【提升版】北师大版数学九年级上册3.2用频率估计概率 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·盘州期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是
试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上
B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5
C．在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”
D．将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃
2．（2023九上·南岸月考）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
3．（2024九上·自贡期末）种子被称作农业的“芯片”，关系到国家粮食安全．某种业公司培育成功了两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培有环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量 200 500 800 1500 3000
A 出芽率 0.98 0.94 0.96 0.98 0.97
B 出芽率 0.98 0.95 0.94 0.97 0.96
下面在三个推断：
①当实验种子数员为200时，两种种子的出芽率均为0.98，所以两种新五米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.96附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子出芽的概率是0.96：
③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会离于种子．
其中合理的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
4．（2024九上·于都期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．通过少量重复试验，可以用频率估计概率
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．概率很小的事件不可能发生
5．（2021九上·凤翔期末）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是( )
A．6 B．10 C．18 D．20
6．（2019九上·罗湖期中）为了估计湖里有多少条鱼，小刚先从湖里捞出了100条鱼做上标记，然后放回湖里去．经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，小刚又从湖里捞出200条鱼，如果其中15条有标记，那么估计湖里有鱼（ ）
A．1333条 B．3000条 C．300条 D．1500条
7．（2023九上·锦江期中）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．40个 B．35个 C．20个 D．15个
8．（2023九上·从江期中）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表所示：
每批 粒数n 100 300 400 600 1 000 2 000 3 000
发芽的 粒数m 96 282 382 570 948 1 904 2 850
发芽的 频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950
下面有三个推断：
①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率是0.955；
②根据上表，估计绿豆发芽的概率是0.95；
③若n为4 000，估计绿豆发芽的粒数为 3 800 粒.
其中推断合理的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
二、填空题
9．（2024九上·祁东期末）一个袋子中只装有红、白两种颜色的球，这些球的形状、质地等完全相同，其中白色球有3个，红色球有n个．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在附近，则n的值约为 ．
10．（2023九上·小店期中） 玉米是山西省主要农作物之一.某种业公司在选育玉米种子时，在同一条件下对某个品种的玉米种子进行了发芽试验，统计数据如下表：
试验种子粒数 100 200 500 1000 2000 5000
发芽种子粒数 92 188 476 951 1900 4752
据此估计该品种的玉米种子发芽的概率为 .（结果精确到0.01）
11．（2023九上·武侯月考）如图，是一个面积为正方形微信二维码．小明利用所学概率知识估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为 ．
12．（2021九上·平定期末）一年之计在于春，为保障春播任务顺利完成，科研人员对某玉米种子在相同条件下发芽情况进行试验，结果如表：
每批粒数n 500 800 1000 2000 3000
发芽的频数m 463 768 948 1901 2851
发芽的频率 0.926 0.96 0.948 0.951 0.950
那么这种玉米发芽的概率是 ．（结果精确到0.01）
13．（2023九上·义乌月考）如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为 .
三、解答题
14．在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球共20个，每个球除颜色外完全相同．某学习兴趣小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的部分统计数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到红球的次数m 59 96 118 290 480 601
摸到红球的频率 0.59 0.58
0.60 0.601
（1）完成上表；
（2）“摸到红球”的概率的估计值 （精确到0.1）
（3）试估算袋子中红球的个数．
15．（2023九上·花溪月考）一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的.将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子下掷试验，试验数据如下表：
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面 朝上频数 14 a 38 47 52 66 78 88
相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 b 0.56 0.55
（1）请直接写出a，b的值.
（2）如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少.
（3）如果做这种试验2000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少
16．（2023九上·西安期中） 为弘扬中华传统文化，学校准备开展“国学知识挑战赛”．张老师将7张写有“成语故事”和若干张写有“国学常识”的卡片放入一个不透明的盒子中，这些卡片除上面的字外，其余完全相同．九年级学生想知道盒子中“国学常识”的张数，于是他们将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下卡片上面的字后放回，搅匀后再摸一张卡片，记下卡片上面的字后放回，不断重复上述过程，获得数据如表：
摸卡次数 50 100 150 200 250 300
摸到“国学常识”的次数 17 29 46 59 74 90
摸到“国学常识”的频率 0.340 0.290 0.307 a 0.296 0.300
（1）a＝ ，估计摸到“国学常识”的概率为 （保留两位小数）；
（2）根据表中数据，请你帮九年级学生估计盒子中有多少张“国学常识”卡片？
17．（2023九上·从江期中）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
摸球的 次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000
摸到白球 的次数m 70 128 171 302 481 599 1 806
摸到白球 的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602
（1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为 (精确到0.1).
