【培优版】北师大版数学九年级上册第三章 概率的进一步认识 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2022九上·南海月考）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2022九上·无为月考）李阿姨有三件上衣，分别为蓝色、白色和红色，有两条裙子，分别为灰色和黑色，某天她准备出门时，随机拿出一件上衣和一条裙子穿上，则恰好为白色上衣和灰色裙子的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·高陵期中）某射击运动员在同一条件下射击，结果如下表所示：
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 8 17 40 79 158 390 780
击中靶心的频率 0.8 0.85 0.8 0.79 0.79 0.78 0.78
根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
A．0.78 B．0.79 C．0.8 D．0.85
4．（2022九上·义乌期中）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（ ）
A．当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的概率是0.443
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D．当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率一定是0.40.
5．（2022九上·衢江月考）已知是平面直角坐标系中的点， 其中是从1， 2，3三个数中任取的一个数， 是从1， 2 ， 3，4四个数中任取的一个数． 定义“点在直线上”为事件为整数）， 则当的概率最大时， 的所有可能的值为（ ）
A．5 B．4 或 5 C．5 或 6 D．4 或 6
6．（2022九上·慈溪月考）现有A，B两枚均匀的小立方体骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。如果由小李同学掷A骰子朝上面的数字x，小明同学掷B骰子朝上面的数字y来确定点P的坐标（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P落在已知直线y=-x+7的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·江油月考）为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出如图1所示的树状图.已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球，其中取出的球是一个红球和一个白球的结果共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
8．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2021九上·揭阳月考）在一个不透明的空袋子里，放入分别标有数字1，2，3，5的四个小球（除数字外其他完全相间），从中随机摸出2个小球，摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率是 ．
10．（2024九上·仁寿期末）如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．
11．（2024九上·揭阳期末）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则摸到红色幸运星颗数约为 颗.
12．（2024九上·双流期末）在一个不透明的袋子里装有6个白色乒乓球和若干个黄色的乒乓球，这些乒乓球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.625，则可估算袋中黄色的乒乓球约有 个．
13．（2024九上·朝阳期末）在一个不透明口袋中装有1个红球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在，则的值为 ．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023九上·滨江月考）四张卡片上分别标有1，2，3，4，它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀．
（1）任意从盒子里抽取一张卡片，将卡片上的数字记为x，不放回，再任意抽取第二张卡片，将卡片上的数字记为y，请你用画树状图或列表的方式表示所有可能的结果；
（2）求出第（1）问中的点（x，y）在函数y＝x+2图象上的概率．
15．模拟经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当同向行驶的三辆汽车经过这个十字路口时，
（1）求三辆车全部同向而行的概率．
（2）求至少有两辆车向左转的概率．
（3）这个路口汽车左转．右转、直行的指示绿灯交替亮起，亮的时间均为30秒．交管部门对这个十字路口交通高峰时段车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，在绿灯亮的总时间不变的条件下，为使交通更加通畅，请你用统计的知识对此十字路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
16．（2023九上·深圳月考）“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40－70分钟以内完成”，C表示“70－90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）这次调查的总人数是 人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 °；C类扇形所占的百分比是 ．
（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
17．（2023九上·宝安月考）某校举行全校“红色文化词歌朗诵”比赛，九（1）班先班级内初赛，现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校决赛，如果采取随机抽取的方式确定人选．
（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是 ；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
18．（2024九上·东莞期末）小明与小红在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．
（1）小明转动转盘B，转到的数字是偶数的概率为： ；
（2）现游戏规则为：转盘A转出的数字记为x，转盘B转出的数字记为y，若x，y满足xy＞6，则小明胜，若xy＜6，则小红胜，请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
19．（2024九上·阜平期末）现有四张不透明且质地相同的数字卡片，卡片正面分别写有数字1，1，3，4，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）随机抽取一张卡片，恰好得到数字1的概率为 ；
（2）班级图书角新加一本《西游记》，嘉嘉和淇淇都想看，张红用以上四张卡片设计了游戏：随机抽取一张卡片，记下数字后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张记下数字，将抽取的第一张、第二张卡片上的数字相加．若两数之和为奇数，则嘉嘉先看；若两数之和为偶数，则淇淇先看，但嘉嘉却认为这个游戏设计得不公平，请你画树状图求出嘉嘉先看《西游记》的概率，再判断嘉嘉的说法是否正确．
20．（2020九上·襄城月考）阅读材料，回答问题：
（1）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率
（2）有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
（3）我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题(1)：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球.
