【基础版】北师大版数学九年级上册第三章 概率的进一步认识 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2018九上·海原期中）一个家庭有两个孩子，两个都是女孩的概率是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．（2022九上·衢江月考）有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车，则两人同坐1号车的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·苍溪期末）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．3 B．5 C．10 D．12
4．（2024九上·信宜期末）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ）
A．40个 B．35个 C．25个 D．15个
5．（2023九上·花溪月考）在一个不透明的口袋里，装了只有颜色不同的黄球、白球若干只.某小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复.下表是活动中的一组数据，则摸到黄球的概率约是（ ）
摸球的 次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到黄球 的次数m 52 69 96 266 393 507
摸到黄球 的频率 0.52 0.46 0.48 0.532 0.491 0.507
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
6．（2023九上·砀山月考）二维码越来越普及到人们生活的方方面面，成为了广大民众生活中不可或缺的一部分.如图是小刚在面积为16的正方形纸片上打印的二维码，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．9.6 B．0.6 C．6.4 D．0.4
7．（2023九上·禅城月考）将分别标有“大”、“美”、“明”、“德”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“明德”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·龙岗期末）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2022九上·新会期中）不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随机摸出一个，一个红球、一个黄球的概率为
10．（2023九上·慈溪期末）某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：
每次试验粒数 50 100 300 400 600 1000
发芽频数 47 96 284 380 571 948
估计这批青稞发芽的概率是 .（结果保留到0.01）
11．（2024九上·邻水期末）某试验小组做了可转动转盘（如图），想求当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率，试验数据如下表：
试验次数n 20 40 60 80 100 1000
“指针落在灰色区域内”的次数m 6 11 15 21 25 251
“指针落在灰色区域内”的频率 0.3 0.275 0.25 0.2625 0.25 0.251
根据表格，可以估计出转动转盘一次，当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率约是 ．（结果精确到0.01）
12．（2024九上·永吉期末）小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是 .
13．（2024九上·靖宇期末）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和6个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有 个；
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023九上·瓯海期中）临近毕业，甲、乙、丙三人相约去餐馆聚餐，丙先到达餐馆，选了一张方桌坐在如图所示的座位上，甲到达餐馆后，从座位①、②、③中随机选择一个坐下，乙到达餐馆后，从剩下的座位中再随机选择一个坐下．
（1）甲坐在①号座位上的概率是 ；
（2）用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两人恰好相邻而坐的概率．
15．（2022九上·杭州月考）一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球（只有颜色不同），从中随机摸出1个球后放回搅匀，再次随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法求先后摸出的两球颜色不同的概率.
16．（2023九上·永修月考）将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字小于3的概率是 ；
（2）先从中随机抽出一张牌不放回，将牌面数字作为十位上的数字，然后再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍数的概率．
17．在一个箱子里放着分别标有数字1，2，3的三个球，它们除了号码外其他都相同．
（1）从箱子里摸出一个球，有几种不同的可能？
（2）从箱子里随机摸出两个球(先摸出一个，不放回，再摸出一个)，这样按顺序先后摸得的两个球有几种不同的可能？
（3）从箱子里随机摸出一个球，放回，摇匀后再摸出一个球，这样按顺序先后摸得的两球有几种不同的可能？(画树状图或列表分析问题)
18．（2021九上·舟山期末）现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料.
（1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率.
19．（2019九上·贵阳期末）如图，3×3的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格A、B、C中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．
（1）若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是多少；
（2）若甲、乙均可在本层移动，用画树状图法或列表法求出黑色方块所构成拼图是轴对称图形的概率．
20．（新人教版数学九年级上册第25章 25.3用频率估计概率 同步训练）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子．
（1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率；
（2）在吃粽子之前，小明准备用一个均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数1向上代表肉馅，点数2向上代表香肠馅，点数3，4向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两个都是女孩的有1种情况，
∴两个都是女孩的概率是： .
故答案为：C.
【分析】利用树状图列举出共有4种等可能的结果，两个都是女孩的有1种情况，利用概率公式计算即可.
2．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意可得树状图：
∴两人同坐1号车的概率为：；
故答案为：C．
【分析】根据树状图列举出所有等可能结果，找出两人同坐1号车的情况数，然后利用概率公式计算即可.
