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人教版八年级上学期数学第十三章质量检测（高阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
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阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2019八上·融安期中）在平面直角坐标系中，已知M(0，6)，△MON为等腰三角形且面积为9，满足条件的N点有（ ）
A．2个 B．4个 C．8个 D．10个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵M（0，6），
∴OM＝6，
设△MON的边OM上的高是h，
则×6×h＝9，
解得：h＝3，
在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于3，
①以M为圆心，以6为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
②以O为圆心，以6为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
③作MO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，
4＋4＋1＋1＝10.
故答案为：D.
【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．
2．（2024八上·杭州期末）如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，
∵∠B+∠C=150°，
∴∠BEC=180°-（∠B+∠C）=30°，
∵点B与点F关于EC对称，
∴∠BEC=∠FEC=30°，
∴∠BEF=60°，
∴△BEF是等边三角形；
连接BP、PF、PQ，则BP=FP，
∴BP+QP=FP+PQ，
∴当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，
∵DA⊥AB，DA=6cm，
∴AE=cm，
在Rt△QEF中，cm，
∴BP+PQ的最小值为18cm.
故答案为：D.
【分析】作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，由三角形的内角和定理得∠BEC=30°，由轴对称性质及角的和差得∠BEF=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BEF是等边三角形；连接BP、PF、PQ，则BP=FP，当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，根据含30°角直角三角形的性质得AE=cm，，可求出答案.
3．（2023八上·建邺月考）如图，中，，，是中线，，垂足为，的延长线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
4．（2023八上·宝塔月考）如图，，点为射线上一定点，为线段延长线上一定点，且，点A关于射线对称点为，连接，，，若为直线上一个动点，则周长的最小值为（ ）．
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SSS
5．（2023八上·仓山期中）在平面直角坐标系中，，动点B在x轴上，连接，将线段绕点A逆时针旋转至，连接，则线段长度最小为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
6．（2019八上·北京期中）平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△ABC5；
②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；
③作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰△C4AB
∴符合条件的点C共7个
故答案为：C
【分析】分三种情况考虑①当AB=AC，②AB=BC，③BC=AC，据此分别解答即可.
7．（2023八上·东西湖月考）如图，分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记，当最小时，则关于的数量关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OB于点P，交OA于点Q，连接MP、PQ、QN，则MP+PQ+QN最小；
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠OPM=∠1-∠O=∠1-30°，
∵点M与点M'关于OB对称，
∴∠OPM=∠OPM'，∠OPM'=∠QPN，
∴∠QPN=∠1-30°，
∵∠QPN=∠OQP+∠O=∠OQP+30°，∠3=∠O+∠2=∠2+30°，
∴∠NQN'=∠QPN+∠2=∠1-30°+∠2，
又∵∠N'QN=2∠3
∴∠1-30°+∠2=2（30°+∠2）
∴∠1-∠2=90°.
故答案为：C.
【分析】作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OB于点P，交OA于点Q，连接MP、PQ、QN，则MP+PQ+QN最小；由三角形外角性质得∠OPM=∠1-∠O=∠1-30°，由轴对称性质及对顶角相等得∠QPN=∠1-30°，再由三角形外角性质可得∠QPN=∠OQP+∠O=∠OQP+30°，∠3=∠O+∠2=∠2+30°，由轴对称性质得∠N'QN=2∠3，据此得出等式，变形整理可得结论.
8．（2020八上·武汉月考）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；三角形的外角性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°.
故答案为：B.
【分析】作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，证出△AEC≌△CFH，得出CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，从而得出当F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，再利用三角形外角性质得出∠AFB＝∠FBC+∠FCB，即可得出答案.
9．（2023八上·渝中期中）如图，在等腰直角中，，点是内部一点，连接并延长至点，连接、，垂足为点交于点，延长交于点，连接，．给出以下结论：①；②平分；③若点为的中点，连接并延长交于点，则：④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
10．（2024八上·攀枝花开学考）如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分平分，
∴，，
∴，故①正确；
②当是的中线时，，故②错误；
③ 如图，延长CE至G，使GE=CE，连接BG，
∵AB=2AE，
∴AE=BE，
∵∠AEC=∠BEG，
∴△ACE≌△BGE（SAS），
∴∠ACE=∠G，CE=GE，
∵CE为角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠BCE=∠G，
∴BC=BG，
∵BC=AC，
∴BE⊥CE，故③正确；
④如图，作的平分线交于点，
由①得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤过作，于点，
由④知，为的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
【分析】①根据三角形内角和定理可得可得∠ACB+∠CAB=120°，然后根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，，根据三角形内角和是180°可得 ∠AFC=180°-（∠FCA+∠FAC）=120°，故①说法正确；②根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分得出，故②说法正确；③延长CE至G，使GE=CE，连接BG，根据AB=2AE可得AE=BE，根据对顶角相等可得∠AEC=∠BEG，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ACE≌△BGE，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出∠ACE=∠G，CE=GE，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ACE=∠BCE，推得∠BCE=∠G，根据等角对等边得出BC=BG，即BC=AC，根据等腰三角形三线合一的性质即可得出BE⊥CE，故③说法正确； ④作∠AFC的平分线交AC于点G，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可推得∠AFG=∠CFG=∠AFE=60°，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，根据全等三角形的对应边相等得出可得AE=AG，CD=CG，故CD+AE=AC，④说法正确；⑤过作于点，由④知，为的角平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得出，所以可得，根据全等三角形的面积相等即可得出，故⑤说法正确．
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2024八上·斗门期末）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ．
【答案】9
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N
∵AB=AC，AM⊥BC
∴
∵AM⊥BC，EN⊥BC，EC⊥AC
∴∠AMC=∠ACE=∠CNE=90°
∴∠MAC+∠ACM=∠NCE+∠ACM=90°
∴∠MAC=∠NCE
∵∠MAC=∠NCE，∠AMC=∠CNE，
∴
∴CM=EN=3
∴
故答案为：9.
