苏科版数学八上2.4线段、角的轴对称性同步练习
一、选择题
1．（2020八上·秀洲月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
2．（2023八上·东阳月考）如图，OD平分于点是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
3．（2019八上·天台月考）如图，三条直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） ．
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
4．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，BO、CO是∠ABC、∠ACB的平分线，∠BOC=120°，则∠A=( )
A．60° B．120° C．110° D．40°
5．（2017八上·东台期末）在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点
6．（人教版八年级数学上册第一次月考a卷）如图，AD是△ ABC中∠ BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2， AB＝4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
7．（2019八上·昌邑期中）如图，在 中， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，连接 ，若 ， ，则 的度数为（ ）
A．12° B．31° C．53° D．75°
8．（2024八上·田阳期末） 如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定
9．（2022八上·温州期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D.连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB.若与的周长之差为4，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024八上·关岭期末）如图，中，，D是的中点，的垂直平分线分别交、、于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
11．（2024八上·三台期末）如图，直线m是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB=7，AC=6，BC=8，则周长的最小值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．13.5
12．（2024八上·沅江开学考）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
二、填空题
13．（2024八上·长沙开学考）如图，OA⊥OC，∠BOC=50°，若OD平分∠AOC，则∠BOD= °．
14．（2024八上·北京市开学考）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ．
15．（2024八上·瑞安开学考）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧交于M，N两点，连结MN，交AB于点E，交AC于点D，，的周长是12，则的周长为 ．
16．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为26和16，则的面积为 ．
17．（2024八上·关岭期末）如图，线段，的垂直平分线相交于点O，连接，．若，则的度数为 ．
18．（2021八上·香洲期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝21，DE＝3，AB＝9，则AC长是 ．
19．（2024八上·南宁期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点是直线上一点，则周长的最小值为 ．
20．（2024八上·三台期末）如图，△ABC的外角的平分线交BC边的垂直平分线PQ于点P，PD⊥BA于点D，PE⊥AC于点E，若AD=2，AC=8，则AB= 。
三、解答题
21．（2024八上·天心开学考）如图，在中，，平分，交于点F．
（1）若，，求的度数；
（2）在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由；
（3）直接写出当与满足怎样的数量关系时，．
22．（2024八上·凤山期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的面积．
23．（2024八上·道县期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
24．（2024八上·赣州期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线，求的度数．
25．（2020八上·扎兰屯期末）已知： 如图△ABC，
求作： 一点P， 使P在BC上， 且点P到∠BAC的两边的距离相等.
(要求尺规作图， 并保留作图痕迹， 不要求写作法)
26．（2021八上·碑林开学考）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC.
27．（2020八上·陵县期末）如图，在△ABC中，AE为∠BAC的角平分线，点D为BC的中点，DE⊥BC交AE于点E，EG⊥AC于点G．
（1）求证：
AB+AC=2AG．
（2）若BC=8cm，AG=5cm，求△ABC的周长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm.
故答案为：B.
【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案.
2．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DE＝DH＝3，
∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：垂线段最短，
∴DF≥3，
∴DF的长度不可能是2.8，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥OB于H，先根据角平分线的性质，得出DE＝DH，再根据点到线的距离垂线段最短得出DF的长度不小于3，从而得出答案即可．
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：1)三个内角平分线的交点，2)一个外角平分线和另两个内角平分线的交点，这样点有三个，
共有四处；
故答案为：D.
【分析】根据角平分线性质定理，即角平分线上的点到角的两边距离相等，据此得到三角心的内心和旁心都符合.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：因为OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
所以∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
因为 ∠BOC=120°， 所以∠ABO+∠ACO=∠CBO+∠BCO=180°﹣120°=60°，
所以∠ABC+∠ACB=60°×2=120°，
于是∠A=180°﹣120°=60°．
故选：A．
【分析】根据角平分线的性质，得到∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，结合三角形的内角和定理，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：C．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可．
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：S△ACD=S△ABC-S△ABD=7-×4×2=3；
如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE=DF=2．
∵S△ACD=3，
∴×AC×2=3，
解得AC=3．
故答案为：A.