问题：
①事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？
②设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案
③请直接写出题2的结果.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：把开关，，分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
能让两个小灯泡同时发光的概率为．
故答案为：C．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
2．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，恰好是白色上衣和灰色裙子的有1种情况，
∴恰好是白色上衣和灰色裙子的概率是，
故答案为：A．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
3．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表中数据可知
频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率为0.78.
故答案为：A
【分析】由表中数据可知射击的总次数增加，击中靶心的频率趋于稳定，由此可得答案.
4．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的频率是0.443，概率不一定是0.443，故A选项不符合题意；
B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率不一定是0.443，故B选项不符合题意；
C、随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440，故C选项符合题意；
D、当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率不一定是0.40，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此一一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
由表中可以看出：事件为整数）的概率分别为：
；；；；
；；
∴最大时，或5.
故答案为：B.
【分析】列出表格，然后根据概率公式分别求出P(Q2)、P(Q3)、P(Q4 )、P(Q5 )、P(Q6 )、P(Q7 )，进而可得Qn 的概率最大时对应的n的值.
6．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
一共有36种情况，点P落在已知直线y=-x+7的有6种情况，
∴P（点P落在已知直线y=-x+7）=.
故答案为：B
【分析】利用列表法，可得到所有等可能的结果数即x+y=7的情况是，然后利用概率公式进行计算.
7．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由树状图得，从两个口袋中各随机取出一个球共有6种等可能结果，
其中恰好一个红球和一个白球有2种结果.
故答案为：B.
【分析】根据树状图可得：取出的球是一个红球和一个白球的结果数.
8．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： ∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
9．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】列表格如下：
1 2 3 5
1 1+2=3 1+3=4 1+5=6
2 2+1=3 2+3=5 2+5=7
3 3+1=4 3+2=5 3+5=8
5 5+1=6 5+2=7 5+3=8
由表可知共有12种情况，其中摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的有6种情况，
故摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率为 ．
【分析】利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
10．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合，
∴能够让灯泡发光的概率为，
故答案为：
【分析】先根据题意画出树状图，进而得到共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合，从而根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
11．【答案】35
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋子中红色幸运星有x颗，
根据题意得：=0.5，
解得：x=35，
经检验：x=35是原分式方程的解.
故答案为：35.
【分析】设袋子中红色幸运星有x颗，根据“ 摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右 ”，利用概率公式列出方程并解之即可.
12．【答案】10
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】设袋中黄色的乒乓球约有n个，
∵摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.625，
∴，
解得：n=10，
∴袋中黄色的乒乓球约有10个，
故答案为：10.
【分析】设袋中黄色的乒乓球约有n个，根据“摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.625”列出方程，再求解即可.
13．【答案】4
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】∵摸到白球的频率逐渐稳定在，
∴，
解得：n=4，
故答案为：4.
【分析】利用频率与概率的关系及摸到白球的频率逐渐稳定在，可得，再求出n的值即可.
14．【答案】（1）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果；
（2）解：由（1）可知，共有12种等可能的结果，点（x，y）在函数y＝x+2图象上的结果有2种，即（1，3）、（2，4），
∴点（x，y）在函数y＝x+2图象上的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图即可；
（2）共有12种等可能的结果，点（x，y）在函数y=x+2图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可.
15．【答案】（1）解：分别用A、B、C表示向左转，直行，向右转，根据题意画出树状图如下：
由图可知：共有27种等可能的结果数，三辆车全部同向而行的有3种情况，
∴P（ 三辆车全部同向而行的概率）= ；
（2）解：∵至少有两辆车向左转的情况数有7种，
∴P（ 至少有两辆车向左转 ）=；
（3）解：∵汽车向右转、向左转，直行的概率分别为，
∴ 在绿灯亮的总时间不变的条件下可以调整绿灯亮的时间如下：
向左转及直行的绿灯亮的时间都为：（秒），
向右转绿灯亮的时间为：（秒）.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而行的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）由（1）中的树状图即可求得至少有两辆车向左转的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（3）由汽车向右转、向左转、直行的概率分别，进而用绿灯亮的总时间乘以各自的概率即可求得答案.
