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人教版2024-2025学年九年级数学上册 第二十三章 旋转
单元检测卷（A卷）（学生卷）
考试范围：第十三章；考试时间：120分钟；共三大题150分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题（共36分）（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确.）
1．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，一段抛物线：（），记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得.若在第13段抛物线上，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（本题3分）等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（本题3分）同学小明在用一副三角板画出了许多不同度数的角，但下列哪个度数他画不出来（ ）
A．15° B．65° C．75° D．135°
7．（本题3分）如图，在等边三角形中，，点P在上，且，将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接、．当时，的长为（ ）
A． B．或 C．或 D．
8．（本题3分）已知有一个正方形，将正方形沿着B逆时针旋转至，A，C三点处在同一条直线上，则的角度为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
10．（本题3分）如图，已知直线与轴交于点，点与点关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（本题3分）如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论∶①若延长DE，则DE⊥BF； ②若连接AM，则AMFB； ③连接FE，当F、E、M三点共线时，；④连接EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，则；其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．（本题3分）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，、分别与交于、两点，将绕着点顺时针旋转得到，则下列结论：①；②平分；③若，当时，则；④若平分，则，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题（共20分）（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（本题4分）点关于原点的对称点的坐标为 ．
14．（本题4分）如图，线段由线段绕点P旋转得到，点的对应点M的坐标为，则：
（1）旋转角的大小为 （度）；
（2）点P的坐标是 ．
15．（本题4分）如图，，，，点是的中点，且，则 ．
16．（本题4分）如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA＋PB＋PC的最小值为 ．
17．（本题4分）如图，等腰中，，，D在边上，且，E为边上一动点，把线段绕D点逆时针旋转得到线段， 则线段的最小值是 ．
评卷人得分
三、解答题（共94分）（本大题共9题，共94分.答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（本题8分）将上面的图案绕点O按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形．
19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）平移，使点移动到点，画出平移后的，并写出点，的坐标；
（2）画出关于原点对称的；
（3）线段的长度为______．
20．（本题8分）四边形坐标为、、、、．
(1)请在平面直角坐标系中画出四边形；
(2)把四边形先向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到四边形，写出四边形各顶点的坐标，并作出该图形；
21．（本题10分）每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，
(1)写出、、的坐标．
(2)以原点为对称中心，画出关于原点对称的，并求的面积．
22．（本题10分）如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中
(1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合；
(2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合；
(3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合；
(4)写一对中心对称的三角形：_________．
23．（本题10分）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图①，点E，F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．
(1)思路梳理
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点、、共线，易证 ，故，，之间的数量关系为_______．
(2)类比引申
如图②，点E，F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想，，之间的数量关系，并证明．
24．（本题12分）如图1、2是两个相似比为1：等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置
(1)在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与、交于点，，如图4．求证：；
(2)若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点、，如图5，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立；
(3)如图6，在正方形中，、分别是边、上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，、分别与对角线交于、，试问线段、、能否构成三角形的三边长？若能，并给出证明；若不能
25．（本题14分）基本图形：
在中，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到．
探索：
（1）连接，如图①，试探索线段之间满足的等量关系，并证明结论；
（2）连接，如图②，试探索线段之间满足的等量关系，并证明结论：
拓展：
（3）如图③，在四边形中，．若，，求的长．
26．（本题14分）与都是等腰直角三角形，且，，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点
（1）如图1，当点D、E分别在边AB、AC上，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；
（2）把等腰绕点A旋转到如图2的位置，连接MN，判断的形状，并说明理由；
（3）把等腰绕点A在平面内任意旋转，，，请直接写出的面积S的变化范围．
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绝密★启用前