【分析】先计算△ACD的面积，然后添加辅助线过点D作DF⊥AC于F，根据角的平分线的性质定理可得DE=DF，利用三角形的面积公式计算即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】如图，
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠CBP，
∵PE是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠CBP=∠PCB，
∴∠ABP+∠ABP+∠ABP+12°+75°=180°，
解得，∠ABP=31°，
故答案为：B．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PB=PC，得到∠PBC=∠PCB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理列式计算即可．
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OD⊥BC于点D，过点O作OE⊥AC于点E，过点O作OF⊥AB于点F，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点， OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OE=OF=OD，
设OE=OF=OD=a，
∴S1=AB×a，S2=BC×a，S3=AC×a
∴S2+S3=BC×a+AC×a=a(BC+AC)，
∵BC+AC＞AB，
∴a×AB＜a(BC+AC)，
即 S1＜S2+S3 .
故答案为：C.
【分析】如图，过点O作OD⊥BC于点D，过点O作OE⊥AC于点E，过点O作OF⊥AB于点F，由角平分线上的点到角两边的距离相等得OE=OF=OD，设OE=OF=OD=a，由三角形的面积计算公式可得S2+S3=BC×a+AC×a=a(BC+AC)，进而根据三角形三边的关系得BC+AC＞AB，从而可得a×AB＜a(BC+AC)，即 S1＜S2+S3 .
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，
∴与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，
∴AC=5，
∴10-2AE=4，
解得AE=3，
故答案为：C.
【分析】利用作图可知CD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可证得AC=BC，AE=BE，再利用△ABC和△ABE的周长的差为4，可得到2AC-2AE=4，代入计算求出AE的长.
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∵OD垂直平分线BC，
∴OB=OC，
同理可证△AOB≌△AOC（SSS），△ODB≌△ODC（SSS），
∵OE垂直平分线段AB，
∴OA=OB，
在△OEA和△OEB中，
，
∴△OEA≌△OEB（SSS），
综上，共有4对全等三角形。
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质及全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
11．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴PC=PB，
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+PB
∵两点之间线段最短，
∴AP+PB≥AB
∴△APC的周长=AC+AP+BP≥AC+AB
∵AC=6，AB=7
∴△APC周长最小为AC+AB=13
故答案为：A
【分析】根据垂直平分线的性质可得PC=PB，再根据两点之间线段最短可得AP+PB≥AB，进而可得△APC的周长=AC+AP+BP≥AC+AB，结合题意计算即可求解。
12．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
平分，④正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
与矛盾，
③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
【分析】由全等三角形的判定证明得出，，①正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；
作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法（角平分线上的点到角的两边的距离相等）得出平分，④正确；
由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
13．【答案】95
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：
OD平分，
故答案为：95.
【分析】根据题意，利用角平分线的性质，即可求解.
14．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵和的角平分线相交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得 ，再根据三角形外角性质可得 ，即可求出答案.
15．【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得DM为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=BE，
∵，的周长是12，
∴AB=8，BD+CD+CB=12，
∴AD+CD+CB=12，
∴的周长为AB+AD+CD+CB=8+12=20，
故答案为：20
【分析】先根据作图-垂直平分线结合垂直平分线的性质得到AD=BD，AE=BE，再根据三角形的周长结合题意得到AB=8，BD+CD+CB=12，从而得到AD+CD+CB=12，再根据的周长为AB+AD+CD+CB即可求解.
16．【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
17．【答案】
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】连接OB，如图所示：
∵∠AOC=80°，
∴∠AOB+∠BOC=280°，
∵线段AB，BC的垂直平分线相交于点O，
∴OA=OB，OB=OC，
∴∠ABO=∠A，∠CBO=∠C，
∵∠ABO+∠A+∠AOB+∠CBO+∠C+∠BOC=360°，
∴∠ABO+∠A+∠CBO+∠C=80°，
∴∠ABO+∠CBO=40°，
∴∠ABC=40°，
故答案为：40°.
