【培优版】北师大版数学九年级上册3.1用树状图或表格求概率 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·花溪月考）如图所示，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·黔江期末）四个完全相同的球上分别标有数字，，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则能被5整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·常德）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·花溪月考）将分别标有“醉”“美”“遵”“义”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“遵义”的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·花溪月考）一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p，再随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·太原月考）有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·高台月考）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“”，“”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·青羊月考）有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 ．
10．（2022九上·西安开学考）“双减”政策后，各校积极探索“课内提质增效，课后丰富多彩”的有效策略，某校的课后服务活动设置了四大板块课程：．体育活动；劳动技能；经典阅读；科普活动．若小明和小亮两人随机选择一个板块课程，则两人所选的板块课程恰好相同的概率是 ．
11．（2021九上·成都期中）在五个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4，5五个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从口袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y.则在坐标平面内，点P（x，y）落在直线 y＝﹣x+5上的概率是 .
12．（2023九上·新津月考）现有四张正面分别标有数字-1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第二象限的概率为 ．
13．在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的四个小球，这四个小球的材质、大小和形状完全相同．现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数之积大于9的概率为
三、解答题
14．（2023九上·洞头期中） 一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中有1个黄球、1个白球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
15．（2024九上·揭阳期末）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校.某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：好，B：中，：差.请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）在扇形统计图中， ， ，类的圆心角为 ；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中类1人，类2人，类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是类学生的概率.
16．（2024九上·红塔期末）红塔区各义务教育学校按照“一校一案”的要求，每学期坚持以校内教师提供项目为主，按需求从区级“白名单”二次遴选非学科校外培训机构和团体提供相关项目进入学校，拓宽课后服务渠道，满足学生兴趣特长发展需求．甲、乙两名同学准备报名参加学校课后服务活动，各自随机选择篮球、舞蹈、书法三种中的一种，记篮球为，舞蹈为，书法为．假设这两名同学选择参加哪种课后服务活动不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）求甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的概率．
17．（2024九上·邻水期末）寒假期间，小赵的爸爸准备带小赵去广安旅游．由于时间关系，原计划去的华蓥山和天意谷只能去其中一个，现决定用抽扑克牌的方式来决定，具体方法如下：把四张牌面数字分别是2，3，4，5的扑克牌背面向上放置于桌面上，洗匀后，小赵先从中任意抽出一张，然后爸爸再从剩下的三张中任意抽出一张，如果两人的牌面数字之和大于7，就去华蓥山；否则，就去天意谷．
（1）如果小赵抽出的牌面数字是4，那么他们去华蓥山的概率为 ；
（2）请利用画树状图或列表的方法分析他们去华蓥山和天意谷哪个地方的概率大．
18．（2024九上·武侯期末）有4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜，小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
19．（2024九上·武胜期末）班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼，，，．晚会结束后，小明摘下了两个灯笼（剩两个灯笼未摘），他每次随机摘下一个灯笼，且摘之前需先摘下，摘之前需先摘下．
（1）小明第一个摘下的灯笼是灯笼的概率是 ；
（2）求小明第二个摘下的灯笼是灯笼的概率．
20．（2024九上·平山期末）嘉嘉在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关、、、、和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关、或、都可以使小灯泡发亮．
（1）当开关、已经闭合时，再任意闭合开关、、中的一个，小灯泡能亮起来的概率是 ；
（2）当开关已经闭合时，再任意闭合开关、、、中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，画树状图得：
∴共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，
∴则小灯泡发光的有6种情况：AD，BD，CD，DA，DB，DC，
∴小灯泡发光的概率为：.
故答案为：A.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得出所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，即可求得答案.
2．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： 画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中a+b能被5整除的概率结果有6种，
∴a+b能被5整除的概率为，
故答案为：A.
【分析】先画树状图，再数出所有等可能的结果数和符合条件的等可能的结果数，求出比值即可.
3．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下，
1 2 3 4 5
1 3 4 5 6
2 3 5 6 7
3 4 5 7 8
4 5 6 7 9
5 6 7 8 9
共有20种等可能结果，其中和为偶数的有8种，
则其和为偶数的概率为
故答案为：B.