【分析】求三角形BCE的面积需要求高，可以通过构造一线三垂直全等得到答案.
12．（2024八上·那曲期末）如图所示，等边的顶点在轴的负半轴上，点的坐标为，则点坐标为 ；点是位于轴上点左边的一个动点，以为边在第三象限内作等边，若点.小明所在的数学兴趣合作学习小组借助于现代互联网信息技术，课余时间经过探究发现无论点在点左边轴负半轴任何位置，，之间都存在着一个固定的一次函数关系，请你写出这个关系式是 ．
【答案】；
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
13．（2024八上·顺庆期末）如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D为BF上一动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，则∠CFE的大小是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
14．（2024八上·汉阳期末）已知如图，中，，平分交于点D，，有以下结论：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若、则．
其中正确的有 ．
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵AC=BC，∠B=α ，
∴∠CAB=∠B=α，
∠C=180°-∠CAB-∠B=180°-2α；
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD；
当α=45°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，如图：
在△CAD和△EAD中，
，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴AC=AE，∠DEA=∠C，
∵∠CAB=∠B=45°，
∴∠C=180°-90°=90°，
故∠DEA=90°，
∴∠BDE=∠DEA-∠B=90°-45°=45°，
则∠B=∠BDE，
∴DE=BE，
又∵AB=AE+EB，
∴AB=AC+CD；①正确；
当α=40°时，在AB上取点E，使AE=AD，连接DE，取点F，使AF=AC，连接DF，如图：
在△CAD和△FAD中，
，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴AC=AF，∠DFA=∠C，
∵∠CAB=∠B=40°，
∴∠C=180°-80°=100°，
故∠DFA=100°，
∴∠DFE=180°-100°=80°，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵，
∴，
∴∠AED=∠DFE，
∴DF=DE，
∵∠B=40°，
∴∠BDE=∠DEA-∠B=80°-40°=40°，
即∠BDE=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=DE=DF=CD，
又∵AB=AE+EB，
∴AB=AD+CD；②正确；
当α=36°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，如图：
在△CAD和△EAD中，
，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴AC=AE，∠DEA=∠C，
∵∠CAB=∠B=36°，
∴∠C=180°-72°=108°，
故∠DEA=108°，
∴∠BDE=∠DEA-∠B=108°-36°=72°，
∠BED=180°-∠DEA=180°-108°=72°，
即∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
又∵AB=AE+EB，
∴AB=AC+BD；③错误；
当α=30°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，如图：
在△CAD和△EAD中，
，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴AC=AE，∠DEA=∠C，
∵∠CAB=∠B=30°，
∴∠C=180°-60°=120°，
故∠DEA=120°，
∴∠BDE=∠DEA-∠B=120°-30°=90°，
在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴BE=2DE，
即BE=2CD，
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+2CD；④正确；
故答案为：①②④.
【分析】根据等边对等角可得∠CAB=∠B=α，根据三角形内角和是180°可得∠C=180°-2α，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠CAD=∠EAD，当α=45°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AC=AE，∠DEA=∠C，求得∠DEA=90°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDE=45°，根据等角对等边可得DE=BE，即可推得AB=AC+CD；①正确；当α=40°时，在AB上取点E，使AE=AD，连接DE，取点F，使AF=AC，连接DF，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AC=AF，∠DFA=∠C，求得∠DFA=100°，求得∠DFE=80°，∠AED=80°，根据等角对等边可得DF=DE，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDE=40°，根据等角对等边可得DE=BE，即可推得AB=AD+CD；②正确；当α=36°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AC=AE，∠DEA=∠C，求得∠DEA=108°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDE=72°，求得∠BED=72°，根据等角对等边可得BD=BE，即可推得AB=AC+BD；③错误；当α=30°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AC=AE，∠DEA=∠C，求得∠DEA=120°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDE=90°，根据直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可得BE=2DE，即可推得AB=AC+2CD；④正确；即可得出答案.