【分析】利用垂直平分线的性质可得OA=OB，OB=OC，再利用等边对等角的性质可得∠ABO=∠A，∠CBO=∠C，再利用角的运算和等量代换可得∠ABO+∠A+∠CBO+∠C=80°，再求出∠ABO+∠CBO=40°，即可得到∠ABC=40°.
18．【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=×9×3+AC 3 =21，
解得AC=5．
故答案为：5．
【分析】利用角平分线的性质得出DE=DF，再根据三角形面积公式求解即可。
19．【答案】9
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接PA，如图，
∵MN为AB的垂直平分线，
∴
∵
∴周长为：，
∵PA+PC=BP+PC≥5，
∴△PBC的周长≥4+5=9
故答案为：9.
【分析】连接PA，根据垂直平分线的性质得到PA=PB，即可得到△PBC周长为BC+BP+PC，进而由三角形三边关系即可求出其最小值.
20．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据角平分线的性质可得，再根据全等三角形的判定方法可证，，进而可得，，结合线段关系加以计算即可求解。
21．【答案】（1）解：（1）∵，，
∴，
∵，∴.
（2）解：（2）与不垂直，理由如下：∵，∴，
∵平分，∴，
∴，
∴与不垂直.
（3）解：（3），理由如下：
∵，∴，，
∵平分，∴，
要使，即使，
∴，
∵，
∴，
化简得：．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）求出，再利用平行线性质即可求解；
（2）利用平行求出，利用角平分线求出，利用内角和求出，判断即可；
（3）利用平行求出，，利用角平分线求出，利用及，列式即可，其中熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：与不垂直，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴与不垂直；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
要使，
即使，
∴，
∵，
∴，
化简得：．
22．【答案】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点E作于G，于H，根据三角形内角和定理、余角的性质得出，根据角平分线的判定与性质得，则，即可证明平分；
（2）设，则，根据，列出关于x的方程，解得，然后根据，计算求解即可．
23．【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
24．【答案】解：在中，，
，
是的平分线，
，
在直角中，，
．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】从已知条件入手，已知B和C，根据三角形内角和定理可求第三个内角，由角平分线的定义可求出半角的度数，三角形的高带来直角三角形，可由已知的C求出它的余角，在图上标示出这些已知的角，可发现所求角是这个余角与半角的差，整理思路求即可。
25．【答案】解：如图：
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】以点A为圆心，以任意长为半径在角的两边画弧，分别交AB、AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，以大于线段EF的一半为半径画弧，两弧在角BAC内交于点D，过点D作射线AD，则AD为角BAC的角平分线，AD与BC的交点即为P点，角平分线上的点到角的两边距离相等。
26．【答案】解：解：如图，点P即为所求.
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作AB的垂直平分线，交BC于点P，此时PA+PC=BC.
27．【答案】（1）证明：延长AB至点M，过点E作EF⊥BM于点F
∵AE平分∠BAC
EG⊥AC于点G
∴EG=EF，∠EFB=∠EGC=90°
连接BE，EC
∵点D是BC的中点，DE⊥BC
∴BE=EC
在Rt△BFE与Rt△CGE中
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL）
∴BF=GC
∵AB+AC=AB+AG+GC
∴AB+AC =AB+BF+AG
=AF+AG
在Rt△AFE与Rt△AGE中
∴Rt△AFE≌Rt△AGE(HL）
∴AF=AG
∴AB+AC=2AG
（2）解：∵AG=5cm， AB+AC=2AG
∴AB+AC=10cm
又∵BC=8cm
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=8+10=18cm．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】(1)连接BE、EC，只要证明Rt△BFE≌Rt△CGE，得BF=CG，再证明Rt△AFE≌Rt△AGE得：AF=AG，根据线段和差定义即可解决.（2由AG=5cm可得AB+AC=10cm即可得出△ABC的周长.
