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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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绝密★启用前
人教版2024-2025学年九年级数学上册 第二十四章 圆
单元检测卷（A卷）学生版
考试范围：第十三章；考试时间：120分钟；共三大题150分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题（共36分）（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确.）
1．（本题3分）圆心角为，半径长为的扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等圆周角所对的弧相等
C．任意三个点确定一个圆 D．圆内接平行四边形必为矩形
3．（本题3分）如图，是的内接三角形，为的直径，过点作于点，若，，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为（ ）
A．1 B．
C．2 D．4
5．（本题3分）已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ）．
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定
6．（本题3分）若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
8．（本题3分）正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，等腰内接于，顶角，是的直径，则为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，，…的线段（如图）．”记，，…，的内切圆的半径分别为，，…，，若，则的值是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
11．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的直径2，直线AB的函数解析式为y＝x﹣1，交坐标轴于点A和点B，将线段AB作平移变换，使所得的线段的两端都落在⊙O上，则平移后A点所对应的点的坐标是（ ）
A．（，）或（，） B．（，）或（，）
C．（，）或（，） D．（，）或（，）
12．（本题3分）如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题（共20分）（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（本题4分）半径为2㎝，圆心角为90°的弧长为 ．
14．（本题4分）如图，已知的三个顶点都在上，，则的度数为 °．
15．（本题4分）如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为 ．
16．（本题4分）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ．
17．（本题4分）如图，在中，，，，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
评卷人得分
三、解答题（共94分）（本大题共9题，共94分.答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（本题8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥ AB于点E，已知CD=12，BE=2 求 ⊙O 的半径
19．（本题8分）如图，是的外接圆，是的直径，点B为圆外一点，且．求证：是的切线．
20．（本题8分）如图，已知点、是平面内两点，线段长度一定，在平面内作使得它过点、且半程长为（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的作图说明）．
21．（本题10分）如图， 内接于， 点 D在上， 点F在 上， 与交于点 E， ，
(1)如图1， 求证： ；
(2)如图2， 射线交于点G， 过A作 于点M， 交于点H， 求证：
22．（本题10分）在中，已知，，．
(1)如图①，与的三边都相切，求的半径；
(2)如图②，与是内互相外切的两个等圆，且分别与，的两边都相切，求这两个等圆的半径；；
(3)如图③，若，若内有个依次外切且都与相切的等圆，、分别与，相切，求这些等圆的半径．
23．（本题10分）如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点．
(1)①若，则_______；
②猜想和的数量关系，并证明；
(2)如图2，当经过圆心时，若，，求；
(3)作于点，求的值．
24．（本题12分）如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接，过点B作直线交于E，交于F，若点F是弧的中点，连接
(1)求证：
(2)当时，求圆O的面积
(3)若，试探究与之间的数量关系，并证明．
25．（本题14分）如图，等边与以为直径的半圆交于，两点，点在上，连接，，，点在的延长线上，连接，，，若，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，求的值．
26．（本题14分）【提出问题】
某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？
拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料
素材 1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高．
素材2 在旅游旺季，拟在图1所示的桥拱上悬挂“鲤鱼跃龙门”五个大字的牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾宽，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于，牌匾上的每个字占地为长度和宽度都是的正方形，为了美观，相邻两个字的水平间距均为（第一个文字和最后一个文字与牌匾两端也分别有一个的间距）．
【解决问题】
(1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？若能成功，请说明理由；若不能成功，请你设计可行性的方案；（可以考虑改变字体的大小和字与字的间距从而改变牌匾的宽度或者改变牌匾底部与水面的安全距离）