（2）估算盒子里有白球 个.
（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在 0.5，那么可以推测出x最有可能是多少
18．小明在操场上玩游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC.为了知道它的面积，小明在封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
掷石子次数 50 150 300
石子落在内(含上)的次数m 14 43 93
石子落在阴影内的次数n 19 85 186
请你帮小明估计，此封闭图形ABC的面积是 .
19．（2019九上·秀洲月考）某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球约有多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球的次数为6000次。
（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是多少；
（2）请你估计袋中红球有多少个。
20．（2018九上·东营期中）某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时．为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下的统计表（不完整）．
组别 时间（小时） 频数（人数） 频率
A 0≤t＜0.5 20 0.05
B 0.5≤t＜1 a 0.3
C 1≤t＜1.5 140 0.35
D 1.5≤t＜2 80 0.2
E 2≤t＜2.5 40 0.1
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）表中的a= ，将频数分布直方图补全 ；
（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？
（3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】根据表格中的数据可得概率最接近0.333约等于，
A、∵掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率是≠，∴A不符合题意；
B、∵掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5的概率是≠，∴B不符合题意；
C、∵在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”的概率是，∴C符合题意；
D、∵将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率是≠，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先根据表格中的数据可得概率最接近0.333约等于，再分别求出各项中的概率并比较即可.
2．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】设白球的个数为x，
根据题意可得：，
解得：x=10，
故答案为：B.
【分析】设白球的个数为x，根据“ 摸到白球的频率稳定在0.4左右 ”列出方程，再求解即可.
3．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①在大量重复实验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为200，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．
②随着实验种子数量的增加，B种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计B种子发芽的概率是0.97．故②推断合理．
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率约为0.97、B种子的出芽率约为0.96，可能会高于B种子，故③合理；
故答案为：C．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摇摆，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解。
4．【答案】B
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：
A：通过少量重复试验，可以用频率估计概率，说法错误，需要通过大量重复试验，故不符合题意
B：事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，说法正确，符合题意
C：某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖，说法错误，根据生活常识可知，故不符合题意
D：概率很小的事件不可能发生，说法错误，概率很小的事件也可能发生只是发生的可能性小而已，故不符合题意
故答案为：B
【分析】了解概率的定义，了解事件的可能性，会用频率估算概率的大小。
5．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】由题意可得，×100%=30%，
解得，n=20（个)．
故估计n大约有20个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
6．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】设湖中有x条鱼，则：
15：200=100：x
解得：x= ≈1333（条）．
故答案为：A．
【分析】在样本中“捕捞200条鱼，发现其中15条有标记”，即可求得有标记的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得摸到白球的频率为0.7，
∴白球的个数为0.7×50=35，
故答案为：B
【分析】根据用频率估计概率结合题意即可求解。
8．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率大约是0.955，∴①错误；
②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计绿豆发芽的概率是0.95，∴②正确；
③若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为4000x0.950=3800粒，∴③正确，
综上，正确的结论是②③，
故答案为：D.
【分析】利用表格中的数据及信息，再根据频率得到定义逐项分析判断即可.
9．【答案】12
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】根据题意可得：，
解得：n=12，
经检验，n是原分式方程的解，
故答案为：12.
【分析】根据“ 发现摸出白球的频率稳定在附近 ”列出方程，再求出n的值即可.
10．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由表格得出：
所以该品种的玉米种子发芽的频率接近于0.95，则该种子发芽的概率为0.95。
故答案为：0.95.
【分析】分别计算出发芽率，根据种子的粒数从100粒增加到5000粒时，种子发芽的频率接近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95。
11．【答案】
【知识点】频数与频率；几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：落入黑色部分的频率稳定在左右，正方形面积为，
黑色部分的面积约为.
故答案为：.