1 / 1苏科版数学八上2.4线段、角的轴对称性同步练习
一、选择题
1．（2020八上·秀洲月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm.
故答案为：B.
【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案.
2．（2023八上·东阳月考）如图，OD平分于点是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DE＝DH＝3，
∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：垂线段最短，
∴DF≥3，
∴DF的长度不可能是2.8，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥OB于H，先根据角平分线的性质，得出DE＝DH，再根据点到线的距离垂线段最短得出DF的长度不小于3，从而得出答案即可．
3．（2019八上·天台月考）如图，三条直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） ．
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：1)三个内角平分线的交点，2)一个外角平分线和另两个内角平分线的交点，这样点有三个，
共有四处；
故答案为：D.
【分析】根据角平分线性质定理，即角平分线上的点到角的两边距离相等，据此得到三角心的内心和旁心都符合.
4．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，BO、CO是∠ABC、∠ACB的平分线，∠BOC=120°，则∠A=( )
A．60° B．120° C．110° D．40°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：因为OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
所以∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
因为 ∠BOC=120°， 所以∠ABO+∠ACO=∠CBO+∠BCO=180°﹣120°=60°，
所以∠ABC+∠ACB=60°×2=120°，
于是∠A=180°﹣120°=60°．
故选：A．
【分析】根据角平分线的性质，得到∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，结合三角形的内角和定理，即可求解.
5．（2017八上·东台期末）在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：C．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可．
6．（人教版八年级数学上册第一次月考a卷）如图，AD是△ ABC中∠ BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2， AB＝4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：S△ACD=S△ABC-S△ABD=7-×4×2=3；
如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE=DF=2．
∵S△ACD=3，
∴×AC×2=3，
解得AC=3．
故答案为：A.
【分析】先计算△ACD的面积，然后添加辅助线过点D作DF⊥AC于F，根据角的平分线的性质定理可得DE=DF，利用三角形的面积公式计算即可.
7．（2019八上·昌邑期中）如图，在 中， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，连接 ，若 ， ，则 的度数为（ ）
A．12° B．31° C．53° D．75°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】如图，
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠CBP，
∵PE是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠CBP=∠PCB，
∴∠ABP+∠ABP+∠ABP+12°+75°=180°，
解得，∠ABP=31°，
故答案为：B．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PB=PC，得到∠PBC=∠PCB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理列式计算即可．
8．（2024八上·田阳期末） 如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OD⊥BC于点D，过点O作OE⊥AC于点E，过点O作OF⊥AB于点F，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点， OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OE=OF=OD，
设OE=OF=OD=a，
∴S1=AB×a，S2=BC×a，S3=AC×a
∴S2+S3=BC×a+AC×a=a(BC+AC)，
∵BC+AC＞AB，
∴a×AB＜a(BC+AC)，
即 S1＜S2+S3 .
故答案为：C.
【分析】如图，过点O作OD⊥BC于点D，过点O作OE⊥AC于点E，过点O作OF⊥AB于点F，由角平分线上的点到角两边的距离相等得OE=OF=OD，设OE=OF=OD=a，由三角形的面积计算公式可得S2+S3=BC×a+AC×a=a(BC+AC)，进而根据三角形三边的关系得BC+AC＞AB，从而可得a×AB＜a(BC+AC)，即 S1＜S2+S3 .
9．（2022八上·温州期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D.连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB.若与的周长之差为4，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，
∴与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，
∴AC=5，
∴10-2AE=4，
解得AE=3，
故答案为：C.
【分析】利用作图可知CD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可证得AC=BC，AE=BE，再利用△ABC和△ABE的周长的差为4，可得到2AC-2AE=4，代入计算求出AE的长.