人教版2024-2025学年九年级数学上册 第二十三章 旋转
单元检测卷（A卷）（教师卷）
考试范围：第十三章；考试时间：120分钟；共三大题150分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题（共36分）（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确.）
1．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：B．
2．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到，推出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵将绕点O逆时针旋转到，
∴，
∴，，
∴点B坐标为，
故选：A．
3．（本题3分）2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握中心对称图形、轴对称图形的定义．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．（本题3分）如图，一段抛物线：（），记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得.若在第13段抛物线上，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】求出抛物线与轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在轴上方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线的解析式，然后把点的坐标代入计算即可得解．
【详解】解：令，则，
解得，，
，
由图可知，抛物线在轴上方，
相当于抛物线向右平移个单位得到，
抛物线的解析式为，
∵在第13段抛物线上，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．
5．（本题3分）等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点逐一进行分析求解即可．
【详解】解：等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
菱形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
正方形，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
综上可得有个符合题意的答案．
故选：．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
6．（本题3分）同学小明在用一副三角板画出了许多不同度数的角，但下列哪个度数他画不出来（ ）
A．15° B．65° C．75° D．135°
【答案】B
【详解】试题分析：一副三角板中有30°，45°，60°和90°，
60°－45°＝15°，30°＋45°＝75°，45°＋90°＝135°，
所以可画出15°、75°和135°等，但65°画不出．
故选B．
点睛：本题考查了角的和差运算，用一副三角板只能画出三角板上各个角的和差组成的角．
7．（本题3分）如图，在等边三角形中，，点P在上，且，将绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接、．当时，的长为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【分析】过点B作直线于点D，根据“三线合一”可得，根据勾股定理求得，又是的垂直平分线，得到当点Q在直线上时，，分两种情况讨论：①当点Q在内部，线段上时，，运用勾股定理在中，可求得的长；②当点Q在外部，线段的延长线上时，
运用勾股定理在中，求得的长．
【详解】过点B作直线于点D
∵是等边三角形，
∴
∴是的垂直平分线
∴当点Q在直线上时，
①当点Q在内部，线段上时，如图
由旋转可得
∴
∵
∴在中，
②当点Q在外部，线段的延长线上时，如图
由旋转可得
∴
∵
∴在中，
综上所述，的长为或
故选：C
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
8．（本题3分）已知有一个正方形，将正方形沿着B逆时针旋转至，A，C三点处在同一条直线上，则的角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接，连接交于，取的中点E，连接，由正方形的性质得，，，由直角三角形的性质可得，从而可证得是等边三角形，得出，从而得出，再由旋转的性质可求，，由外角的性质可求得，即可由求解．
【详解】
解：如图，连接，连接交于，取的中点E，连接，
四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵点E是的中点，，A，C三点处在同一条直线上，
∴，
将正方形沿着逆时针旋转，
，，
，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9．（本题3分）如图，是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】A
【分析】逐项分析所给结论的正确性，即可选择．
【详解】解：如图所示：
∵为正三角形，
， ，
∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，
， ，
，
，
又，，
，
又，
可以由绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
连接 ，
，，
是等边三角形，
，
故结论②正确；
，
，
在中， ， ，
，
是直角三角形， ，
，
故结论③正确；
四边形的面积 ，
过点O作 ，
是等边三角形，
，
，
，
，
∴四边形的面积 ，
故结论④不正确；
如图所示：将绕点A逆时针旋转 ，使得AB与AC重合，点O旋转至 ，连接 ，
， ，
是等边三角形，
，
，
，
是直角三角形，且 ，
同结论④证明过程可求得： ， ，
，
故结论⑤正确；
综上所述：结论①②③⑤正确．
故选A．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形面积，面积的割补法，综合掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
10．（本题3分）如图，已知直线与轴交于点，点与点关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点，根据直线解析式求出点和点的坐标，然后再证明为等边三角形. 再结合旋转的性质和等边三角形的性质，并利用证明，得出，由为定点，为定值，即说明当在直线 上运动时，点也在定直线上运动，即得出当点与点重合时，最短，结合轴对称的性质可求出，进而可利用锐角三角函数求出 ，即的最小值为．
【详解】解：如图，设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点，
由，令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵的中点为，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴，即，
∴，
∴，
∵为定点，为定值，
∴当在直线上运动时，点也在定直线上运动，
∴当点与点重合时，最短，
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴， 即的最小值为，
故选：．
