与点关于对称，
∴为的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：3．
【分析】连接OQ，根据轴对称的性质可得，再利用含30°角的直角三角形的性质可得。
15．（2024八上·田阳期末） 如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是lcm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当△PBQ是直角三角形时，t等于 ．
【答案】1或2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴AB=BC=3cm，∠B=60°，
设点P的运动时间为t（s），△PBQ是直角三角形，
∴AP=tcm，BQ=tcm，
∴BP=(3-t)cm，
若△PBQ是直角三角形，则∠BPQ=90°或∠PQB=90°，
当∠BPQ=90°时，BP=BQ=t，即3-t=t，解得t=2；
当∠PQB=90°时，BQ=BP，即t=(3-t)，解得t=1，
∴当t为1或2时，△BPQ是直角三角形.
故答案为：1或2.
【分析】由等边三角形的性质得AB=BC=3cm，∠B=60°，设点P的运动时间为t（s），△PBQ是直角三角形，则AP=tcm，BQ=tcm，BP=(3-t)cm，然后分∠BPQ=90°或∠PQB=90°两种情况，根据含30°角直角三角形的性质得出BP与BQ的关系，从而建立方程，求解可得答案.
阅卷人 三、解答题（共8题，共75分）
得分
16．（2024八上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
（1）如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为_________________；
（2）如图，点C、A分别在x轴、y轴负半轴上，边交y轴于点D，边交x轴于点E，若平分，点B坐标为．探究线段、、之间的数量关系．请回答下列问题：
①写出点C的坐标为_____________，点A的坐标为_____________，点D的坐标为_____________；
②直接写出线段、、之间的数量关系：_______________．
【答案】（1）；
（2）①，，；②
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）过B点作x轴垂线，垂足为D，
由题意知，，，
∵，，
∴，
在和中有
∴
∴，，，
故B点坐标为；
故答案为：；
（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，
∵点B坐标为，且点B在第一象限
∴，，
，，
①由题意知，，
∵，，
∴
在和中有
∴
∴，
∵，，
故，，
∵平分
∴
∴
∴
∴为等腰三角形，为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形．
∴，
∵，
∴，
在和中有
∴
∴
∴
则点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为，
故答案为：，，；
②由①可知，，，故有．
【分析】（1） 过B点作x轴垂线，垂足为D ，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，，即可求出答案.
（2）①过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角平分线的定义可得，则，即，再根据等腰三角形判定定理可得也为等腰三角形，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
②由①可知，，，故有，即可求出答案.
（1）解：过B点作x轴垂线，垂足为D，
由题意知，，，
∵，，
∴，
在和中有
∴
∴，，，
故B点坐标为；
故答案为：；
（2）过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，
∵点B坐标为，且点B在第一象限
∴，，
，，
①由题意知，，
∵，，
∴
在和中有
∴
∴，
∵，，
故，，
∵平分
∴
∴
∴
∴为等腰三角形，为角平分线，中线，高线三线合一，故也为等腰三角形．
∴，
∵，
∴，
在和中有
∴
∴
∴
则点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为，
故答案为：，，；
②由①可知，，，故有．
17．（2024八上·宁南期末）如图，是边长为厘米的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为厘米秒．当点到达点时，、两点停止运动．设点的运动时间为．
（1）当运动时间为秒时，的长为________厘米，的长为________厘米；用含的式子表示
（2）当为何值时，是直角三角形；
（3）如图，连接、，相交于点，则点，在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
【答案】（1），
（2） 或
（3）不变，且
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
18．（2024八上·南充期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AB的中点，过点A作l1∥BC，过点B作l2⊥CD于F，l1与l2交于点E，连接CE、DE.
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）试证明△BCE是等腰三角形.
【答案】（1）证明：∵l1∥BC
∴∠EAB＋∠ABC＝180°
∵∠ABC＝90°
∴∠EAB＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°
∵l2⊥CD
∴∠EBC＋∠DCB＝90°
∵∠EBC＋∠EBA＝90°
∴∠DCB＝∠EBA
在△AEB和△BDC中
∴△AEB≌△BDC（ASA）
（2）证明：由△AEB≌△BDC（已证）得AE＝BD
∵D为AB的中点，即AD＝BD
∴AE＝AD
∵∠ABC＝90°，AB＝AC
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠BAC＝45°∴∠EAC＝90°－45°＝45°
∴∠EAC＝∠DAC
在△EAC和△DAC中
∴△EAC≌△DAC（SAS）
∴DC＝CE
由（1）△AEB≌△BDC得BE＝CD
∴BE＝CE
∴△BCE是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先利用角的运算及等量代换求出∠DCB＝∠EBA，再利用“ASA”证出△AEB≌△BDC即可；
（2）先证出△ABC是等腰直角三角形，可得∠EAC＝∠DAC，再利用“SAS”证出△EAC≌△DAC，可得DC＝CE，再结合BE＝CD，证出 BE＝CE，可得△BCE是等腰三角形.