10．（2024八上·关岭期末）如图，中，，D是的中点，的垂直平分线分别交、、于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∵OD垂直平分线BC，
∴OB=OC，
同理可证△AOB≌△AOC（SSS），△ODB≌△ODC（SSS），
∵OE垂直平分线段AB，
∴OA=OB，
在△OEA和△OEB中，
，
∴△OEA≌△OEB（SSS），
综上，共有4对全等三角形。
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质及全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
11．（2024八上·三台期末）如图，直线m是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB=7，AC=6，BC=8，则周长的最小值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．13.5
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴PC=PB，
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+PB
∵两点之间线段最短，
∴AP+PB≥AB
∴△APC的周长=AC+AP+BP≥AC+AB
∵AC=6，AB=7
∴△APC周长最小为AC+AB=13
故答案为：A
【分析】根据垂直平分线的性质可得PC=PB，再根据两点之间线段最短可得AP+PB≥AB，进而可得△APC的周长=AC+AP+BP≥AC+AB，结合题意计算即可求解。
12．（2024八上·沅江开学考）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
平分，④正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
与矛盾，
③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
【分析】由全等三角形的判定证明得出，，①正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；
作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法（角平分线上的点到角的两边的距离相等）得出平分，④正确；
由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
二、填空题
13．（2024八上·长沙开学考）如图，OA⊥OC，∠BOC=50°，若OD平分∠AOC，则∠BOD= °．
【答案】95
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：
OD平分，
故答案为：95.
【分析】根据题意，利用角平分线的性质，即可求解.
14．（2024八上·北京市开学考）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵和的角平分线相交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得 ，再根据三角形外角性质可得 ，即可求出答案.
15．（2024八上·瑞安开学考）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧交于M，N两点，连结MN，交AB于点E，交AC于点D，，的周长是12，则的周长为 ．
【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得DM为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=BE，
∵，的周长是12，
∴AB=8，BD+CD+CB=12，
∴AD+CD+CB=12，
∴的周长为AB+AD+CD+CB=8+12=20，
故答案为：20
【分析】先根据作图-垂直平分线结合垂直平分线的性质得到AD=BD，AE=BE，再根据三角形的周长结合题意得到AB=8，BD+CD+CB=12，从而得到AD+CD+CB=12，再根据的周长为AB+AD+CD+CB即可求解.
16．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为26和16，则的面积为 ．
【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
17．（2024八上·关岭期末）如图，线段，的垂直平分线相交于点O，连接，．若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】连接OB，如图所示：
∵∠AOC=80°，
∴∠AOB+∠BOC=280°，
∵线段AB，BC的垂直平分线相交于点O，
∴OA=OB，OB=OC，
∴∠ABO=∠A，∠CBO=∠C，
∵∠ABO+∠A+∠AOB+∠CBO+∠C+∠BOC=360°，
∴∠ABO+∠A+∠CBO+∠C=80°，
∴∠ABO+∠CBO=40°，
∴∠ABC=40°，
故答案为：40°.
【分析】利用垂直平分线的性质可得OA=OB，OB=OC，再利用等边对等角的性质可得∠ABO=∠A，∠CBO=∠C，再利用角的运算和等量代换可得∠ABO+∠A+∠CBO+∠C=80°，再求出∠ABO+∠CBO=40°，即可得到∠ABC=40°.
18．（2021八上·香洲期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝21，DE＝3，AB＝9，则AC长是 ．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=×9×3+AC 3 =21，
解得AC=5．
故答案为：5．
【分析】利用角平分线的性质得出DE=DF，再根据三角形面积公式求解即可。
19．（2024八上·南宁期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点是直线上一点，则周长的最小值为 ．
【答案】9
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接PA，如图，
∵MN为AB的垂直平分线，
∴
∵
∴周长为：，
∵PA+PC=BP+PC≥5，
∴△PBC的周长≥4+5=9
故答案为：9.
【分析】连接PA，根据垂直平分线的性质得到PA=PB，即可得到△PBC周长为BC+BP+PC，进而由三角形三边关系即可求出其最小值.