15．（2024八上·讷河期末）如图所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……如此作下去，则第n条线段的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解： ∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB=2BC=2，
∵B1C1垂直平分AC，
∴B1C1∥AC，AB1=CB1，
∴AB1=BB1，
∴CB1=AB1=BB1=AB=1，
同理可得：B2C1=AB2=B2B1=AB1=，B3C2=AB3=B2B3=AB2=×=，······，
∴=.
故答案为：.
【分析】根据直角三角形及线段垂直平分新的性质可得AB=2BC=2，CB1=AB1=BB1=AB=1，同理可得B2C1=AB2=B2B1=AB1=，B3C2=AB3=B2B3=AB2=×=，······，据此总结规律即得结论.
阅卷人 三、解答题（共7题，共67分）
得分
16．（2024八上·益阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段沿y轴向上平移4个单位，得到线段．
（1）写出点C，D的坐标；
（2）若点E在x轴上，求出点E坐标，使得；
（3）线段沿轴向下平移得线段，轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在请直接写出点坐标，并写出求其中一个点坐标的过程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，，将线段沿轴向上平移4个单位，
，.
（2）解：设，
，，
，
又，
过点作轴于点，连接，，，
则
，
解得，
.
（3）解：轴上存在点，使得为等腰直角三角形，
使为等腰直角三角形，分三种情况，设，
①当时，连接，过点作轴，交延长线于点，如图，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
；
②当时，，
，，
，
，
，，
，
解得，
；
③当时，，
过点作轴，作轴，分别交于点和点，如图，
由题意知，，
，，
，
，
，
，
；
综上，存在，点坐标为或或．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作答即可；
（2）设，，，过点作轴于点，连接，，，则，求得，进而求出点坐标；
（3）使为等腰直角三角形，分三种情况，设，①当时，②当时，，③当时，，根据平移和三角形全等的性质进行答题即可．
（1）解：，，将线段沿轴向上平移4个单位，
，；
（2）解：设，
，，
，
又，
过点作轴于点，连接，，，
则，
解得，
；
（3）解：轴上存在点，使得为等腰直角三角形，
使为等腰直角三角形，分三种情况，设，
①当时，连接，过点作轴，交延长线于点，如图，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
；
②当时，，
，，
，
，
，，
，
解得，
；
③当时，，
过点作轴，作轴，分别交于点和点，如图，
由题意知，，
，，
，
，
，
，
；
综上，存在，点坐标为或或．
17．（2024八上·海曙期末）
（1）如图1，点、分别是等边边、上的点，连接、，若，求证：
（2）如图2，在（1）问的条件下，点在的延长线上，连接交延长线于点，．若，求证：．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠BCA.
∴在△AEC和△CDB中
∴△AEC≌△CDB（SAS）
∴BD=CE.
（2）证明：如图：
由（1）△AEC≌△CDB，
∴∠ACE=∠CBD.
∴60°－∠ACE=60°－∠CBD，
即∠ABD=∠ECB.
∵BC=CF，
∴∠BCF=∠BFC，
又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H，
∴∠ECH=∠H，
∴EH=EC.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和AE=CD即可证明△AEC≌△CDB，于是可得到BD=CE；
（2）利用△AEC≌△CDB和等边三角形的性质，可得∠ABD=∠ECB.由BF=BC，可得∠BFC=∠BCF，两等式相减，可得∠ECH=∠H，利用等角对等边即可得到EH=EC.
18．（2024八上·湖州期末）如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：BF⊥AE；
（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．
【答案】（1）证明：∵ BC⊥CA，DC⊥CE，
∴∠BCA=∠DCE=90°，
∴∠BCA－∠DCA=∠DCE－∠DCA
∴∠BCD=∠ACE.
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS).
（2）证明：∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE.
∵∠BCA=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°.
∵∠CBA=∠CBD+∠DBA=∠CAE+∠DBA
∴∠CAE+∠DBA+∠CAB=∠DBA+∠BAE=90°.
∴ BF⊥AE .
（3）解：∠CFE＝∠CAB，理由如下：
过C作CH⊥AE交延长线于点H，CI⊥BF于点I，
∵△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，S△BCD=S△ACE，
∴CH=CI，
∴CF平分∠BFH，
BF⊥AE，
∴∠BFH=90°，∠CFE=45°.
∵BC⊥CA，BC=CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠CFE=∠CAB.
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用BC⊥CA，DC⊥CE以及等式的性质可得∠BCD=∠ACE，利用SAS即可证明△ACE≌△BCD；
（2）利用△BCD≌△ACE，得到∠CBD=∠CAE.根据 BC⊥CA得到∠CBA+∠CAB=90°.利用等量代换可得∠DBA+∠BAE=90°，即有 BF⊥AE ；
（3）利用全等三角形面积相等，得到对应边的高相等，从而得CH=CI，再利用角平分线的判定定理可得CF平分∠BFH，根据BF⊥AE，即可得∠CFH=45°=∠CAB.