【点睛】本题考查旋转的性质、轴对称的性质，三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形以及一次函数等知识点，解题的关键是确定点在定直线上，通过垂线段最短的性质求的最小值．
11．（本题3分）如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论∶①若延长DE，则DE⊥BF； ②若连接AM，则AMFB； ③连接FE，当F、E、M三点共线时，；④连接EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，则；其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据旋转的全等性质，△BAF≌△DAE，得到∠ABF=∠ADE，结合∠AED+∠ADE=90°，代换得到∠BEN+∠ABF=90°，得到∠BND=90°，可判断结论①；连接AM，根据折叠性质，AM⊥DE，可判断结论②；设=AF=EM=x，则MD=AB=4=MF=EM+EF=+x，计算x，可以判断结论③；当△FEC是等腰三角形时，只有EF=EC可能，设AE=AF=EM=x，则BE=4-x，EC= EF=，BC=4，根据勾股定理，计算x，可以判断结论④．
【详解】根据旋转的性质，得△BAF≌△DAE，
∴∠ABF=∠ADE，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEN+∠ABF=90°，
∴∠BND=90°，
∴DE⊥BF；
∴结论①正确；
连接AM，根据折叠性质，得到AM⊥DE，
∴AM∥BF，
∴结论②正确；
根据旋转的性质，得△BAF≌△DAE，
故AE=AF；
根据折叠的性质，得AE=EM，
故AE=EM=AF，
设AE=AF=EM=x，则MD=AB=4，EF=，
∴MF=EM+EF=+x，
∵∠FMD=90°，∠AFM=45°，
∴∠MDF=45°，
∴MD=MF，
∴+x=4，
解得x=，
∴，
∴结论③正确；
当△FEC是等腰三角形时，只有EF=EC可能，设AE=AF=EM=x，则BE=4-x，EC= EF=，BC=4，根据勾股定理，得，
解得x=，x=（舍去），
故，
∴结论④正确．
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，折叠的性质，勾股定理，二次根式的化简，平行线的判定，熟练掌握旋转的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
12．（本题3分）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，、分别与交于、两点，将绕着点顺时针旋转得到，则下列结论：①；②平分；③若，当时，则；④若平分，则，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，判断出①正确；通过证明，根据全等三角形的性质可得，，判断出②正确；利用勾股定理得到③错误；证明和全等，得是等腰直角三角形，根据三角形面积公式即可求得，判断出④正确．
【详解】解：∵，，
∴， ，
由旋转性质可知，
∴，，，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
即，
∴，
在和中，
，
∴（），
，，
∴平分，故②正确；
在中，，
∵，，
∴，
当，时，，
解得，
∴
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵平分,
∴,
∵,,
∴，
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
设到边距离为,则
，
∴，
∴，故④正确；
综上①②④正确，共个正确，
故选：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题（共20分）（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（本题4分）点关于原点的对称点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【详解】点关于原点对称的点的坐标是
故答案为：
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
14．（本题4分）如图，线段由线段绕点P旋转得到，点的对应点M的坐标为，则：
（1）旋转角的大小为 （度）；
（2）点P的坐标是 ．
【答案】 90
【分析】连接，作的垂直平分线的交点为点P，根据及点P的位置确定旋转角及点P的坐标，正确确定旋转中心P的位置是解题的关键．
【详解】解：（1）如图，连接，作的垂直平分线的交点为点P，
∵，
∴旋转角为；
故答案为：90；
（2）由直角坐标系可得点P的坐标是，
故答案为：．
15．（本题4分）如图，，，，点是的中点，且，则 ．
【答案】3
【分析】作交的延长线于，则，由含有角的直角三角形的性质及勾股定理可得，从而可得，将旋转得到，延长交于点，由旋转的性质可得，从而得到，即为等边三角形，最后根据三角形中位线定理即可得到答案．
【详解】解：作交的延长线于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
将绕点C顺时针旋转得到，延长交于点，如图所示，
则，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
为的中点，
点是的中点，
为的中位线，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了含有角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握含有角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形中位线定理，添加适当的辅助线，是解题的关键．
16．（本题4分）如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA＋PB＋PC的最小值为 ．
【答案】/
【分析】先将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BP'C'，延长AB，过C′作C′E⊥AB交延长线于E，得出，当点A、P、P′、C′共线时，PA+PB+PC有最小值是AC'的长，利用30°直角三角形性质可求EC'=，根据勾股定理BE，AE＝，即可．
【详解】解：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BP'C'，延长AB，过C′作C′E⊥AB交延长线于E，
∴△BPC≌△BP'C'，∠PBP'＝60°，
∴BP＝BP'，∠PBP'＝60°，
∴△BPP'是等边三角形，
∴PC＝P'C'，∠PBC＝∠P'BC'，BC＝BC'＝2，
∴BP＝PP'，
∴PA+PB+PC＝AP+PP'+P'C'，
∴当点A、点P、点P′、点C′在共线时，PA+PB+PC有最小值，最小值是AC'的长，
∵∠ABP+∠PBP'+∠P'BC'＝60°+∠ABP+∠PBC=60°+∠ABC=60°+90°＝150°，
∴∠EBC'＝30°，
在中
∴EC'=，
∴BE=，
∴AE＝，
在中
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转，等边三角形判定与性质，四点共线，30°直角三角形性质，勾股定理，本题难度较大，涉及知识多，利用辅助线构造准确图形是解题关键．
17．（本题4分）如图，等腰中，，，D在边上，且，E为边上一动点，把线段绕D点逆时针旋转得到线段， 则线段的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了等边三角形，含的直角三角形，图形的旋转等知识，能作出辅助线是解题的关键．
连接，把绕点逆时针旋转到位置，连接，过点作的平行线如图所示，证明，是等边三角形，详请见解析．