(3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，悬挂方案仍需满足素材 2 的牌匾悬挂条件，请你通过计算判断方案是否可行，若不可行，请你重新设计可行性的方案．（参考数据：
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单元检测卷答题卡
(
条 码 粘 贴 处
（正面朝上贴在此虚线框内）
)
姓名：______________班级：______________
准考证号
(
注意事项
1
、
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2
、
请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3
、
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4
、
请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
) (
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记
！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
)
选择题（请用2B铅笔填涂）
１、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ２、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ３、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ４、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ５、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ６、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ７、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ８、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ９、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
13题、
14题、
15题、
16题、
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、
26题、
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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单元检测卷（A卷）学生版
考试范围：第十三章；考试时间：120分钟；共三大题150分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题（共36分）（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确.）
1．（本题3分）圆心角为，半径长为的扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据扇形面积公式进行计算．
【详解】解：该扇形的圆心角是，半径为，
该扇形的面积．
故选：A
【点睛】本题考查了扇形面积的计算．此题属于基础题，只要掌握扇形面积公式即可．
2．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等圆周角所对的弧相等
C．任意三个点确定一个圆 D．圆内接平行四边形必为矩形
【答案】D
【分析】根据与圆相关是各个定理即可进行解答．
【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直弦，故A为假命题，不符合题意；
B．同圆或等圆中相等圆周角所对的弧相等，故B为假命题，不符合题意；
C．同一平面内不在同一直线上的任意三点确定一个圆，故C为假命题，不符合题意；
D．圆内接平行四边形必为矩形，故D为真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆的相关概念，解题的关键是熟练掌握圆的相关概念．
3．（本题3分）如图，是的内接三角形，为的直径，过点作于点，若，，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理解直角三角形以及弧长公式．求出圆心角和半径是解题的关键．
利用圆周角定理以及勾股定理求出圆心角和半径，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：连接，
为的直径，
，
，
，
,
,
设，则半径
在中，
,
∴，
解之得
半径．
劣弧．
故选：B．
4．（本题3分）如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为（ ）
A．1 B．
C．2 D．4
【答案】C
【分析】连接AO，为的切线，可得∠OAP=90°，结合∠APO=30°，可得 设则根据勾股定理， 解方程可得答案．
【详解】解：连接AO，为的切线，
∠OAP=90°，
又因为∠APO=30°，
设则
根据勾股定理，
（负根舍去），
即的半径为
故选C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，圆的切线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
5．（本题3分）已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ）．
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当时，则点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点P在圆内，根据点P与圆的位置关系的判定方法对点M与位置关系进行判断．
【详解】解：∵的半径为4，
∴点M到圆心的距离大于圆的半径，
∴点M在圆外．
故选：C．
6．（本题3分）若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查扇形的面积公式，弧长公式等知识，利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式计算即可．解题的关键是记住扇形的面积公式以及弧长公式．
【详解】解：设扇形的半径为，
由题意：，
解得，
∴扇形的弧长，
故选：C．
7．（本题3分）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