19．（2024八上·鹿寨期末）在中，，是上一点，且．
（1）如图，延长至，使，连接求证：；
（2）如图，在边上取一点，使，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，为延长线上一点，连接，，若，猜想与的数量关系并证明．
【答案】（1）证明：，
，
，
即，
在和中
，
，
；
（2）证明：延长至点，使得，连接，
由得，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
由（1）可 得，
，
，
，
即；
（3）解：，
证明如下：
在上截取，连接，
由可知，均为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又为等边三角形，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由等边对等角及等角的补角相等可得∠ADB=∠ACE，从而用SAS科证△ABD≌△AEC，进而根据全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）延长到E，使，由（1）知，，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可证明是等边三角形，是等边三角形，则，即可得到结论；
（3）在上取点E，使，连接，由等边三角形的性质及AAS证△APE≌△PFD，由全等三角形的性质得，结合等边三角形的性质得到，由即可得到结论．
20．（2024八上·潼南期末）如图，在中，，点是CB上一动点，点在AD的延长线上，且，平分交DE于，连接BF．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，时，求证：；
（3）如图3，当时，过点作AB的垂线，过点作AB的平行线，两直线l，n相交于，连接ME．当ME取得最大值时，请直接写出此时的值．
【答案】（1）证明：平分
，
在和中，
，
，
（2）证明：连接BF，由（1）得
，
在AF上截取，连接CM，如图2
在和中，
，
，
是等边三角形，
为等边三角形，
，即
（3）解：
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：(3)，
点是上一动点，
以为圆心，为半径作
点是上一动点，
则点在上运动，当点到达点时，点到达点，当点到达点时，点到达点，故点在上运动
则当三点共线时，最大
则由题意可得，，，
即此时
如图，延长交于点
由（1）得
由（2）得
．
【分析】（1）由角平分线的定义、全等三角形的的判定定理证明三角形全等，根据全等的性质和等腰三角形的性质即可证明；
（2）连接BF，由全等三角形的性质得，，在AF上截取，连接CM，构造构造出全等三角形，证明是等边三角形，通过线段转化和等边三角形即可证明；
（3）找出点的轨迹，点在上运动，则当三点共线时，最大，根据全等三角形的性质求解即可.
21．（2024八上·香洲开学考）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且a，b满足．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）为y轴上一动点，连接，过点P在线段上方作，且．
①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接，过点B作的平行线交x轴于点R．求点R的坐标（用含t的式子表示）．
②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系．
【答案】（1）解：∵满足，
且，
，
解得，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴，
在和中，
，
，
；
且点在轴正半轴上，
；
②如图， 过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∴点在过点且与轴正半轴成夹角的直线上运动；
如图，设直线与轴交于点，当时，最小，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，且.
又∵
均是等腰直角三角形，
，
且．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据偶数次幂的非负性和绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零求出a、b的值，从而可得点A、B的坐标；
（2）①由同角的余角相等推出∠MPB=∠OAP，由二直线平行，内错角相等得∠MPB=∠RBO，则∠PAO=∠RBO，由A、B的坐标可得OA=OB，从而由ASA判断出△RBO≌△PAO，再根据全等三角形的对应边相等得RO=PO，最后根据点P在y轴正半轴上作答即可；
②过点M作MN⊥y轴于N，由同角的余角相等推出∠MPN=∠OAP，从而由AAS判断出△PMN≌△APO，得MN=PO，PN=OA，进而可推出BN=OP=MN，则△BMN是等腰直角三角形，得∠NBM=45°，则点M在过点B且与y轴正半轴成45°夹角的直线上运动，
设直线BM与x轴交于点D，当OM⊥BD时，OM最小；判断出△BDA、△BOD、△BMO、△DMO都是等腰直角三角形，等于等腰直角三角形的性质可得结论.
22．（2024八上·斗门期末）在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．
（1）如图1，若点为的中点，求证：；
（2）如图2，若点为上任意一点，求证：．
【答案】（1）证明：∵为等边三角形，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点E作交于H，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 （1）通过等边三角形的内角及三线合一得出是等腰三角形，进而求出答案；
（2）证明线段相等，最常用办法是通过全等得到，可以构造平行线得到等边三角形，进而为下一步全等提供条件.
阅卷人 四、实践探究题（共8分）
得分
23．（2023八上·鄂州期末）问题情境：
定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
（1）特例证明：
如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：；
（2）拓展运用：
如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：将图中角进行命名：
，
与互为“顶补等腰三角形”，
，，
，
又，，
，，，
，
又，
，
在和中，
，
（2）解：存在．
证明：连接，取的中点，连接，，
，
，，
，
，
是的中点，
，．
，
又，，，
，
，
，
与互为“顶补等腰三角形”
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据新定义，可得两个三角形腰相等，顶角之和为180°；根据等腰三角形的性质，可得等腰三角形的底角相等，底边的垂线和中线重合；根据等量代换原则，即可得∠B=∠1=∠2；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，即可得NE=AM；
（2）根据三角形全等的判定（SSS）和性质，即可得∠ABC=∠ADC=90°，∠DPC=∠BPC；根据等量代换原则，可得PA=PB=PC=PD；根据新定义进行判定即可.