【分析】根据频率稳定性定理、频率集中趋势估计概率的性质，所得的近似值即这个事件的概率，结合题意加以计算即可求解。
12．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察表格得到这种玉米发芽的频率稳定在0.95附近，
则这种玉米发芽的概率是0.95，
故答案为0.95．
【分析】先求出这种玉米发芽的频率稳定在0.95附近，再求概率即可。
13．【答案】36
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据小球落在不规则图案内的频率趋近于0.6，
故小球落在不规则图案内的概率为0.6，
估计此不规则图案的面积大约为10×6×0.6=36m2，
故答案为：36.
【分析】运用频率和概率之间的关系即可解答.
14．【答案】解：（1）填表如下：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到红球的次数m 59 96 118 290 480 601
摸到红球的频率 0.59 0.64 0.58 0.58 0.60 0.601
（2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数0.6附近，故）“摸到红球”的概率的估计值是0.6．答：概率为0.6；（3）20×0.6=12（只）．答：口袋中约有红球12只．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）用摸到红球的次数除以所有摸球次数即可求得摸到红球的概率；
（2）大量重复试验频率稳定到的常数即可得到概率的估计值；
（3）用求得的摸到红球的概率乘以球的总个数即可求得红球的个数．
15．【答案】（1）解：a=18，b=0.55.
（2）解：根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55，稳定在 0.55 左右，
故估计概率的大小为0.55.
（3）解：2000×0.55=1100(次).
∴“兵”字面朝上的次数大约是1100次.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1） a=40×0.45=18，b=66÷120=0.55
【分析】（1）根据频率的定义进行计算即可求解.
（2）多次重复实验得到的频率即是概率.
（3）直接用2000乘以0.55即可求解.
16．【答案】（1）0.295；0.30
（2）解：设盒子里有“国学常识”卡x张，
根据题意得：，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的根，
∴估计盒子中有3张“国学常识”卡片．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）59÷200=0.265；
∵随着实验次数的增加，摸到“国学常识”的频率在0.30左右波动，
∴估计摸到“国学常识”的概率为0.30.
故答案为：0.295，0.30.
【分析】（1）利用表中数据，用摸到“国学常识”的次数÷模卡的次数，列式计算求出a的值；同时可得到随着实验次数的增加，摸到“国学常识”的频率在0.30左右波动，即可求解.
（2）设盒子里有“国学常识”卡x张，根据摸到“国学常识”的概率为0.30，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
17．【答案】（1）0.6
（2）24
（3）解：=0.5，解得x=10.
经检验，x=10是原方程的根.
∴可以推测出x最有可能是10.
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由表格知：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
∴ 估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6；
故答案为：0.6；
（2）估算盒子里有白球40×0.6=24个；
故答案为：24.
【分析】（1）根据频率估计概率即可求解；
（2）用总球数乘以摸到白球的概率即得结论；
（3）根据概率公式及利用频率估计概率，可得 =0.5， 解之即可.
18．【答案】3π
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格可知，当掷石子的次数为300次时，石子落在圆内的次数为93，石子落在圆内的频率=，所以石子落在圆内的概率约为；
圆的面积=，此封闭图形ABC的面积约为=3.
故答案为：3.
【分析】根据用频率估计概率，得到石子落在圆内的概率；根据圆的面积公式，得到圆的面积；根据用样本估计总体，总体=，可估计封闭图形ABC的面积.
19．【答案】（1）解：∵20×400=8000，
∴摸到红球的概率为：=0.75，因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是；
（2）解：设袋中红球为x，根据题意得, 解得x=15,
经检验x=15是原方程的解 .
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）先求出总次数，根据红球出现的次数，利用频率公式红球出现的频率，利用频率去估计概率即可；
（2）设袋中红球为x，利用概率计算公式列式即可求出x的值.