【分析】长此题是抽取不放回类型，列出表格，找出总情况数以及和为偶数的情况数，然后根据概率公式进行计算.
4．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将“醉”“美”“遵”“义”分别记作1，2，3，4列表如下：
1 2 3 4
1 （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4）
由上表可知，共12种可能等可能的结果，
其中两次摸出的球上的汉字能组成“ 遵义 ”的有2种：(3，4)，(4，3)
∴两次摸出的球上的汉字能组成“遵义”的概率.
故答案为：B.
【分析】根据题意先列表得出所有等情况数，然后根据概率公式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意，画树状图，
通过树状图可以得出共有6种情况，其中能使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有3种情况，
所以，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是.
故答案为：A.
【分析】通过画树状图求出p、q的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率.
6．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图知：共有9种等可能结果，其中记录的两个数字乘积是正数有5种，
∴ 记录的两个数字乘积是正数的概率为，
故答案为：D.
【分析】利用树状图列举出共有9种等可能结果，其中记录的两个数字乘积是正数有5种，然后利用概率公式计算即可.
7．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知：共有4种等可能结果数，其中两次记录的数字之和为3的有2种，
∴ 两次记录的数字之和为3的概率是，
故答案为：C.
【分析】利用树状图列举出共有4种等可能结果数，其中两次记录的数字之和为3的有2种，然后利用概率公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： ∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
9．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
列表法表示所有情况：
则的值可以是-1，-2，-1，2，，
∵关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数
∴＜x＜5
∴的值是2
∴使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为.
【分析】本题考查一元二次方程组的特殊解和概率的计算。 解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。 一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法.
10．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人所选的板块课程恰好相同的有4种结果，
所以两人所选的板块课程恰好相同的概率为，
故答案为：．
【分析】此题是抽取放回类型，利用树状图列举出共有16种等可能的结果，其中两人所选的板块课程恰好相同的有4种结果，再利用概率公式计算即可.
11．【答案】
【知识点】一次函数的图象；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
一共有25种等可能性，x+y=5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种可能性，
∴点P（x，y）落在直线 y＝﹣x+5上的概率是，
故答案为：.
【分析】由题意可知此事件是抽取放回，列出树状图，可得到所有等可能的结果数和点P（x，y）落在直线 y＝﹣x+5上的情况数，然后利用概率公式进行计算.
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中 点P（m，n）在第二象限 的结果有（-1，1）、（-1，2）、（-1，3），共3种，
P（点P在第二象限）=.
故答案为： .
【分析】先画树状图或列表，再计算概率。
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】 根据题意列表得：
2 3 4 5
2 —— （3，2） （4，2） （5，2）
3 （2，3） —— （4，3） （5，3）
4 （2，4） （3，4） —— （5，4）
5 （2，5） （3，5） （4，5） ——
由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种，
所以两个小球上的数字之积大于9的概率为
故答案为：．
【分析】先根据题意列出表格，分别求出所有可能情况数与符合条件的结果数，利用概率公式求解.
14．【答案】（1）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为；
（2）解：由题意得，，
解得n＝2，
经检验，n＝2是原方程的解且符合题意，
∴n的值为2．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）此题事抽取不放回类型，由题意画出树状图，由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，再利用概率公式求解；
（2）根据概率公式得到，求出n的值，并检验.
15．【答案】（1）全班学生总人数为：10÷25%＝40（人）；
（2）15；60；54°
（3）列表如下：
A B B C
A \ (A，B) (A，B) (A，C)
B (B，A) \ (B，B) (B，C)
B (B，A) (B，B) \ (B，C)
C (C，A) (C，B) (C，B) \
由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果
∴P（全是B类学生）＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（2）C类人数为40-（10+24）=6人，
∴a%=×100%=15%，b%=×100%=60%，
∴a=15，b=60，
C类的圆心角为圆心角度数为360°×=54°.
故答案为：15，60，54°.
【分析】（1）利用A类人数除以其百分比，即得全班学生总人数；
（2）利用总人数减去A、B类人数求出C类人数，由360°乘以C类人数所占比例可得C类的圆心角度数，分别利用B、C类人数除以总人数可求出a、b值.
（3）利用列表法列举出共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果，然后利用概率公式计算即可.