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人教版八年级上学期数学第十三章质量检测（高阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2019八上·融安期中）在平面直角坐标系中，已知M(0，6)，△MON为等腰三角形且面积为9，满足条件的N点有（ ）
A．2个 B．4个 C．8个 D．10个
2．（2024八上·杭州期末）如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
3．（2023八上·建邺月考）如图，中，，，是中线，，垂足为，的延长线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·宝塔月考）如图，，点为射线上一定点，为线段延长线上一定点，且，点A关于射线对称点为，连接，，，若为直线上一个动点，则周长的最小值为（ ）．
A．12 B．24 C．36 D．48
5．（2023八上·仓山期中）在平面直角坐标系中，，动点B在x轴上，连接，将线段绕点A逆时针旋转至，连接，则线段长度最小为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2019八上·北京期中）平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
7．（2023八上·东西湖月考）如图，分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记，当最小时，则关于的数量关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020八上·武汉月考）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
9．（2023八上·渝中期中）如图，在等腰直角中，，点是内部一点，连接并延长至点，连接、，垂足为点交于点，延长交于点，连接，．给出以下结论：①；②平分；③若点为的中点，连接并延长交于点，则：④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024八上·攀枝花开学考）如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2024八上·斗门期末）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ．
12．（2024八上·那曲期末）如图所示，等边的顶点在轴的负半轴上，点的坐标为，则点坐标为 ；点是位于轴上点左边的一个动点，以为边在第三象限内作等边，若点.小明所在的数学兴趣合作学习小组借助于现代互联网信息技术，课余时间经过探究发现无论点在点左边轴负半轴任何位置，，之间都存在着一个固定的一次函数关系，请你写出这个关系式是 ．
13．（2024八上·顺庆期末）如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D为BF上一动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，则∠CFE的大小是 ．
14．（2024八上·汉阳期末）已知如图，中，，平分交于点D，，有以下结论：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若、则．
其中正确的有 ．
15．（2024八上·讷河期末）如图所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……如此作下去，则第n条线段的长为 ．
阅卷人 三、解答题（共7题，共67分）
得分
16．（2024八上·益阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段沿y轴向上平移4个单位，得到线段．
（1）写出点C，D的坐标；
（2）若点E在x轴上，求出点E坐标，使得；
（3）线段沿轴向下平移得线段，轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在请直接写出点坐标，并写出求其中一个点坐标的过程；若不存在，请说明理由．
17．（2024八上·海曙期末）
（1）如图1，点、分别是等边边、上的点，连接、，若，求证：
（2）如图2，在（1）问的条件下，点在的延长线上，连接交延长线于点，．若，求证：．
18．（2024八上·湖州期末）如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：BF⊥AE；
（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．
19．（2024八上·鹿寨期末）在中，，是上一点，且．
（1）如图，延长至，使，连接求证：；
（2）如图，在边上取一点，使，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，为延长线上一点，连接，，若，猜想与的数量关系并证明．
20．（2024八上·潼南期末）如图，在中，，点是CB上一动点，点在AD的延长线上，且，平分交DE于，连接BF．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，时，求证：；
（3）如图3，当时，过点作AB的垂线，过点作AB的平行线，两直线l，n相交于，连接ME．当ME取得最大值时，请直接写出此时的值．
21．（2024八上·香洲开学考）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且a，b满足．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）为y轴上一动点，连接，过点P在线段上方作，且．
①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接，过点B作的平行线交x轴于点R．求点R的坐标（用含t的式子表示）．
②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系．
22．（2024八上·斗门期末）在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．
（1）如图1，若点为的中点，求证：；
（2）如图2，若点为上任意一点，求证：．
阅卷人 四、实践探究题（共8分）
得分
23．（2023八上·鄂州期末）问题情境：
定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．
（1）特例证明：
如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：；
（2）拓展运用：
如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵M（0，6），
∴OM＝6，
设△MON的边OM上的高是h，
则×6×h＝9，
解得：h＝3，
在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于3，
①以M为圆心，以6为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
②以O为圆心，以6为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
③作MO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，
4＋4＋1＋1＝10.
故答案为：D.
【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，
∵∠B+∠C=150°，
∴∠BEC=180°-（∠B+∠C）=30°，
∵点B与点F关于EC对称，
∴∠BEC=∠FEC=30°，
∴∠BEF=60°，
∴△BEF是等边三角形；
连接BP、PF、PQ，则BP=FP，
∴BP+QP=FP+PQ，
∴当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，
∵DA⊥AB，DA=6cm，
∴AE=cm，
在Rt△QEF中，cm，
∴BP+PQ的最小值为18cm.
故答案为：D.