20．【答案】（1）120；
（2）解：每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有：
8000×（0.05+0.3）=2800（名）；
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽到1名男生和1名女生的可能性有6种．
∴P= ．
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：∵被调查的学生总人数为20÷0.05=400，
∴a=400×0.3=120，
补全图形如下：
【分析】（1）根据A段频数对应的频率求出总体人数，再用总人数乘以B频率，求出该B时段频数。
（2）根据频率估算概率，总体人数×概率，即可求解。
（3）简单事件求概率问题，将所有情况列出，列出概率公式，求解即可。
1 / 1【提升版】北师大版数学九年级上册3.2用频率估计概率 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·盘州期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是
试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上
B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5
C．在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”
D．将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】根据表格中的数据可得概率最接近0.333约等于，
A、∵掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率是≠，∴A不符合题意；
B、∵掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5的概率是≠，∴B不符合题意；
C、∵在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”的概率是，∴C符合题意；
D、∵将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率是≠，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先根据表格中的数据可得概率最接近0.333约等于，再分别求出各项中的概率并比较即可.
2．（2023九上·南岸月考）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】设白球的个数为x，
根据题意可得：，
解得：x=10，
故答案为：B.
【分析】设白球的个数为x，根据“ 摸到白球的频率稳定在0.4左右 ”列出方程，再求解即可.
3．（2024九上·自贡期末）种子被称作农业的“芯片”，关系到国家粮食安全．某种业公司培育成功了两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培有环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量 200 500 800 1500 3000
A 出芽率 0.98 0.94 0.96 0.98 0.97
B 出芽率 0.98 0.95 0.94 0.97 0.96
下面在三个推断：
①当实验种子数员为200时，两种种子的出芽率均为0.98，所以两种新五米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.96附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子出芽的概率是0.96：
③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会离于种子．
其中合理的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①在大量重复实验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为200，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．
②随着实验种子数量的增加，B种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计B种子发芽的概率是0.97．故②推断合理．
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率约为0.97、B种子的出芽率约为0.96，可能会高于B种子，故③合理；
故答案为：C．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摇摆，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解。
4．（2024九上·于都期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．通过少量重复试验，可以用频率估计概率
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．概率很小的事件不可能发生
【答案】B
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：
A：通过少量重复试验，可以用频率估计概率，说法错误，需要通过大量重复试验，故不符合题意
B：事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，说法正确，符合题意
C：某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖，说法错误，根据生活常识可知，故不符合题意
D：概率很小的事件不可能发生，说法错误，概率很小的事件也可能发生只是发生的可能性小而已，故不符合题意
故答案为：B
【分析】了解概率的定义，了解事件的可能性，会用频率估算概率的大小。
5．（2021九上·凤翔期末）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是( )
A．6 B．10 C．18 D．20
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】由题意可得，×100%=30%，
解得，n=20（个)．
故估计n大约有20个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
6．（2019九上·罗湖期中）为了估计湖里有多少条鱼，小刚先从湖里捞出了100条鱼做上标记，然后放回湖里去．经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，小刚又从湖里捞出200条鱼，如果其中15条有标记，那么估计湖里有鱼（ ）
A．1333条 B．3000条 C．300条 D．1500条
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】设湖中有x条鱼，则：
15：200=100：x
解得：x= ≈1333（条）．
故答案为：A．
【分析】在样本中“捕捞200条鱼，发现其中15条有标记”，即可求得有标记的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
7．（2023九上·锦江期中）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．40个 B．35个 C．20个 D．15个
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得摸到白球的频率为0.7，
∴白球的个数为0.7×50=35，
故答案为：B
【分析】根据用频率估计概率结合题意即可求解。
8．（2023九上·从江期中）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表所示：
每批 粒数n 100 300 400 600 1 000 2 000 3 000
发芽的 粒数m 96 282 382 570 948 1 904 2 850
发芽的 频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950
下面有三个推断：
①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率是0.955；
②根据上表，估计绿豆发芽的概率是0.95；
③若n为4 000，估计绿豆发芽的粒数为 3 800 粒.
其中推断合理的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率大约是0.955，∴①错误；
②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计绿豆发芽的概率是0.95，∴②正确；
③若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为4000x0.950=3800粒，∴③正确，
综上，正确的结论是②③，
故答案为：D.
【分析】利用表格中的数据及信息，再根据频率得到定义逐项分析判断即可.
二、填空题
9．（2024九上·祁东期末）一个袋子中只装有红、白两种颜色的球，这些球的形状、质地等完全相同，其中白色球有3个，红色球有n个．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在附近，则n的值约为 ．
【答案】12
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】根据题意可得：，
解得：n=12，
经检验，n是原分式方程的解，
故答案为：12.