【详解】解：连接，把绕点逆时针旋转到位置，连接，过点作的平行线如图所示：
∵线段绕D点逆时针旋转得到线段，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴
∵把绕点逆时针旋转到位置，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
随着点的运动，，故点在平行于的直线上运动，
∴当时，最短，即最短，
在中，，
∴．
则线段CF的最小值是3．
评卷人得分
三、解答题（共94分）（本大题共9题，共94分.答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（本题8分）将上面的图案绕点O按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形．
【答案】见解析
【分析】根据旋转的特征，这个图形绕点O按顺时针方向旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕点O按相同的方向旋转相同的度数即可得到旋转后的图形．
【详解】解：如图：
【点睛】本题考查旋转的特征，经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等．）熟练掌握旋转的特征是解题关键．
19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）平移，使点移动到点，画出平移后的，并写出点，的坐标；
（2）画出关于原点对称的；
（3）线段的长度为______．
【答案】（1）如图见解析，，；（2）如图见解析；（3）．
【分析】（1）作出A、C的对应点A1、C1即可解决问题；
（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）利用两点之间的距离公式计算即可．
【详解】（1）平移后的△A1B1C1如图所示，点A1（4，2），C1（3，-1）．
（2）△ABC关于原点O对称的△A2B2C2如图所示．
（3）AA1=．
【点睛】本题考查了平移变换、旋转变换、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题，属于中考常考题型．
20．（本题8分）四边形坐标为、、、、．
(1)请在平面直角坐标系中画出四边形；
(2)把四边形先向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到四边形，写出四边形各顶点的坐标，并作出该图形；
【答案】(1)见解析
(2)，画图见解析
【分析】（1）根据点的坐标，先在坐标系中描出对应的点，然后顺次连接即可；
（2）根据平移方式找到A、B、C、D对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：如图所示，四边形即为所求；
∴．
【点睛】本题主要考查了在坐标系中描点，坐标与图形变化—平移，灵活运用所学知识是解题的关键．
21．（本题10分）每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，
(1)写出、、的坐标．
(2)以原点为对称中心，画出关于原点对称的，并求的面积．
【答案】(1)，，
(2)见解析，
【分析】此题主要考查了坐标与图形，画中心对称图形；
（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标； （2）首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反得到、、的对称点坐标，再顺次连接即可，根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：根据 坐标系可得：，，；
（2）如图所示，即为所求；
．
22．（本题10分）如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中
(1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合；
(2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合；
(3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合；
(4)写一对中心对称的三角形：_________．
【答案】(1)射线、2厘米
(2)O、120
(3)
(4)与（答案不唯一）
【分析】（1）根据平移的性质解答即可；
（2）根据旋转的定义，结合图形可得出答案；
（3）根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与△CBO重合；
（4）根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可．
【详解】（1）解：∵经过平移得到，
∴平移的方向是沿着射线方向，点A与点F是一组对应点，
∴平移的距离为，
∵是边长为2厘米的等边三角形，
∴厘米，
故三角形沿着射线BO的方向平移2厘米能与三角形重合，
故答案为：射线、2厘米；
（2）解：三角形绕着点O顺时针旋转120度后能与三角形重合；
故答案为：O、120；
（3）解：三角形沿着所在直线翻折后能与重合；
故答案为：；
（4）解：与是中心对称的两个三角形．
故答案为：与（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称，属于基础题，关键是掌握几种变换的定义和特点．
23．（本题10分）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图①，点E，F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．
(1)思路梳理
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点、、共线，易证 ，故，，之间的数量关系为_______．
(2)类比引申
如图②，点E，F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1所示：
，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，
，点、、共线，
，，
，即．
在和中，
，
．
．
，即．
故答案为：；．
（2）解∶．
理由：如图2所示．
，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，
点、、在一条直线上．
，，．
又，
．
，
．
．
在和中，
，
．
．
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质， 旋转的性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度．
24．（本题12分）如图1、2是两个相似比为1：等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置
(1)在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与、交于点，，如图4．求证：；
(2)若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点、，如图5，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立；
(3)如图6，在正方形中，、分别是边、上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，、分别与对角线交于、，试问线段、、能否构成三角形的三边长？若能，并给出证明；若不能