16．【答案】（1）解：方法一，列表如下：
∴所有可能出现的结果为：，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种．
方法二，画树状图如图：
∴所有可能出现的结果为：，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种．
（2）解：由表（图）可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等．其中甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的结果有3种：，故．
答：甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】先利用列表法或树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可.
17．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，
其中两人的牌面数字之和大于7的结果有4种，
两人的牌面数字之和小于等于7的结果有8种，
∴他们去华蓥山的概率为，
他们去天意谷的概率为．
∵，
∴他们去天意谷的概率大．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）如果小赵抽出的牌面数字是4，剩下的三张牌为2，3，5，
如果两人的牌面数字之和大于7，就去华蓥山，
抽到5时，，两人的牌面数字之和大于7，就能去华蓥山，
他们去华蓥山的概率为；
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意进行计算即可求解；
（2）先画出树状图，进而得到共有12种等可能的结果，其中两人的牌面数字之和大于7的结果有4种，两人的牌面数字之和小于等于7的结果有8种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
18．【答案】（1）解：第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为；
（2）解：小敏设计的游戏规则公平，理由如下：
列表如下：
0 1 3
0 1 3
1 2
2 3 5
3
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
甲获胜的概率乙获胜的概率，
小敏设计的游戏规则公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)根据概率的定义，利用概率公式求解即可.
(2)利用列表法列举出所有可能结果，再利用概率公式得出甲、乙获胜的概率，即可得出答案.
19．【答案】（1）
（2）解：由题意，画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中第二个摘下灯笼的结果只有1种，
∴第二个摘下A灯笼的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意得小明第一个摘下的灯笼是D灯笼的概率是，
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意即可求解；
（2）先根据题意画出树状图，进而得到共有4种等可能的结果，其中第二个摘下灯笼的结果只有1种，再根据等可能事件的概率即可求解。
20．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡能亮起来有4种可能，
（小灯泡能亮起来）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意得当开关、已经闭合时，再合开关灯泡才能亮，
∴小灯泡能亮起来的概率是，
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意进行计算即可求解；
（2）先画出树状图，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡能亮起来有4种可能，再根据等可能事件的概率即可求解。
1 / 1【培优版】北师大版数学九年级上册3.1用树状图或表格求概率 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·花溪月考）如图所示，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，画树状图得：
∴共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，
∴则小灯泡发光的有6种情况：AD，BD，CD，DA，DB，DC，
∴小灯泡发光的概率为：.
故答案为：A.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得出所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，即可求得答案.
2．（2024九上·黔江期末）四个完全相同的球上分别标有数字，，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则能被5整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： 画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中a+b能被5整除的概率结果有6种，
∴a+b能被5整除的概率为，
故答案为：A.
【分析】先画树状图，再数出所有等可能的结果数和符合条件的等可能的结果数，求出比值即可.
3．（2022·常德）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下，
1 2 3 4 5
1 3 4 5 6
2 3 5 6 7
3 4 5 7 8
4 5 6 7 9
5 6 7 8 9
共有20种等可能结果，其中和为偶数的有8种，
则其和为偶数的概率为
故答案为：B.
【分析】长此题是抽取不放回类型，列出表格，找出总情况数以及和为偶数的情况数，然后根据概率公式进行计算.
4．（2023九上·花溪月考）将分别标有“醉”“美”“遵”“义”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“遵义”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将“醉”“美”“遵”“义”分别记作1，2，3，4列表如下：
1 2 3 4
1 （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4）
由上表可知，共12种可能等可能的结果，
其中两次摸出的球上的汉字能组成“ 遵义 ”的有2种：(3，4)，(4，3)
∴两次摸出的球上的汉字能组成“遵义”的概率.
故答案为：B.
【分析】根据题意先列表得出所有等情况数，然后根据概率公式求解即可.
5．（2023九上·花溪月考）一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p，再随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意，画树状图，
通过树状图可以得出共有6种情况，其中能使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有3种情况，
所以，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是.
故答案为：A.
【分析】通过画树状图求出p、q的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率.
6．（2023九上·太原月考）有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图知：共有9种等可能结果，其中记录的两个数字乘积是正数有5种，
∴ 记录的两个数字乘积是正数的概率为，
故答案为：D.
