2024-2025学年辽宁省抚顺市新抚区九年级（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省抚顺市新抚区九年级（上）期初
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组数不能作为直角三角形三边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.一元二次方程的根的情况是( )
A. 无实数根 B. 有两个实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定
4.下列说法中不正确的是( )
A. 对角线垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 菱形的面积等于对角线乘积的一半 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5.把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
6.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.某同学对数据，，，，，进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数
8.在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
9.如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则( )
A.
B.
C.
D.
10.甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从地出发前往地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发分钟．甲骑行分钟后，乙以原速的倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达地，甲一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程单位：与甲骑行的时间单位：之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是( )
A. 甲的骑行速度是 B. ，两地的总路程为
C. 乙出发后追上甲 D. 甲比乙晚到达地
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程的根为______．
12.抛物线的顶点坐标是_________．
13.如图，在一个高为，长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是______．
14.如图，函数的图象过点，则不等式的解集是______．
15.如图，菱形中，对角线，相交于点，，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是______．
三、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：
；
已知，求代数式的值．
17.本小题分
解方程
配方法
．
18.本小题分
如图，某天上午海岸瞭望塔接到位于其北偏西方向且相距海里的渔船的求救信号，于是立即通知处在瞭望塔正西方向处的北斗救援队前往救援，救援队测得船位于的东北方向，求此时救援队与渔船之间的距离结果保留根号
19.本小题分
某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为分为整数，将成绩评定为优秀、良好、合格，不合格四个等级优秀，良好，合格、不合格分别用，，，表示，等级：，等级：，等级，，等级：该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
等级 频数人数
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
上表中的 ______， ______， ______；
这组数据的中位数所在的等级是______；
该校决定对分数低于分的学生进行安全再教育，已知该校七年级共有名学生，求该校七年级需要进行安全再教育的学生有多少人？
20.本小题分
如图，在 中，点为的中点，过点作，延长到点使，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，，求的长．
21.本小题分
为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买个品牌足球和个品牌足球共需元；购买个品牌足球和个品牌足球共需元．
求，两种品牌足球的单价；
若学校准备购买，两种品牌的足球共个，且品牌足球数不少于品牌足球数的倍，设购买两种品牌足球所需总费用为元，品牌足球个，求与之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
22.本小题分
在边长为的正方形中，点和点分别在直线和上运动，连接，．
如图，当点，分别是和的中点时，请直接写出与之间的关系；
连接，点为中点，连接，，且．
如图，当点，分别在边和上时，中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若成立，请加以证明；
连接，在点和点运动的过程中，若，请直接写出的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.，
12.
13.
14.
15.
16.解：
；
，
．
17.解：
，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，．
18.解：如图，过点作于点，
则，
由题意可知，海里，，，
是等腰直角三角形，，
，海里，
海里，
答：救援队与渔船之间的距离为海里．
19.解：；；
；
人，
答：该校七年级需要进行安全再教育的学生大约有人．

20.证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，即，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是矩形．
解：由可知，，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
是的中点，，
．
21.解：设，两种品牌足球的单价分别为元，元，
根据题意，得，
解得，
品牌足球单价为元，品牌足球单价为元．
根据题意可知，品牌足球个，
品牌足球不少于品牌数的倍，
，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，最小，此时．
综上，，取得最小值元，此时品牌足球购买了个，品牌足球购买了个．
22.解：，，理由如下：
四边形是正方形，
，，
点，分别是和的中点，
，
≌，
，，
，
，
；
中的结论还成立，理由如下：
如图，连接，
四边形是正方形，
，
，，点为中点，
，，，
，，
，
≌，
，
又，，
≌，
，，
，
，
；
如图，当点在线段的延长线上时，
，，
，
，，点为中点，
，，，
，，
，
≌，
，
；
如图，当点在线段的延长线上时，
同理可得：，
综上所述：的长为或．
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