3．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意知，m的值约为3÷0.3＝10，
故答案为：C.
【分析】用红球的个数除以摸到红球频率的稳定值即可.
4．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：
，
解得：，
即布袋中黄球可能有15个，
故答案为：D．
【分析】设袋子中黄球有x个，利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，得，计算求解即可．
5．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格中数据得：通过多次反复摸球试验后发现其中摸到黄球的频率稳定在0.5左右，
所以摸到黄球的概率约是0.5.
故答案为：B.
【分析】根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.5左右，即为摸出黄球的概率.
6．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】
解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，
∴点落在黑色阴影的概率是0.6
∴ S黑色阴影=16×0.6=9.6
故答案为A
【分析】本题考查利用频率估计概率，理解并能熟练了运用概率公式是解题的关键。在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率，这个固定的近似值就是这个时间的概率。用正方形的面积乘以阴影部分的概率，可得其面积。
7．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：两次摸出的汉字的所有可能如树状图，
如上图可知，共有12种可能得结果；
其中两次摸出的球上的汉字可以组成“明德”的可能为，共两种；
∴两次摸出的球上的汉字可以组成“明德”的概率是；
故答案为：.
【分析】根据题意，画出树状图，共有12种可能，共有两种可能满足题意，可知概率为.
8．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
B、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用频率估计概率可得实验的概率稳定在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，再判断即可.
9．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】画树状图：
共有4个等可能的结果，两次摸到的球中， 一个红球、一个黄球的有2种结果，
∴两次摸到的球中， 一个红球、一个黄球的概率为：.
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式计算即可求解.
10．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察表格得到这批青稞发芽的频率稳定在 0.95附近，
则这批青稞发芽的概率的估计值是0.95.
故答案为：0.95.
【分析】观察表格得到这批青稞发芽的频率稳定在0.95附近，然后根据频率估计概率的知识进行解答.
11．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知，随着试验次数的增加，“指针落在灰色区域内”的频率逐渐趋于固定的数，因此可用此频率估计该事件的概率，
∴“指针落在灰色区域内”的概率约为
故答案为：
【分析】根据用频率估计概率结合题意即可求解。
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】
解：
小明和父母 共有6种坐法，从左至右依次为：
①小明，父亲，母亲；
②小明，母亲，父亲；
③父亲，小明，母亲；
④父亲，母亲，小明；
⑤母亲，父亲，小明；
⑥母亲，小明，父亲；
其中小明在父母中间的情形有2种，
所以概率是：。
故答案为：
【分析】从左至右小明和父母共有6种坐法，其中小明在父母中间的情形有2种，根据概率公式可以计算出概率。
13．【答案】2
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋子中有个白球，
由题意得
解得，
∴袋中白球有个，
故答案为：
【分析】根据频率与概率的关系求解。袋子中的黄球数量÷袋子中球的数量=摸到白球的概率=频率0.75．
14．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由图可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，
所以甲、乙两人恰好相邻而坐的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：因为甲座在①、②、③ 的概率相同，故甲坐在①号座位上的概率是：
故答案为：
【分析】（1）根据等可能事件的概率公式即可得解；
（2）按照座位画出树状图，可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，即可求解．
15．【答案】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，先后摸出的两球颜色不同的情况有4种情况，
∴先后摸出的两球颜色不同的概率为：
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知： 共有9种等可能的结果，先后摸出的两球颜色不同的情况有4种情况， 进而根据概率公式计算即可.
16．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A 2 3 4
A A2 A3 A4
2 2A 23 24
3 3A 32 34
4 4A 42 43
由表知，所有可能的结果数有种，其中组成的两位数是3的位数的有5种，则组成的两位数恰好是3的倍数的概率是：三分之一
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌中牌面数字小于3的有2张，再利用概率公式可得到答案；
（2）首先列出表格，然后再确定组成的两位数，进一步分析组成的两位数恰好是3的倍数的数的个数，进而得出答案。
17．【答案】（1）解：从箱子里摸出一个球，有数字1、数字2、数字3共3种的可能.