【分析】根据“ 发现摸出白球的频率稳定在附近 ”列出方程，再求出n的值即可.
10．（2023九上·小店期中） 玉米是山西省主要农作物之一.某种业公司在选育玉米种子时，在同一条件下对某个品种的玉米种子进行了发芽试验，统计数据如下表：
试验种子粒数 100 200 500 1000 2000 5000
发芽种子粒数 92 188 476 951 1900 4752
据此估计该品种的玉米种子发芽的概率为 .（结果精确到0.01）
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由表格得出：
所以该品种的玉米种子发芽的频率接近于0.95，则该种子发芽的概率为0.95。
故答案为：0.95.
【分析】分别计算出发芽率，根据种子的粒数从100粒增加到5000粒时，种子发芽的频率接近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95。
11．（2023九上·武侯月考）如图，是一个面积为正方形微信二维码．小明利用所学概率知识估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为 ．
【答案】
【知识点】频数与频率；几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：落入黑色部分的频率稳定在左右，正方形面积为，
黑色部分的面积约为.
故答案为：.
【分析】根据频率稳定性定理、频率集中趋势估计概率的性质，所得的近似值即这个事件的概率，结合题意加以计算即可求解。
12．（2021九上·平定期末）一年之计在于春，为保障春播任务顺利完成，科研人员对某玉米种子在相同条件下发芽情况进行试验，结果如表：
每批粒数n 500 800 1000 2000 3000
发芽的频数m 463 768 948 1901 2851
发芽的频率 0.926 0.96 0.948 0.951 0.950
那么这种玉米发芽的概率是 ．（结果精确到0.01）
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察表格得到这种玉米发芽的频率稳定在0.95附近，
则这种玉米发芽的概率是0.95，
故答案为0.95．
【分析】先求出这种玉米发芽的频率稳定在0.95附近，再求概率即可。
13．（2023九上·义乌月考）如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为 .
【答案】36
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据小球落在不规则图案内的频率趋近于0.6，
故小球落在不规则图案内的概率为0.6，
估计此不规则图案的面积大约为10×6×0.6=36m2，
故答案为：36.
【分析】运用频率和概率之间的关系即可解答.
三、解答题
14．在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球共20个，每个球除颜色外完全相同．某学习兴趣小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的部分统计数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到红球的次数m 59 96 118 290 480 601
摸到红球的频率 0.59 0.58
0.60 0.601
（1）完成上表；
（2）“摸到红球”的概率的估计值 （精确到0.1）
（3）试估算袋子中红球的个数．
【答案】解：（1）填表如下：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到红球的次数m 59 96 118 290 480 601
摸到红球的频率 0.59 0.64 0.58 0.58 0.60 0.601
（2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数0.6附近，故）“摸到红球”的概率的估计值是0.6．答：概率为0.6；（3）20×0.6=12（只）．答：口袋中约有红球12只．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）用摸到红球的次数除以所有摸球次数即可求得摸到红球的概率；
（2）大量重复试验频率稳定到的常数即可得到概率的估计值；
（3）用求得的摸到红球的概率乘以球的总个数即可求得红球的个数．
15．（2023九上·花溪月考）一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的.将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子下掷试验，试验数据如下表：
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面 朝上频数 14 a 38 47 52 66 78 88
相应频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 b 0.56 0.55
（1）请直接写出a，b的值.
（2）如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少.
（3）如果做这种试验2000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少
【答案】（1）解：a=18，b=0.55.
（2）解：根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55，稳定在 0.55 左右，
故估计概率的大小为0.55.
（3）解：2000×0.55=1100(次).
∴“兵”字面朝上的次数大约是1100次.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1） a=40×0.45=18，b=66÷120=0.55
【分析】（1）根据频率的定义进行计算即可求解.
（2）多次重复实验得到的频率即是概率.
（3）直接用2000乘以0.55即可求解.