【分析】利用树状图列举出共有9种等可能结果，其中记录的两个数字乘积是正数有5种，然后利用概率公式计算即可.
7．（2023九上·高台月考）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“”，“”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知：共有4种等可能结果数，其中两次记录的数字之和为3的有2种，
∴ 两次记录的数字之和为3的概率是，
故答案为：C.
【分析】利用树状图列举出共有4种等可能结果数，其中两次记录的数字之和为3的有2种，然后利用概率公式计算即可.
8．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： ∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
二、填空题
9．（2023九上·青羊月考）有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
列表法表示所有情况：
则的值可以是-1，-2，-1，2，，
∵关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数
∴＜x＜5
∴的值是2
∴使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为.
【分析】本题考查一元二次方程组的特殊解和概率的计算。 解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。 一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法.
10．（2022九上·西安开学考）“双减”政策后，各校积极探索“课内提质增效，课后丰富多彩”的有效策略，某校的课后服务活动设置了四大板块课程：．体育活动；劳动技能；经典阅读；科普活动．若小明和小亮两人随机选择一个板块课程，则两人所选的板块课程恰好相同的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人所选的板块课程恰好相同的有4种结果，
所以两人所选的板块课程恰好相同的概率为，
故答案为：．
【分析】此题是抽取放回类型，利用树状图列举出共有16种等可能的结果，其中两人所选的板块课程恰好相同的有4种结果，再利用概率公式计算即可.
11．（2021九上·成都期中）在五个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4，5五个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从口袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y.则在坐标平面内，点P（x，y）落在直线 y＝﹣x+5上的概率是 .
【答案】
【知识点】一次函数的图象；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
一共有25种等可能性，x+y=5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种可能性，
∴点P（x，y）落在直线 y＝﹣x+5上的概率是，
故答案为：.
【分析】由题意可知此事件是抽取放回，列出树状图，可得到所有等可能的结果数和点P（x，y）落在直线 y＝﹣x+5上的情况数，然后利用概率公式进行计算.
12．（2023九上·新津月考）现有四张正面分别标有数字-1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第二象限的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中 点P（m，n）在第二象限 的结果有（-1，1）、（-1，2）、（-1，3），共3种，
P（点P在第二象限）=.
故答案为： .
【分析】先画树状图或列表，再计算概率。
13．在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的四个小球，这四个小球的材质、大小和形状完全相同．现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数之积大于9的概率为
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】 根据题意列表得：
2 3 4 5
2 —— （3，2） （4，2） （5，2）
3 （2，3） —— （4，3） （5，3）
4 （2，4） （3，4） —— （5，4）
5 （2，5） （3，5） （4，5） ——
由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种，
所以两个小球上的数字之积大于9的概率为
故答案为：．
【分析】先根据题意列出表格，分别求出所有可能情况数与符合条件的结果数，利用概率公式求解.
三、解答题
14．（2023九上·洞头期中） 一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中有1个黄球、1个白球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
【答案】（1）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为；
（2）解：由题意得，，
解得n＝2，
经检验，n＝2是原方程的解且符合题意，
∴n的值为2．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）此题事抽取不放回类型，由题意画出树状图，由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，再利用概率公式求解；
（2）根据概率公式得到，求出n的值，并检验.
15．（2024九上·揭阳期末）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校.某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：好，B：中，：差.请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）在扇形统计图中， ， ，类的圆心角为 ；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中类1人，类2人，类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是类学生的概率.
【答案】（1）全班学生总人数为：10÷25%＝40（人）；
（2）15；60；54°
（3）列表如下：
A B B C
A \ (A，B) (A，B) (A，C)
B (B，A) \ (B，B) (B，C)
B (B，A) (B，B) \ (B，C)
C (C，A) (C，B) (C，B) \
由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果
∴P（全是B类学生）＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（2）C类人数为40-（10+24）=6人，
∴a%=×100%=15%，b%=×100%=60%，
∴a=15，b=60，
C类的圆心角为圆心角度数为360°×=54°.
故答案为：15，60，54°.
【分析】（1）利用A类人数除以其百分比，即得全班学生总人数；
（2）利用总人数减去A、B类人数求出C类人数，由360°乘以C类人数所占比例可得C类的圆心角度数，分别利用B、C类人数除以总人数可求出a、b值.