【答案】A
【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．
【详解】解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，
，
，
，
即的半径为．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．
8．（本题3分）正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是正多边形和圆，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，然后求出与的关系，计算，与的比，正确画出图形得到相应关系是解题的关键．
【详解】解：如图，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，则，
，
是边上的高，，
．
．
即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为．
故选：A．
9．（本题3分）如图，等腰内接于，顶角，是的直径，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，三角形内角和定理；
连接，首先求出，然后根据圆周角定理及其推论求出和，然后利用三角形内角和定理求出，进而可得的度数．
【详解】解：连接，
∵等腰内接于，顶角，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
10．（本题3分）课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，，…的线段（如图）．”记，，…，的内切圆的半径分别为，，…，，若，则的值是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】A
【分析】利用勾股定理分别求出各边长，进而得出内切圆半径长的规律，再列方程求解进而得出答案．
【详解】解：设内切圆的圆心分别为设与的三边相切于点，如图，
则四边形为正方形，
又，
，
，
同样，在中，四边形为正方形，
又，
，
同理，，
，
则，
，
，
经检验，是增根，是原方程的根，
∴的值是24，
故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及求三角形内切圆半径，解题的关键是得到三角形内切圆半径长的规律：．
11．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的直径2，直线AB的函数解析式为y＝x﹣1，交坐标轴于点A和点B，将线段AB作平移变换，使所得的线段的两端都落在⊙O上，则平移后A点所对应的点的坐标是（ ）
A．（，）或（，） B．（，）或（，）
C．（，）或（，） D．（，）或（，）
【答案】A
【分析】根据条件先计算图1中的直角△AOB的三边长，得∠BOA＝30°；根据两直线平行的性质，同位角相等，可以得不管直线AB向上或向下平移与x轴夹角都是30°，分两种情况进行讨论：①当直线AB向下平移时，如图2，作辅助线，构建直角三角形及平移后的点A′与两坐标轴的垂线，由30°角的性质和三角函数求出A′Q和OQ的长，写出点A′的坐标即可；②同理在图3中求出A′的坐标．
【详解】解：如图﹣1，在函数，令x＝0，得到y＝﹣1，
∴ B（0，﹣1）． 同理可以得到，
∴在Rt△AOB中，．
∴AB＝2，∠OAB＝30°．
∴直线与x轴的夹角总是30° （锐角）．
∵直线AB在平移过程中，不会改变k值，
∴平移后的直线与x轴的夹角仍然是30°．
以下分两种情况：
当直线向下平移到如图﹣2位置．
则有∠OCA1＝30°，A1B1＝2．
过O点作OD⊥A1B1于点D，过点A1作 A1E⊥OC，连接 OA1．
在等腰三角形OA1B1中，根据“三线合一”，得到，
∵半径，在Rt△ODA1中，根据勾股定理可以求得．
∴在Rt△OCD中，∠OCA1＝30°，．
∴，．
∴．
∴在Rt△ECA1中， ，
∴．
∴ ．
∵点A1在第四象限，所以点；
当直线向上平移到如图﹣3位置．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换--平移，明确平移前后的两线段相等且平行，本题根据已知直线的解析式求出线段的长，得出30°角是关键，采用了分类讨论的思想，分别向上平移和向下平移；构建对应的直角三角形，与特殊的三角函数、勾股定理相结合得出结论．
12．（本题3分）如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断即可．
【详解】解：∵AB=CD，
∴，
∴，
∴∠AOC=∠BOD，故①正确；
∵圆周角∠BAD和圆心角∠BOD都对着，
∴∠BOD=2∠BAD，故②正确；
∵，
∴AC=BD，故③正确；
∵圆周角∠CAB和∠BDC都对着，
∴∠CAB=∠BDC，故④正确；
延长DO交⊙O于M，连接AM，
∵D、C、A、M四点共圆，
∴∠CDO+∠CAM=180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠CAM＞∠CAO，
∴∠CAO+∠CDO＜180°，故⑤错误；
即正确的个数是4个，
故选C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题（共20分）（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（本题4分）半径为2㎝，圆心角为90°的弧长为 ．
【答案】π cm
【分析】根据弧长公式求解即可．
【详解】．
故答案为：π cm．
【点睛】本题考查了弧长的求解，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
14．（本题4分）如图，已知的三个顶点都在上，，则的度数为 °．
【答案】50
【分析】本题考查圆周角定理，同弧所对的圆周角度数等于圆心角的一半，连接，计算的度数，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：50．
15．（本题4分）如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由可得，，进而利用勾股定理求出即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（本题4分）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案, 能熟记垂径定理是解此题的关键．
【详解】解：如图所示，过O作于F，连接，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，过圆心O，
∴，
∴
故答案为：．