16．（2023九上·西安期中） 为弘扬中华传统文化，学校准备开展“国学知识挑战赛”．张老师将7张写有“成语故事”和若干张写有“国学常识”的卡片放入一个不透明的盒子中，这些卡片除上面的字外，其余完全相同．九年级学生想知道盒子中“国学常识”的张数，于是他们将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下卡片上面的字后放回，搅匀后再摸一张卡片，记下卡片上面的字后放回，不断重复上述过程，获得数据如表：
摸卡次数 50 100 150 200 250 300
摸到“国学常识”的次数 17 29 46 59 74 90
摸到“国学常识”的频率 0.340 0.290 0.307 a 0.296 0.300
（1）a＝ ，估计摸到“国学常识”的概率为 （保留两位小数）；
（2）根据表中数据，请你帮九年级学生估计盒子中有多少张“国学常识”卡片？
【答案】（1）0.295；0.30
（2）解：设盒子里有“国学常识”卡x张，
根据题意得：，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的根，
∴估计盒子中有3张“国学常识”卡片．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）59÷200=0.265；
∵随着实验次数的增加，摸到“国学常识”的频率在0.30左右波动，
∴估计摸到“国学常识”的概率为0.30.
故答案为：0.295，0.30.
【分析】（1）利用表中数据，用摸到“国学常识”的次数÷模卡的次数，列式计算求出a的值；同时可得到随着实验次数的增加，摸到“国学常识”的频率在0.30左右波动，即可求解.
（2）设盒子里有“国学常识”卡x张，根据摸到“国学常识”的概率为0.30，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
17．（2023九上·从江期中）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
摸球的 次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000
摸到白球 的次数m 70 128 171 302 481 599 1 806
摸到白球 的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602
（1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为 (精确到0.1).
（2）估算盒子里有白球 个.
（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在 0.5，那么可以推测出x最有可能是多少
【答案】（1）0.6
（2）24
（3）解：=0.5，解得x=10.
经检验，x=10是原方程的根.
∴可以推测出x最有可能是10.
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由表格知：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
∴ 估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6；
故答案为：0.6；
（2）估算盒子里有白球40×0.6=24个；
故答案为：24.
【分析】（1）根据频率估计概率即可求解；
（2）用总球数乘以摸到白球的概率即得结论；
（3）根据概率公式及利用频率估计概率，可得 =0.5， 解之即可.
18．小明在操场上玩游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC.为了知道它的面积，小明在封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
掷石子次数 50 150 300
石子落在内(含上)的次数m 14 43 93
石子落在阴影内的次数n 19 85 186
请你帮小明估计，此封闭图形ABC的面积是 .
【答案】3π
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格可知，当掷石子的次数为300次时，石子落在圆内的次数为93，石子落在圆内的频率=，所以石子落在圆内的概率约为；
圆的面积=，此封闭图形ABC的面积约为=3.
故答案为：3.
【分析】根据用频率估计概率，得到石子落在圆内的概率；根据圆的面积公式，得到圆的面积；根据用样本估计总体，总体=，可估计封闭图形ABC的面积.
19．（2019九上·秀洲月考）某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球约有多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球的次数为6000次。
（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是多少；
（2）请你估计袋中红球有多少个。
【答案】（1）解：∵20×400=8000，
∴摸到红球的概率为：=0.75，因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是；
（2）解：设袋中红球为x，根据题意得, 解得x=15,
经检验x=15是原方程的解 .
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）先求出总次数，根据红球出现的次数，利用频率公式红球出现的频率，利用频率去估计概率即可；
（2）设袋中红球为x，利用概率计算公式列式即可求出x的值.
20．（2018九上·东营期中）某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时．为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下的统计表（不完整）．
组别 时间（小时） 频数（人数） 频率
A 0≤t＜0.5 20 0.05
B 0.5≤t＜1 a 0.3
C 1≤t＜1.5 140 0.35
D 1.5≤t＜2 80 0.2
E 2≤t＜2.5 40 0.1
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）表中的a= ，将频数分布直方图补全 ；
（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？
（3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）120；
（2）解：每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有：
8000×（0.05+0.3）=2800（名）；
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽到1名男生和1名女生的可能性有6种．
∴P= ．
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：∵被调查的学生总人数为20÷0.05=400，
∴a=400×0.3=120，
补全图形如下：
【分析】（1）根据A段频数对应的频率求出总体人数，再用总人数乘以B频率，求出该B时段频数。
（2）根据频率估算概率，总体人数×概率，即可求解。
（3）简单事件求概率问题，将所有情况列出，列出概率公式，求解即可。
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