（2）解：有6种，分别是1，2；1，3；2，1；2，3；3，1；3，2；
（3）解：共有9种可能，如下表：
1 2 3
1 (1，1) (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，2) (2，3)
3 (3，1) (3，2) (3，3)
【知识点】用列表法或树状图法求概率；事件发生的可能性
【解析】【分析】（1）根据题意可知，只有三个标有数字不同的球，随机摸出一个只有3种结果即摸出标有1的球、摸出标有2的球或摸出标有3的球三种情况；
（2）摸两次，无放回，第一次箱子中有三个球，有3种情况；摸出一球后，箱中只剩2个球，再次摸时只有两种情况，所以一共有3×2=6（种）情况，列表一 一列出即可；
（3）有放回的摸球，每次都有3种情况，一共有3×3=9（种）情况，列表即可.
18．【答案】（1）解： ∵共有三张卡片，分别是A、B、C三个标号，
∴班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率为 .
（2）解： 列表如下，
由表格得到，共有9种结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的有6种结果，
∴ 小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率为： .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意，直接利用概率公式列式计算即可；
（2）根据题意画出树状图或列表，列出所有等可能情况的结果数，再找出小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果数，然后运用概率公式求概率即可.
19．【答案】（1）解：若乙固定在 处，移动甲后黑色方块构成的拼图一共有 种可能，其中有 种情形是轴对称图形，所以若乙固定在 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率为 ．
（2）解：总共有 种等可能的结果，黑色方块所构成拼图是轴对称图形的结果有 种，所以，所求的概率为 ．
【知识点】轴对称图形；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）先分别找出共构成拼图3种等可能结果，其中
轴对称图形由2种，然后直接利用概率公式计算即可.
（2）先画出树状图列举出共有 种等可能的结果，其中黑色方块所构成拼图是轴对称图形的结果有 种，然后直接利用概率公式计算即可.
20．【答案】（1）
∴P（两只都为红枣馅）= = ；
（2）答：这样模拟不正确.理由如下：连续两次掷骰子点数朝上的情况有（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）共16种，而满足条件的情况有4种.∴P（点数3，4向上）= = ≠p(两只均为红枣馅)∴这样模拟不正确．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，（1）此题属于不放回实验；（2）此题模拟的为放回实验；所以模拟的不正确．
1 / 1【基础版】北师大版数学九年级上册第三章 概率的进一步认识 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2018九上·海原期中）一个家庭有两个孩子，两个都是女孩的概率是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两个都是女孩的有1种情况，
∴两个都是女孩的概率是： .
故答案为：C.
【分析】利用树状图列举出共有4种等可能的结果，两个都是女孩的有1种情况，利用概率公式计算即可.
2．（2022九上·衢江月考）有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车，则两人同坐1号车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意可得树状图：
∴两人同坐1号车的概率为：；
故答案为：C．
【分析】根据树状图列举出所有等可能结果，找出两人同坐1号车的情况数，然后利用概率公式计算即可.
3．（2023九上·苍溪期末）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．3 B．5 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意知，m的值约为3÷0.3＝10，
故答案为：C.
【分析】用红球的个数除以摸到红球频率的稳定值即可.
4．（2024九上·信宜期末）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ）
A．40个 B．35个 C．25个 D．15个
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：
，
解得：，
即布袋中黄球可能有15个，
故答案为：D．
【分析】设袋子中黄球有x个，利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，得，计算求解即可．
5．（2023九上·花溪月考）在一个不透明的口袋里，装了只有颜色不同的黄球、白球若干只.某小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复.下表是活动中的一组数据，则摸到黄球的概率约是（ ）
摸球的 次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到黄球 的次数m 52 69 96 266 393 507
摸到黄球 的频率 0.52 0.46 0.48 0.532 0.491 0.507
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格中数据得：通过多次反复摸球试验后发现其中摸到黄球的频率稳定在0.5左右，
所以摸到黄球的概率约是0.5.
故答案为：B.
【分析】根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.5左右，即为摸出黄球的概率.