【分析】作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，由三角形的内角和定理得∠BEC=30°，由轴对称性质及角的和差得∠BEF=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BEF是等边三角形；连接BP、PF、PQ，则BP=FP，当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，根据含30°角直角三角形的性质得AE=cm，，可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SSS
5．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△ABC5；
②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；
③作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰△C4AB
∴符合条件的点C共7个
故答案为：C
【分析】分三种情况考虑①当AB=AC，②AB=BC，③BC=AC，据此分别解答即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OB于点P，交OA于点Q，连接MP、PQ、QN，则MP+PQ+QN最小；
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠OPM=∠1-∠O=∠1-30°，
∵点M与点M'关于OB对称，
∴∠OPM=∠OPM'，∠OPM'=∠QPN，
∴∠QPN=∠1-30°，
∵∠QPN=∠OQP+∠O=∠OQP+30°，∠3=∠O+∠2=∠2+30°，
∴∠NQN'=∠QPN+∠2=∠1-30°+∠2，
又∵∠N'QN=2∠3
∴∠1-30°+∠2=2（30°+∠2）
∴∠1-∠2=90°.
故答案为：C.
【分析】作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OB于点P，交OA于点Q，连接MP、PQ、QN，则MP+PQ+QN最小；由三角形外角性质得∠OPM=∠1-∠O=∠1-30°，由轴对称性质及对顶角相等得∠QPN=∠1-30°，再由三角形外角性质可得∠QPN=∠OQP+∠O=∠OQP+30°，∠3=∠O+∠2=∠2+30°，由轴对称性质得∠N'QN=2∠3，据此得出等式，变形整理可得结论.
8．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；三角形的外角性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°.
故答案为：B.
【分析】作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，证出△AEC≌△CFH，得出CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，从而得出当F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，再利用三角形外角性质得出∠AFB＝∠FBC+∠FCB，即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
10．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分平分，
∴，，
∴，故①正确；
②当是的中线时，，故②错误；
③ 如图，延长CE至G，使GE=CE，连接BG，
∵AB=2AE，
∴AE=BE，
∵∠AEC=∠BEG，
∴△ACE≌△BGE（SAS），
∴∠ACE=∠G，CE=GE，
∵CE为角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠BCE=∠G，
∴BC=BG，
∵BC=AC，
∴BE⊥CE，故③正确；
④如图，作的平分线交于点，
由①得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤过作，于点，
由④知，为的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
【分析】①根据三角形内角和定理可得可得∠ACB+∠CAB=120°，然后根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，，根据三角形内角和是180°可得 ∠AFC=180°-（∠FCA+∠FAC）=120°，故①说法正确；②根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分得出，故②说法正确；③延长CE至G，使GE=CE，连接BG，根据AB=2AE可得AE=BE，根据对顶角相等可得∠AEC=∠BEG，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ACE≌△BGE，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出∠ACE=∠G，CE=GE，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ACE=∠BCE，推得∠BCE=∠G，根据等角对等边得出BC=BG，即BC=AC，根据等腰三角形三线合一的性质即可得出BE⊥CE，故③说法正确； ④作∠AFC的平分线交AC于点G，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可推得∠AFG=∠CFG=∠AFE=60°，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，根据全等三角形的对应边相等得出可得AE=AG，CD=CG，故CD+AE=AC，④说法正确；⑤过作于点，由④知，为的角平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得出，所以可得，根据全等三角形的面积相等即可得出，故⑤说法正确．
11．【答案】9
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N
∵AB=AC，AM⊥BC
∴
∵AM⊥BC，EN⊥BC，EC⊥AC
∴∠AMC=∠ACE=∠CNE=90°
∴∠MAC+∠ACM=∠NCE+∠ACM=90°
∴∠MAC=∠NCE
∵∠MAC=∠NCE，∠AMC=∠CNE，
∴
∴CM=EN=3
∴
故答案为：9.
【分析】求三角形BCE的面积需要求高，可以通过构造一线三垂直全等得到答案.
12．【答案】；
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
14．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵AC=BC，∠B=α ，
∴∠CAB=∠B=α，
∠C=180°-∠CAB-∠B=180°-2α；
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD；
当α=45°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，如图：
在△CAD和△EAD中，
，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴AC=AE，∠DEA=∠C，
∵∠CAB=∠B=45°，
∴∠C=180°-90°=90°，
故∠DEA=90°，
∴∠BDE=∠DEA-∠B=90°-45°=45°，
则∠B=∠BDE，
∴DE=BE，
又∵AB=AE+EB，
∴AB=AC+CD；①正确；
当α=40°时，在AB上取点E，使AE=AD，连接DE，取点F，使AF=AC，连接DF，如图：
在△CAD和△FAD中，
，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴AC=AF，∠DFA=∠C，
∵∠CAB=∠B=40°，
∴∠C=180°-80°=100°，
故∠DFA=100°，
∴∠DFE=180°-100°=80°，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵，
∴，
∴∠AED=∠DFE，
∴DF=DE，
∵∠B=40°，
∴∠BDE=∠DEA-∠B=80°-40°=40°，
即∠BDE=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=DE=DF=CD，
又∵AB=AE+EB，
∴AB=AD+CD；②正确；
当α=36°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，如图：
在△CAD和△EAD中，
，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴AC=AE，∠DEA=∠C，
∵∠CAB=∠B=36°，
∴∠C=180°-72°=108°，
故∠DEA=108°，
∴∠BDE=∠DEA-∠B=108°-36°=72°，
∠BED=180°-∠DEA=180°-108°=72°，
即∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
又∵AB=AE+EB，
∴AB=AC+BD；③错误；
当α=30°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，如图：
在△CAD和△EAD中，
，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴AC=AE，∠DEA=∠C，
∵∠CAB=∠B=30°，
∴∠C=180°-60°=120°，
故∠DEA=120°，
∴∠BDE=∠DEA-∠B=120°-30°=90°，
在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴BE=2DE，
即BE=2CD，
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+2CD；④正确；
故答案为：①②④.
