2024-2025学年广东省揭阳市揭东区某校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省揭阳市揭东区某校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3.下列分式中，是最简分式的是( )
A. B. C. D.
4.如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是( )
A. B.
C. D.
5.若分式的值为，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
6.在如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是( )
A. 点
B. 点
C. 点
D. 点
7.如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9.年月日沈阳和河半程马拉松比赛成功举行，各位跑友齐聚沈阳市和平区，以跑者之势再现运动之美小阳参与“半程马拉松”约项目，前以原计划平均速度完成，之后身体竞技状态下降，以的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划晚到达目的地，则小阳前的平均速度为( )
A. B. C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，点落在轴的正半轴上，点落在第一象限内，按以下步骤作图：
以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；
分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
作射线，交边于点；
则点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：______．
12.如图，将一副三角板在平行四边形中作如下摆放，设，那么 ______．
13.已知，则代数式的值是______．
14.关于的方程无解，则的值是______．
15.如图，在正方形中，对角线与相交于点，为上的一点，且，为的中点，若的周长为，则的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
化简，再从，，，中选择一个合适的数代入求值．
17.本小题分
如图，四边形是平行四边形．请用尺规作图法在上找一点，使得不写作法，保留作图痕迹
18.本小题分
已知：关于、的二元一次方程组的解满足．
求的取值范围；
在的条件下，化简．
19.本小题分
年月日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花元购买的自动铅笔比花元购买的钢笔多支．
求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价，而钢笔则按之前询问价格的折出售若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共支，且购买奖品的费用没有超过元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
20.本小题分
如图，阅读与思考：在函数的学习过程中，我们利用描点法画出函数的图象，并借助图象研究该函数的性质，最后运用函数解决问题现我们对函数的取值范围为任意实数进行探究．
请将表格补充完整．
请根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出一条该函数图象的性质：______．
请在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数的图象，并直接写出不等式的解集．
21.本小题分
已知四边形为平行四边形，点，分别是直线，上的点，且与点，，，不重合．
请在图中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：______，使得点，与 的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由；
如图，已知，，若四边形为平行四边形，且，则的长度为______．
22.本小题分
生活中的数学
某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案经学生会调查，得到以下信息．
信息 某旅游公司只有座客车辆，座客车辆可供租用 座客车座客车载客量人辆租金元辆
信息 七年级若每位老师带名学生，则还剩名学生没老师带；若每位老师带名学生，则恰好完成分配．
信息 八年级师生如果租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满．
任务
参加此次活动的七年级师生共有______人；
任务
求参加此次活动的八年级师生共有多少人；
任务
学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案．
23.本小题分
【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．
【推理论证】如图，四边形是平行四边形，求证：
小应的证明：作于点，交的延长线于点，由四边形是平行四边形，容易证得≌，得到，．
设，，．
在和中，．
在中，，
请继续完成小应的证明；
【初步应用】如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，求的长；
【拓展提升】如图，在中，，，是斜边的三等分点，，，求的长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.解：
，
要使分式有意义，且，
所以不能为和，
取，
所以原式．
17.解：如图，点即为所求．

18.解：，
解得：，
，
，
解得：；
，
，，
．
19.解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
元．
答：前期电话询问时钢笔的单价是元，自动铅笔的单价是元；
设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：学校最多购买了支钢笔作为奖品．
20.填表如下：
函数图象如下：
该函数图象的一条性质为：图象关于直线对称答案不唯一．
联立方程组，
解得，，
两个函数的交点坐标为和．
结合函数图象，不等式的解集为．
21.如图，添加条件，四边形为平行四边形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形；
如图，设与交于点，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
，
22.；
根据题意得：，
解得：，
．
答：参加此次活动的八年级师生共有人；
设租用辆座客车，则租用辆座客车，
根据题意得：，
解得：，
又，均为自然数，
可以为，，，
共有种租车方案，
方案：租用辆座客车，辆座客车；
方案：租用辆座客车，辆座客车；
方案：租用辆座客车，辆座客车．
23.证明：作于点，交的延长线于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
≌，
得到，，
设，，，
在和中，
，
在中，，
，
；
解：，，，，
，
，
，
的长；
解：如图所示，以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接；
则，
，是斜边的三等分点，
，
设，则，
由可得，
，
即，
同理可得，
，
即，
又，
，
即，
又，
，
解得：，舍去，
，
的长为．
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