6．（2023九上·砀山月考）二维码越来越普及到人们生活的方方面面，成为了广大民众生活中不可或缺的一部分.如图是小刚在面积为16的正方形纸片上打印的二维码，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．9.6 B．0.6 C．6.4 D．0.4
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】
解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，
∴点落在黑色阴影的概率是0.6
∴ S黑色阴影=16×0.6=9.6
故答案为A
【分析】本题考查利用频率估计概率，理解并能熟练了运用概率公式是解题的关键。在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率，这个固定的近似值就是这个时间的概率。用正方形的面积乘以阴影部分的概率，可得其面积。
7．（2023九上·禅城月考）将分别标有“大”、“美”、“明”、“德”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“明德”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：两次摸出的汉字的所有可能如树状图，
如上图可知，共有12种可能得结果；
其中两次摸出的球上的汉字可以组成“明德”的可能为，共两种；
∴两次摸出的球上的汉字可以组成“明德”的概率是；
故答案为：.
【分析】根据题意，画出树状图，共有12种可能，共有两种可能满足题意，可知概率为.
8．（2022九上·龙岗期末）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
B、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用频率估计概率可得实验的概率稳定在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，再判断即可.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2022九上·新会期中）不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随机摸出一个，一个红球、一个黄球的概率为
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】画树状图：
共有4个等可能的结果，两次摸到的球中， 一个红球、一个黄球的有2种结果，
∴两次摸到的球中， 一个红球、一个黄球的概率为：.
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式计算即可求解.
10．（2023九上·慈溪期末）某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：
每次试验粒数 50 100 300 400 600 1000
发芽频数 47 96 284 380 571 948
估计这批青稞发芽的概率是 .（结果保留到0.01）
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察表格得到这批青稞发芽的频率稳定在 0.95附近，
则这批青稞发芽的概率的估计值是0.95.
故答案为：0.95.
【分析】观察表格得到这批青稞发芽的频率稳定在0.95附近，然后根据频率估计概率的知识进行解答.
11．（2024九上·邻水期末）某试验小组做了可转动转盘（如图），想求当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率，试验数据如下表：
试验次数n 20 40 60 80 100 1000
“指针落在灰色区域内”的次数m 6 11 15 21 25 251
“指针落在灰色区域内”的频率 0.3 0.275 0.25 0.2625 0.25 0.251
根据表格，可以估计出转动转盘一次，当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率约是 ．（结果精确到0.01）
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知，随着试验次数的增加，“指针落在灰色区域内”的频率逐渐趋于固定的数，因此可用此频率估计该事件的概率，
∴“指针落在灰色区域内”的概率约为
故答案为：
【分析】根据用频率估计概率结合题意即可求解。
12．（2024九上·永吉期末）小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】
解：
小明和父母 共有6种坐法，从左至右依次为：
①小明，父亲，母亲；
②小明，母亲，父亲；
③父亲，小明，母亲；
④父亲，母亲，小明；
⑤母亲，父亲，小明；
⑥母亲，小明，父亲；
其中小明在父母中间的情形有2种，
所以概率是：。
故答案为：
【分析】从左至右小明和父母共有6种坐法，其中小明在父母中间的情形有2种，根据概率公式可以计算出概率。
13．（2024九上·靖宇期末）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和6个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有 个；
【答案】2
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋子中有个白球，
由题意得
解得，
∴袋中白球有个，
故答案为：
【分析】根据频率与概率的关系求解。袋子中的黄球数量÷袋子中球的数量=摸到白球的概率=频率0.75．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023九上·瓯海期中）临近毕业，甲、乙、丙三人相约去餐馆聚餐，丙先到达餐馆，选了一张方桌坐在如图所示的座位上，甲到达餐馆后，从座位①、②、③中随机选择一个坐下，乙到达餐馆后，从剩下的座位中再随机选择一个坐下．
（1）甲坐在①号座位上的概率是 ；
（2）用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两人恰好相邻而坐的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由图可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，
所以甲、乙两人恰好相邻而坐的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：因为甲座在①、②、③ 的概率相同，故甲坐在①号座位上的概率是：
故答案为：
【分析】（1）根据等可能事件的概率公式即可得解；
（2）按照座位画出树状图，可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，即可求解．
15．（2022九上·杭州月考）一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球（只有颜色不同），从中随机摸出1个球后放回搅匀，再次随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法求先后摸出的两球颜色不同的概率.
【答案】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，先后摸出的两球颜色不同的情况有4种情况，
∴先后摸出的两球颜色不同的概率为：
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知： 共有9种等可能的结果，先后摸出的两球颜色不同的情况有4种情况， 进而根据概率公式计算即可.