17．（本题4分）如图，在中，，，，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，连接，过点C作于点F，根据求解即可，熟练运用扇形的面积公式，正确进行图形面积的分割是解题的关键．
【详解】解：连接，过点C作于点F，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
评卷人得分
三、解答题（共94分）（本大题共9题，共94分.答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（本题8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥ AB于点E，已知CD=12，BE=2 求 ⊙O 的半径
【答案】10
【分析】先根据垂径定理求出DE的长，连接OD，设OD=r，则OE=r-2，在Rt△ODE中根据勾股定理求出r的值即可．
【详解】解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=12，
∴DE=CD=6．
连接OD，设OD=r，则OE=r-2，在Rt△ODE中，
∵OE2+DE2=OD2，即（r-2）2+62=r2，解得r=10，
∴⊙O 的半径=10．
故答案为10．
【点睛】本题考查垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
19．（本题8分）如图，是的外接圆，是的直径，点B为圆外一点，且．求证：是的切线．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边对等角，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角推出，再由等边对等角得到，结合已知条件证明，即可证明是的切线．
【详解】证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
20．（本题8分）如图，已知点、是平面内两点，线段长度一定，在平面内作使得它过点、且半程长为（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的作图说明）．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了作图，画圆，作线段垂直平分线，连接，作的垂直平分线，以点A为圆心线段a为半径画弧交于点O，再以点O为圆心线段为半径作圆即为所求．
【详解】解：如下图：即为所求：
21．（本题10分）如图， 内接于， 点 D在上， 点F在 上， 与交于点 E， ，
(1)如图1， 求证： ；
(2)如图2， 射线交于点G， 过A作 于点M， 交于点H， 求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形外角性质求得，再利用利用等腰三角形与三角形内角和定理求得，然后根据等腰三角形的性质得到，则，从而得出，即可得出结论；
（2）证明，得到，则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
（2）证明：∵于点M
∴
∴
由（1）知
∴
∵
∴
∴，即
∵点A、B、D、H四点共圆，
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，圆内接四边形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理是解题的关键．
22．（本题10分）在中，已知，，．
(1)如图①，与的三边都相切，求的半径；
(2)如图②，与是内互相外切的两个等圆，且分别与，的两边都相切，求这两个等圆的半径；；
(3)如图③，若，若内有个依次外切且都与相切的等圆，、分别与，相切，求这些等圆的半径．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接三角形的内心和三角形的各个顶点，根据三角形的总面积等于分割成的三个小三角形的面积，进行计算；
（2）连接两圆的圆心和每个圆的圆心和三角形的三个顶点，把大三角形分割成了三个三角形和一个梯形，根据三角形的总面积等于四部分的面积的和，进行计算；
（3）连接第一个圆和最后一个圆的圆心，以及两个圆的圆心和三角形的三个顶点，根据（2）的思路进行计算．
【详解】（1）解：（1）在中，，，，
．
如图①，设与的边，，分别切于点，，．
连接，，，，，．
于是，，．
，，
∵
，
．
（2）如图③，连接，，，，，则
．
等圆，外切，
，且．
过点作于点，交于点，则
，．
．
，
解得．
（3）如图③，连接，，，，，则
，，
等圆，，，依次外切，且均与边相切，
，，，均在直线上，且，
．
过点作于点，交于点，
则，，
．
解得．
【点睛】本题考查圆的有关知识，三角形内切圆，两圆位置关系等知识，解决此题的方法是根据三角形的面积的不同计算方法进行计算，学会利用面积法求直角三角形斜边上的高，属于中考压轴题．
23．（本题10分）如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点．
(1)①若，则_______；
②猜想和的数量关系，并证明；
(2)如图2，当经过圆心时，若，，求；
(3)作于点，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)
【分析】（1）①连接，由题意可得，根据圆周角定理可得，以此即可求解；
②连接，根据三角形内角和定理可得，由圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理得，将代入化简即可；
（2）如图，连接、，连接交于点，根据勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，于是，，，易得垂直平分，设，则，利用双勾股定理建立方程求得，进而求出，，在中，利用勾股定理即可求解；
（3）连接、、、，过点作于点，由圆周角定理可得，易得，由平行线的性质得，由等边对等角得，进而可得，根据等角减等角相等可得，于是可通过证明，得到，根据等腰三角形三线合一性质得，以此即可求解．
【详解】（1）①解：如图，连接，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
②，
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图，连接、，连接交于点，
在中，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，，
，，
垂直平分，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
解得：，
，
，
为的直径，
，
在中，；
