2024-2025学年广东省深圳高级中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳高级中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程的解完全正确的是( )
A. B. ，
C. ， D. ，
2.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B.
C. ， D. ，
3.在一次兑换盲盒的游戏中，规定：在不透明的袋子中，放置个黄球，个红球，这些小球除颜色以外其他完全相同，搅匀后随机摸出两个球，若摸到的两个球颜色相同，便能得到一次兑换盲盒的机会，则参与者每次摸球得到兑换盲盒机会的概率是( )
A. B. C. D.
4.若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
5.下列命题中正确的是( )
A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
6.如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.某中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.如图，在矩形中，动点从点出发，沿匀速运动，运动到点处停止设点的运动路程为，的周长为，与的函数图象如图所示，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.关于的一元二次方程的一个根是，则常数 ______．
10.若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______．
11.如图，在四边形中，，为中点，连接交于点，若为中点，，，则 ______．
12.如图所示，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙墙长，且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则表示的代数式为______．
13.如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与，重合，折痕为，若，，则的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
解一元二次方程：
；
．
15.本小题分
先化简，再求值：其中是方程的根．
16.本小题分
年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是滑板的概率是______．
体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是滑板和运动攀岩的概率．
17.本小题分
如图，在四边形中，，连接，，且经过的中点，点在上，且，连接，．
求证：四边形是菱形
若，且，求菱形的面积．
18.本小题分
年杭州亚运会文创产品热销，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”凭借时尚可爱的形象更是“圈粉”无数某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物摆件，以每件元的价格出售经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率；
从月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？
19.本小题分
定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．
根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；只填写序号即可
；；．
关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值；
若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值．
20.本小题分
我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”．
如图、点，，在网格格点上，请你在网格图甲和乙中画出个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上；
如图，矩形中，，，点在边上，连接，作于点，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由；
如图，在中，，，，是的中点，点是边上一点不与，重合，当四边形是等邻边四边形且为相等的邻边之一时，的长为______．
参考答案
1.
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14.解：，
，
，
，
则，
所以．
，
，
，
，
则或，
所以．
15.解：原式，
是方程的根，
；
，
原式．
16.【答案；
画树状图如下：
，
共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“”和“”的结果数为，
体育老师抽到的两张卡片恰好是滑板和运动攀岩的概率．
17.证明：点是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
是等腰三角形，
又是中的中线，
，
，
四边形是菱形．
解：，
，
，，
，，
故在中，用勾股定理可得，
代入数值为，
化简得，
，
菱形的面积为．
18.解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为；
设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元．
19.解：；
一元二次方程的解为，，
当相同的根是时，则，
解得，
当时，的两个根是，，满足条件；
当相同的根是时，则，
解得，
当时，的两个根是，，满足条件．
综上，的值为或；
关于的一元二次方程同时满足和，
关于的一元二次方程的两个根是，；
的两个根是，，
关于的一元二次方程与互为“同伴方程”，
或．
20.等邻边四边形如图所示：
；
四边形，是等邻边四边形，理由如下：
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
四边形，是等邻边四边形；
，，，
，，
是的中点，
，
，
四边形是等邻边四边形且为相等的邻边之一，
，
，
如图，四边形是等邻边四边形且，
过点作，垂足为，
，
在中，，
，
，
，
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