19．（2024八上·通道期末）如图，在等边中，点M为上任意一点，延长至点N，使，连接交于点P．
（1）求证：；
（2）作于点H，设，请用含的式子表示的长度．
【答案】（1）证明：如图，在等边中过点作与交于，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
，
；
（2）解：∵于点，且是等边三角形，
∴是的中点，
又∵由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）在等边中过点作与交于，先根据平行线的性质结合题意得到，，进而根据等边三角形的判定与性质得到，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）先根据等边三角形的性质得到是的中点，进而根据三角形全等的性质得到，从而结合题意进行线段的运算即可求解。
20．（2024八上·璧山期末）上午8时，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛处，从望灯塔，测得，．
（1）求从海岛到灯塔的距离；
（2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔的距离最短？
【答案】（1）解：由题意得：（海里），
∵，，
∴，
∴，
∴（海里），
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里；
（2）解：如图，过点C作CP⊥AB于点P，
根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，，
∵，
∴，
∴在中，（海里），
∵，
．
∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 （1）根据已知条件得到∠ACB=60°-30°=30°，
根据等腰三角形的性质得到结论；
（2）过C作CP⊥AB于P，则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离，根据直角三角形的性质即可得到结论．
21．（2024八上·湖南期末） 如图，在等腰中，，，为上一点，于点．
（1）如图，若，求的度数．
（2）如图，过作于点，求证：≌．
（3）若，，，求的值．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，，
，
在和中，
，
≌；
（3）解：，，
，
，
，
于点，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
的值为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出，再利用角的运算求出即可；
（2）利用角的运算及等量代换可得，再利用“AAS”证出≌即可；
（3）先利用角的运算求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用全等三角形的性质可得，，最后利用线段的和差求出即可.
22．（2024八上·四会期末）已知：如图， 为 的角平分线，且，为延长线上的一点， ，过作，为垂足．求证：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：为的角平分线，
，
在与中，
，
（2）解：，
，
，，
，
，，
和为等腰三角形，
，
，
，
（3）解：如图，过点作交的延长线于点，
平分，，，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得，然后由全等三角形的判定可得答案；
（2）由（1）得，可得，进而可得和为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得；
（2）过点作交的延长线于点，根据全等三角形的判定可得，，从而得到，，由，等量代换可得结论.
23．（2024八上·龙江期末）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，，点为轴上一动点，以为边作等边．
（1）求证：；
（2）的度数为 ；
（3）当点运动时，的长度是否发生变化？若不变化，直接写出的长，若变化请说出变化的规律．
（4）在轴上找一点，使是等腰三角形，直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴
（2）
（3）解：的长度不变，；
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（4）解：点M的坐标为或
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）∵△OAP是等边三角形，
∴∠BOP=60°，
∵△PBO≌△PCA，
∴∠CAP=∠BOP=60°；
故答案为：60°；
（4）①当AE=AM=2时，
∵OM=OA+AM=3或OM=AM-AO=1，
∴当M（0，3）或（0，-1）；
②当EA=EM=2时，
∵∠OAE=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM=AE=2，
∴此时点M（0，-1）；
③当MA=ME时
，∵∠OAE=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM=AE=2，
∴此时点M（0，-1），
综上点M的坐标为（0，-1）或M（0，3）.
【分析】（1）由等边三角形性质得OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60°，由等式性质推出∠OPB=∠APC，从而用SAS判断出△PBO≌△PCA，由全等三角形的对应边相等得OB=AC；
（2）由等边三角形的三个内角都是60°，得∠BOP=60°，进而根据全等三角形的对应角相等，得∠CAP=∠BOP=60°；
（3）AE的长度不变，始终等于2，理由如下：由（2）的结论、等边三角形的性质及平角的定义得∠EAO=60°，由三角形内角和定理得∠AEO=30°，然后根据含30°角直角三角形的性质得AE=2AO=2；
（4）分类讨论：①当AE=AM=2时，②当EA=EM=2时，③当MA=ME时，分别根据y轴上点的坐标特点及等边三角形的性质求解即可.
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