【分析】根据等边对等角可得∠CAB=∠B=α，根据三角形内角和是180°可得∠C=180°-2α，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠CAD=∠EAD，当α=45°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AC=AE，∠DEA=∠C，求得∠DEA=90°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDE=45°，根据等角对等边可得DE=BE，即可推得AB=AC+CD；①正确；当α=40°时，在AB上取点E，使AE=AD，连接DE，取点F，使AF=AC，连接DF，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AC=AF，∠DFA=∠C，求得∠DFA=100°，求得∠DFE=80°，∠AED=80°，根据等角对等边可得DF=DE，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDE=40°，根据等角对等边可得DE=BE，即可推得AB=AD+CD；②正确；当α=36°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AC=AE，∠DEA=∠C，求得∠DEA=108°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDE=72°，求得∠BED=72°，根据等角对等边可得BD=BE，即可推得AB=AC+BD；③错误；当α=30°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AC=AE，∠DEA=∠C，求得∠DEA=120°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDE=90°，根据直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可得BE=2DE，即可推得AB=AC+2CD；④正确；即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解： ∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB=2BC=2，
∵B1C1垂直平分AC，
∴B1C1∥AC，AB1=CB1，
∴AB1=BB1，
∴CB1=AB1=BB1=AB=1，
同理可得：B2C1=AB2=B2B1=AB1=，B3C2=AB3=B2B3=AB2=×=，······，
∴=.
故答案为：.
【分析】根据直角三角形及线段垂直平分新的性质可得AB=2BC=2，CB1=AB1=BB1=AB=1，同理可得B2C1=AB2=B2B1=AB1=，B3C2=AB3=B2B3=AB2=×=，······，据此总结规律即得结论.
16．【答案】（1）解：，，将线段沿轴向上平移4个单位，
，.
（2）解：设，
，，
，
又，
过点作轴于点，连接，，，
则
，
解得，
.
（3）解：轴上存在点，使得为等腰直角三角形，
使为等腰直角三角形，分三种情况，设，
①当时，连接，过点作轴，交延长线于点，如图，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
；
②当时，，
，，
，
，
，，
，
解得，
；
③当时，，
过点作轴，作轴，分别交于点和点，如图，
由题意知，，
，，
，
，
，
，
；
综上，存在，点坐标为或或．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作答即可；
（2）设，，，过点作轴于点，连接，，，则，求得，进而求出点坐标；
（3）使为等腰直角三角形，分三种情况，设，①当时，②当时，，③当时，，根据平移和三角形全等的性质进行答题即可．
（1）解：，，将线段沿轴向上平移4个单位，
，；
（2）解：设，
，，
，
又，
过点作轴于点，连接，，，
则，
解得，
；
（3）解：轴上存在点，使得为等腰直角三角形，
使为等腰直角三角形，分三种情况，设，
①当时，连接，过点作轴，交延长线于点，如图，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
；
②当时，，
，，
，
，
，，
，
解得，
；
③当时，，
过点作轴，作轴，分别交于点和点，如图，
由题意知，，
，，
，
，
，
，
；
综上，存在，点坐标为或或．
17．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠BCA.
∴在△AEC和△CDB中
∴△AEC≌△CDB（SAS）
∴BD=CE.
（2）证明：如图：
由（1）△AEC≌△CDB，
∴∠ACE=∠CBD.
∴60°－∠ACE=60°－∠CBD，
即∠ABD=∠ECB.
∵BC=CF，
∴∠BCF=∠BFC，
又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H，
∴∠ECH=∠H，
∴EH=EC.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和AE=CD即可证明△AEC≌△CDB，于是可得到BD=CE；
（2）利用△AEC≌△CDB和等边三角形的性质，可得∠ABD=∠ECB.由BF=BC，可得∠BFC=∠BCF，两等式相减，可得∠ECH=∠H，利用等角对等边即可得到EH=EC.
18．【答案】（1）证明：∵ BC⊥CA，DC⊥CE，
∴∠BCA=∠DCE=90°，
∴∠BCA－∠DCA=∠DCE－∠DCA
∴∠BCD=∠ACE.
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS).
（2）证明：∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE.
∵∠BCA=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°.
∵∠CBA=∠CBD+∠DBA=∠CAE+∠DBA
∴∠CAE+∠DBA+∠CAB=∠DBA+∠BAE=90°.
∴ BF⊥AE .