【答案】(1)见解析
(2)结论仍然成立．理由见解析
(3)．理由见解析
【分析】（1）连，由条件得到点为的中点，则，，易证，，得到，，而，因此得到结论．
（2）把绕点顺时针旋转，得到，根据旋转的性质得到，，，，易证，得到，即可得到结论仍然成立；
（3）把绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，根据旋转的性质得到，，，，，又的周长等于正方形的周长的一半，得到，则，得到，进一步证得，得到，易证得，于是有，从而得到．
【详解】（1）绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与、交于点，，连，如图4，
两个等腰直角三角形的相似比为，
小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边，
点为的中点，
，，
又，
，
，
，
同理可得，
，
而，
；
（2）结论 仍然成立．理由如下：
绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点、，即把绕点顺时针旋转，得到，如图5，
，，，，
，
而，
，
，即，
，
，
在中，，
；
（3）线段、、能构成直角三角形的三边长．理由如下：
把 绕点顺时针旋转 得到，点的对应点为，如图6，
，，，，，
的周长等于正方形的周长的一半，
，
，
，
，
而，
，
，
而，，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质以及勾股定理的应用．
25．（本题14分）基本图形：
在中，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到．
探索：
（1）连接，如图①，试探索线段之间满足的等量关系，并证明结论；
（2）连接，如图②，试探索线段之间满足的等量关系，并证明结论：
拓展：
（3）如图③，在四边形中，．若，，求的长．
【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）结论：．证明即可解决问题；
（2）结论：．由，推出，，可得，利用勾股定理可得，再由等腰中，由勾股定理可得，即可得到；
（3）作，使，连接，．由，推出，由，，可得，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：（1），
∵，
∴，即，
在和中，
，
，
∴，
∴，即；
（2），
连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
根据旋转可得，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，，则由勾股定理可得，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
∴，
∴；
（3）作，使，连接，如图所示：
∵，即，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理可得，即，
∴．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．（本题14分）与都是等腰直角三角形，且，，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点
（1）如图1，当点D、E分别在边AB、AC上，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；
（2）把等腰绕点A旋转到如图2的位置，连接MN，判断的形状，并说明理由；
（3）把等腰绕点A在平面内任意旋转，，，请直接写出的面积S的变化范围．
【答案】（1），；（2）是等腰直角三角形，见解析；（3）.
【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，再判断出BD最小时，△PMN最小，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN=BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN；
（2）是等腰直角三角形．
由旋转知，，
∴，，
∴（SAS），
∴，，
利用三角形的中位线得，，，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
∴，
同（1）的方法得，，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）；
由（2）知，是等腰直角三角形，，
∴PM最大时，面积最大，PM最小时，面积最小
∴点D在BA的延长线上，的面积最大，
∴，
∴
∴，
当点D在线段AB上时，的面积最小，
∴，
∴，
，
∴.
【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是点D在线段AB和BA的延长线上时，△PMN的面积最小和最大．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)人教版2024-2025学年九年级数学上册第二十三章旋转
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条 码 粘 贴 处
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姓名：______________班级：______________
准考证号
(
注意事项
1
、
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2
、
请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3
、
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4
、
请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
) (
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记
！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
)
选择题（请用2B铅笔填涂）
１、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ２、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ３、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ４、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ５、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ６、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ７、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ８、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ９、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
13题、
14题、
15题、
16题、
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、
26题、
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