（3）利用列表法列举出共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果，然后利用概率公式计算即可.
16．（2024九上·红塔期末）红塔区各义务教育学校按照“一校一案”的要求，每学期坚持以校内教师提供项目为主，按需求从区级“白名单”二次遴选非学科校外培训机构和团体提供相关项目进入学校，拓宽课后服务渠道，满足学生兴趣特长发展需求．甲、乙两名同学准备报名参加学校课后服务活动，各自随机选择篮球、舞蹈、书法三种中的一种，记篮球为，舞蹈为，书法为．假设这两名同学选择参加哪种课后服务活动不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）求甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的概率．
【答案】（1）解：方法一，列表如下：
∴所有可能出现的结果为：，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种．
方法二，画树状图如图：
∴所有可能出现的结果为：，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种．
（2）解：由表（图）可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等．其中甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的结果有3种：，故．
答：甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】先利用列表法或树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可.
17．（2024九上·邻水期末）寒假期间，小赵的爸爸准备带小赵去广安旅游．由于时间关系，原计划去的华蓥山和天意谷只能去其中一个，现决定用抽扑克牌的方式来决定，具体方法如下：把四张牌面数字分别是2，3，4，5的扑克牌背面向上放置于桌面上，洗匀后，小赵先从中任意抽出一张，然后爸爸再从剩下的三张中任意抽出一张，如果两人的牌面数字之和大于7，就去华蓥山；否则，就去天意谷．
（1）如果小赵抽出的牌面数字是4，那么他们去华蓥山的概率为 ；
（2）请利用画树状图或列表的方法分析他们去华蓥山和天意谷哪个地方的概率大．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，
其中两人的牌面数字之和大于7的结果有4种，
两人的牌面数字之和小于等于7的结果有8种，
∴他们去华蓥山的概率为，
他们去天意谷的概率为．
∵，
∴他们去天意谷的概率大．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）如果小赵抽出的牌面数字是4，剩下的三张牌为2，3，5，
如果两人的牌面数字之和大于7，就去华蓥山，
抽到5时，，两人的牌面数字之和大于7，就能去华蓥山，
他们去华蓥山的概率为；
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意进行计算即可求解；
（2）先画出树状图，进而得到共有12种等可能的结果，其中两人的牌面数字之和大于7的结果有4种，两人的牌面数字之和小于等于7的结果有8种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
18．（2024九上·武侯期末）有4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜，小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）解：第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为；
（2）解：小敏设计的游戏规则公平，理由如下：
列表如下：
0 1 3
0 1 3
1 2
2 3 5
3
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
甲获胜的概率乙获胜的概率，
小敏设计的游戏规则公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)根据概率的定义，利用概率公式求解即可.
(2)利用列表法列举出所有可能结果，再利用概率公式得出甲、乙获胜的概率，即可得出答案.
19．（2024九上·武胜期末）班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼，，，．晚会结束后，小明摘下了两个灯笼（剩两个灯笼未摘），他每次随机摘下一个灯笼，且摘之前需先摘下，摘之前需先摘下．
（1）小明第一个摘下的灯笼是灯笼的概率是 ；
（2）求小明第二个摘下的灯笼是灯笼的概率．
【答案】（1）
（2）解：由题意，画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中第二个摘下灯笼的结果只有1种，
∴第二个摘下A灯笼的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意得小明第一个摘下的灯笼是D灯笼的概率是，
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意即可求解；
（2）先根据题意画出树状图，进而得到共有4种等可能的结果，其中第二个摘下灯笼的结果只有1种，再根据等可能事件的概率即可求解。
20．（2024九上·平山期末）嘉嘉在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关、、、、和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关、或、都可以使小灯泡发亮．
（1）当开关、已经闭合时，再任意闭合开关、、中的一个，小灯泡能亮起来的概率是 ；
（2）当开关已经闭合时，再任意闭合开关、、、中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡能亮起来有4种可能，
（小灯泡能亮起来）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意得当开关、已经闭合时，再合开关灯泡才能亮，
∴小灯泡能亮起来的概率是，
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意进行计算即可求解；
（2）先画出树状图，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡能亮起来有4种可能，再根据等可能事件的概率即可求解。
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