16．（2023九上·永修月考）将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字小于3的概率是 ；
（2）先从中随机抽出一张牌不放回，将牌面数字作为十位上的数字，然后再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍数的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A 2 3 4
A A2 A3 A4
2 2A 23 24
3 3A 32 34
4 4A 42 43
由表知，所有可能的结果数有种，其中组成的两位数是3的位数的有5种，则组成的两位数恰好是3的倍数的概率是：三分之一
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌中牌面数字小于3的有2张，再利用概率公式可得到答案；
（2）首先列出表格，然后再确定组成的两位数，进一步分析组成的两位数恰好是3的倍数的数的个数，进而得出答案。
17．在一个箱子里放着分别标有数字1，2，3的三个球，它们除了号码外其他都相同．
（1）从箱子里摸出一个球，有几种不同的可能？
（2）从箱子里随机摸出两个球(先摸出一个，不放回，再摸出一个)，这样按顺序先后摸得的两个球有几种不同的可能？
（3）从箱子里随机摸出一个球，放回，摇匀后再摸出一个球，这样按顺序先后摸得的两球有几种不同的可能？(画树状图或列表分析问题)
【答案】（1）解：从箱子里摸出一个球，有数字1、数字2、数字3共3种的可能.
（2）解：有6种，分别是1，2；1，3；2，1；2，3；3，1；3，2；
（3）解：共有9种可能，如下表：
1 2 3
1 (1，1) (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，2) (2，3)
3 (3，1) (3，2) (3，3)
【知识点】用列表法或树状图法求概率；事件发生的可能性
【解析】【分析】（1）根据题意可知，只有三个标有数字不同的球，随机摸出一个只有3种结果即摸出标有1的球、摸出标有2的球或摸出标有3的球三种情况；
（2）摸两次，无放回，第一次箱子中有三个球，有3种情况；摸出一球后，箱中只剩2个球，再次摸时只有两种情况，所以一共有3×2=6（种）情况，列表一 一列出即可；
（3）有放回的摸球，每次都有3种情况，一共有3×3=9（种）情况，列表即可.
18．（2021九上·舟山期末）现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料.
（1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率.
【答案】（1）解： ∵共有三张卡片，分别是A、B、C三个标号，
∴班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率为 .
（2）解： 列表如下，
由表格得到，共有9种结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的有6种结果，
∴ 小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率为： .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意，直接利用概率公式列式计算即可；
（2）根据题意画出树状图或列表，列出所有等可能情况的结果数，再找出小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果数，然后运用概率公式求概率即可.
19．（2019九上·贵阳期末）如图，3×3的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格A、B、C中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．
（1）若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是多少；
（2）若甲、乙均可在本层移动，用画树状图法或列表法求出黑色方块所构成拼图是轴对称图形的概率．
【答案】（1）解：若乙固定在 处，移动甲后黑色方块构成的拼图一共有 种可能，其中有 种情形是轴对称图形，所以若乙固定在 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率为 ．
（2）解：总共有 种等可能的结果，黑色方块所构成拼图是轴对称图形的结果有 种，所以，所求的概率为 ．
【知识点】轴对称图形；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）先分别找出共构成拼图3种等可能结果，其中
轴对称图形由2种，然后直接利用概率公式计算即可.
（2）先画出树状图列举出共有 种等可能的结果，其中黑色方块所构成拼图是轴对称图形的结果有 种，然后直接利用概率公式计算即可.
20．（新人教版数学九年级上册第25章 25.3用频率估计概率 同步训练）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子．
（1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率；
（2）在吃粽子之前，小明准备用一个均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数1向上代表肉馅，点数2向上代表香肠馅，点数3，4向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由．
【答案】（1）
∴P（两只都为红枣馅）= = ；
（2）答：这样模拟不正确.理由如下：连续两次掷骰子点数朝上的情况有（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）共16种，而满足条件的情况有4种.∴P（点数3，4向上）= = ≠p(两只均为红枣馅)∴这样模拟不正确．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，（1）此题属于不放回实验；（2）此题模拟的为放回实验；所以模拟的不正确．
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