20．（2024八上·三台期末）如图，△ABC的外角的平分线交BC边的垂直平分线PQ于点P，PD⊥BA于点D，PE⊥AC于点E，若AD=2，AC=8，则AB= 。
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据角平分线的性质可得，再根据全等三角形的判定方法可证，，进而可得，，结合线段关系加以计算即可求解。
三、解答题
21．（2024八上·天心开学考）如图，在中，，平分，交于点F．
（1）若，，求的度数；
（2）在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由；
（3）直接写出当与满足怎样的数量关系时，．
【答案】（1）解：（1）∵，，
∴，
∵，∴.
（2）解：（2）与不垂直，理由如下：∵，∴，
∵平分，∴，
∴，
∴与不垂直.
（3）解：（3），理由如下：
∵，∴，，
∵平分，∴，
要使，即使，
∴，
∵，
∴，
化简得：．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）求出，再利用平行线性质即可求解；
（2）利用平行求出，利用角平分线求出，利用内角和求出，判断即可；
（3）利用平行求出，，利用角平分线求出，利用及，列式即可，其中熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：与不垂直，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴与不垂直；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
要使，
即使，
∴，
∵，
∴，
化简得：．
22．（2024八上·凤山期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点E作于G，于H，根据三角形内角和定理、余角的性质得出，根据角平分线的判定与性质得，则，即可证明平分；
（2）设，则，根据，列出关于x的方程，解得，然后根据，计算求解即可．
23．（2024八上·道县期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
24．（2024八上·赣州期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线，求的度数．
【答案】解：在中，，
，
是的平分线，
，
在直角中，，
．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】从已知条件入手，已知B和C，根据三角形内角和定理可求第三个内角，由角平分线的定义可求出半角的度数，三角形的高带来直角三角形，可由已知的C求出它的余角，在图上标示出这些已知的角，可发现所求角是这个余角与半角的差，整理思路求即可。
25．（2020八上·扎兰屯期末）已知： 如图△ABC，
求作： 一点P， 使P在BC上， 且点P到∠BAC的两边的距离相等.
(要求尺规作图， 并保留作图痕迹， 不要求写作法)
【答案】解：如图：
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】以点A为圆心，以任意长为半径在角的两边画弧，分别交AB、AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，以大于线段EF的一半为半径画弧，两弧在角BAC内交于点D，过点D作射线AD，则AD为角BAC的角平分线，AD与BC的交点即为P点，角平分线上的点到角的两边距离相等。
26．（2021八上·碑林开学考）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC.
【答案】解：解：如图，点P即为所求.
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作AB的垂直平分线，交BC于点P，此时PA+PC=BC.
27．（2020八上·陵县期末）如图，在△ABC中，AE为∠BAC的角平分线，点D为BC的中点，DE⊥BC交AE于点E，EG⊥AC于点G．
（1）求证：
AB+AC=2AG．
（2）若BC=8cm，AG=5cm，求△ABC的周长．
【答案】（1）证明：延长AB至点M，过点E作EF⊥BM于点F
∵AE平分∠BAC
EG⊥AC于点G
∴EG=EF，∠EFB=∠EGC=90°
连接BE，EC
∵点D是BC的中点，DE⊥BC
∴BE=EC
在Rt△BFE与Rt△CGE中
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL）
∴BF=GC
∵AB+AC=AB+AG+GC
∴AB+AC =AB+BF+AG
=AF+AG
在Rt△AFE与Rt△AGE中
∴Rt△AFE≌Rt△AGE(HL）
∴AF=AG
∴AB+AC=2AG
（2）解：∵AG=5cm， AB+AC=2AG
∴AB+AC=10cm
又∵BC=8cm
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=8+10=18cm．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】(1)连接BE、EC，只要证明Rt△BFE≌Rt△CGE，得BF=CG，再证明Rt△AFE≌Rt△AGE得：AF=AG，根据线段和差定义即可解决.（2由AG=5cm可得AB+AC=10cm即可得出△ABC的周长.
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