（3）解：如图，连接、、、，过点作于点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查正多边形与圆综合，圆周角定理、三角形内角和定理、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．
24．（本题12分）如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接，过点B作直线交于E，交于F，若点F是弧的中点，连接
(1)求证：
(2)当时，求圆O的面积
(3)若，试探究与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)，理由见详解
【分析】（1）根据弧中点性质得到，根据平行弦性质得到，得到，得到，即得；
（2）作于点M，连接， 则，根据平行弦性质和弧中点特得到，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即得；
（3）作于点M，连接，设，则，根据，，得到，，得到，由勾股定理得到，得到，得到，得到，得到，根据，即得．
【详解】（1）∵点F是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）作于点M，连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵F为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）．理由如下：
同（2），作于点M，连接，
由（2）知，，，，
∴，
设，则
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握平行弦性质，垂径定理，勾股定理解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形性质，含30°的直角三角形性质，是解决问题的关键．
25．（本题14分）如图，等边与以为直径的半圆交于，两点，点在上，连接，，，点在的延长线上，连接，，，若，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理求出的度数，在根据三角形内角和定理求出和的度数，即可证明；
（2）根据题干已知角的和差关系可以求出的度数，在根据圆周角定理求出的度数，最后根据三角形的外角性质即可求出的度数，从而得证；
（3）过和分别作的垂线，先证明在上，然后根据等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角直角三角形的性质以及勾股定理求出和的比值即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
为直径，在圆上，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
；
（2）证明：连接，如图所示：
由三角形外角的性质可知，
又，
，
由圆周角定理可知，
，，
为等边三角形，
，
，
，
；
（3）解：连接，，过作于，过作于，如图所示：
为等边三角形，是中点，
，，
，
，
，
，
在上，
是的直径，
，
，则，
令，则，
在中，，由勾股定理可得，
，即是等腰直角三角形，
，
，过圆心，
，
在中，是中点、是的中点，
，
，
在中，由勾股定理得，
，，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
26．（本题14分）【提出问题】
某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？
拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料
素材 1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高．
素材2 在旅游旺季，拟在图1所示的桥拱上悬挂“鲤鱼跃龙门”五个大字的牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾宽，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于，牌匾上的每个字占地为长度和宽度都是的正方形，为了美观，相邻两个字的水平间距均为（第一个文字和最后一个文字与牌匾两端也分别有一个的间距）．
【解决问题】
(1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？若能成功，请说明理由；若不能成功，请你设计可行性的方案；（可以考虑改变字体的大小和字与字的间距从而改变牌匾的宽度或者改变牌匾底部与水面的安全距离）
(3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，悬挂方案仍需满足素材 2 的牌匾悬挂条件，请你通过计算判断方案是否可行，若不可行，请你重新设计可行性的方案．（参考数据：
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)牌匾悬挂不能成功，见解析
(3)原方案可行
【分析】（1）过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，与拱形桥顶端交于点O，以点O为原点，建立直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论；
（2）根据题意， 危险高度，安全最低高度为，计算出安全宽度，与方案宽度比较，计算判断即可．
（3）设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得， ，设圆的半径为，则，，利用垂径定理，勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，与拱形桥顶端交于点O，以点O为原点，建立如图所示的坐标系，
由题意可知该抛物线顶点坐标为，，
设抛物线的解析式为，
把代入解析式，得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：根据题意， 危险高度，安全最低高度为，
∵，
当时，，
解得，
∴匾额的最大长度为，
根据题意，方案的设计长度为，
由，
故牌匾悬挂不能成功．
若相邻两个字的水平间距均为，则匾额的长度为，
即把字间距由改为即可实现悬挂目标．
（3）解：设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得，
∵，
设圆的半径为，则，，
根据勾股定理，得，
解得，
在上截取，过点G作，交圆于点E，F两点，
连接，则，，
∴，
∴，
根据题意，方案的设计宽度为，
由，
故牌匾悬挂能成功．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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