（3）解：∠CFE＝∠CAB，理由如下：
过C作CH⊥AE交延长线于点H，CI⊥BF于点I，
∵△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，S△BCD=S△ACE，
∴CH=CI，
∴CF平分∠BFH，
BF⊥AE，
∴∠BFH=90°，∠CFE=45°.
∵BC⊥CA，BC=CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠CFE=∠CAB.
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用BC⊥CA，DC⊥CE以及等式的性质可得∠BCD=∠ACE，利用SAS即可证明△ACE≌△BCD；
（2）利用△BCD≌△ACE，得到∠CBD=∠CAE.根据 BC⊥CA得到∠CBA+∠CAB=90°.利用等量代换可得∠DBA+∠BAE=90°，即有 BF⊥AE ；
（3）利用全等三角形面积相等，得到对应边的高相等，从而得CH=CI，再利用角平分线的判定定理可得CF平分∠BFH，根据BF⊥AE，即可得∠CFH=45°=∠CAB.
19．【答案】（1）证明：，
，
，
即，
在和中
，
，
；
（2）证明：延长至点，使得，连接，
由得，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
由（1）可 得，
，
，
，
即；
（3）解：，
证明如下：
在上截取，连接，
由可知，均为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又为等边三角形，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由等边对等角及等角的补角相等可得∠ADB=∠ACE，从而用SAS科证△ABD≌△AEC，进而根据全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）延长到E，使，由（1）知，，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可证明是等边三角形，是等边三角形，则，即可得到结论；
（3）在上取点E，使，连接，由等边三角形的性质及AAS证△APE≌△PFD，由全等三角形的性质得，结合等边三角形的性质得到，由即可得到结论．
20．【答案】（1）证明：平分
，
在和中，
，
，
（2）证明：连接BF，由（1）得
，
在AF上截取，连接CM，如图2
在和中，
，
，
是等边三角形，
为等边三角形，
，即
（3）解：
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：(3)，
点是上一动点，
以为圆心，为半径作
点是上一动点，
则点在上运动，当点到达点时，点到达点，当点到达点时，点到达点，故点在上运动
则当三点共线时，最大
则由题意可得，，，
即此时
如图，延长交于点
由（1）得
由（2）得
．
【分析】（1）由角平分线的定义、全等三角形的的判定定理证明三角形全等，根据全等的性质和等腰三角形的性质即可证明；
（2）连接BF，由全等三角形的性质得，，在AF上截取，连接CM，构造构造出全等三角形，证明是等边三角形，通过线段转化和等边三角形即可证明；
（3）找出点的轨迹，点在上运动，则当三点共线时，最大，根据全等三角形的性质求解即可.
21．【答案】（1）解：∵满足，
且，
，
解得，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴，
在和中，
，
，
；
且点在轴正半轴上，
；
②如图， 过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∴点在过点且与轴正半轴成夹角的直线上运动；
如图，设直线与轴交于点，当时，最小，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，且.
又∵
均是等腰直角三角形，
，
且．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据偶数次幂的非负性和绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零求出a、b的值，从而可得点A、B的坐标；
（2）①由同角的余角相等推出∠MPB=∠OAP，由二直线平行，内错角相等得∠MPB=∠RBO，则∠PAO=∠RBO，由A、B的坐标可得OA=OB，从而由ASA判断出△RBO≌△PAO，再根据全等三角形的对应边相等得RO=PO，最后根据点P在y轴正半轴上作答即可；
②过点M作MN⊥y轴于N，由同角的余角相等推出∠MPN=∠OAP，从而由AAS判断出△PMN≌△APO，得MN=PO，PN=OA，进而可推出BN=OP=MN，则△BMN是等腰直角三角形，得∠NBM=45°，则点M在过点B且与y轴正半轴成45°夹角的直线上运动，
设直线BM与x轴交于点D，当OM⊥BD时，OM最小；判断出△BDA、△BOD、△BMO、△DMO都是等腰直角三角形，等于等腰直角三角形的性质可得结论.
22．【答案】（1）证明：∵为等边三角形，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点E作交于H，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 （1）通过等边三角形的内角及三线合一得出是等腰三角形，进而求出答案；
（2）证明线段相等，最常用办法是通过全等得到，可以构造平行线得到等边三角形，进而为下一步全等提供条件.
23．【答案】（1）证明：将图中角进行命名：
，
与互为“顶补等腰三角形”，
，，
，
又，，
，，，
，
又，
，
在和中，
，
（2）解：存在．
证明：连接，取的中点，连接，，
，
，，
，
，
是的中点，
，．
，
又，，，
，
，
，
与互为“顶补等腰三角形”
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据新定义，可得两个三角形腰相等，顶角之和为180°；根据等腰三角形的性质，可得等腰三角形的底角相等，底边的垂线和中线重合；根据等量代换原则，即可得∠B=∠1=∠2；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，即可得NE=AM；
（2）根据三角形全等的判定（SSS）和性质，即可得∠ABC=∠ADC=90°，∠DPC=∠BPC；根据等量代换原则，可得PA=PB=PC=PD；根据新定义进行判定即可.
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