16．【答案】（1）40；108；45%
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1） 根据统计图可知，A类的人数为12人，A类扇形所占的百分比是15％，
∴这次调查的总人数是 6÷15％=40（人）.
根据条形统计图可知，B类的人数为12人，
∴扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 360°×108°.
根据条形统计图可知，C类的人数为 40 -6-12-4=18（人），
∴C类扇形所占的百分比是100％=45％.
【分析】（1）首先根据统计图中A类的人数和A类扇形所占的百分比，求出调查的总人数；然后用360°乘以B类的人数所占百分比，得到B类扇形的圆心角；先求出C类的人数，最后再求出C类扇形所占的百分比.
（2）根据题意，画出树状图，判断有12种等可能结果，再由概率公式求解即可.
17．【答案】（1）
（2）解：由题意得：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
∵总共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的结果有8种，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率＝．
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1） 根据题意，共有4位学生，如果选派一位学生代表参赛，根据概率公式可知，选派到的代表是A的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）找到总数和符合情况数，根据概率公式进行计算即可；
（2）通过列表法或树状图法列举情况，然后根据概率公式进行计算即可
18．【答案】（1）
（2）解：这个游戏规则对双方不公平．理由如下：
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中xy＞6的结果有6种，xy＜6的结果有4种，
∴小明胜的概率＝，小红胜的概率＝，
∵，
∴这个游戏规则对双方不公平．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）转盘B一共有3等份，
小明转动转盘B，转到的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题干信息用概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中xy＞6的结果有46，xy＜6的结果有4种，再由概率公式求出小明胜的概率和小红胜的概率，然后比较即可．
19．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下，
可知，总共有12种等可能的情况，其中和为奇数的有6种，和为偶数的情况有6种，则嘉嘉先看的概率，淇淇先看的概率，
∴这个游戏设计是公平的，
即嘉嘉先看《西游记》的概率为，嘉嘉的说法不正确．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵有四张不透明且质地相同的数字卡片，卡片正面分别写有数字1，1，3，4，写有数字1的有两张，
∴随机抽取一张卡片，恰好得到数字1的概率为，
故答案为：
【分析】（1）直接利用概率公式进行求解即可；
（2）先画出树状图，确定所有等可能的结果和满足条件的情况数，再用概率的公式计算即可。
20．【答案】（1）解：画树状图得：
∴一共有27种等可能的情况；
至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，
则至少有两辆车向左转的概率为：
（2）解：列表得：
锁1 锁2
钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1）
钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2）
钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3）
所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，
则P= =
（3）解：①至少摸出两个绿球；
②一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙.“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于，“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”；
③ .
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知 一共有27种等可能的情况；至少有两辆车向左转的有7种，然后根据概率公式可求解；
（2）由题意列出表格，根据表格的信息可知 所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，然后根据概率公式可求解；
（3）根据（1）和（2）中的计算可求解.
1 / 1【培优版】北师大版数学九年级上册第三章 概率的进一步认识 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2022九上·南海月考）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：把开关，，分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
能让两个小灯泡同时发光的概率为．
故答案为：C．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
2．（2022九上·无为月考）李阿姨有三件上衣，分别为蓝色、白色和红色，有两条裙子，分别为灰色和黑色，某天她准备出门时，随机拿出一件上衣和一条裙子穿上，则恰好为白色上衣和灰色裙子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，恰好是白色上衣和灰色裙子的有1种情况，
∴恰好是白色上衣和灰色裙子的概率是，
故答案为：A．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
3．（2022九上·高陵期中）某射击运动员在同一条件下射击，结果如下表所示：
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 8 17 40 79 158 390 780
击中靶心的频率 0.8 0.85 0.8 0.79 0.79 0.78 0.78
根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
A．0.78 B．0.79 C．0.8 D．0.85
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表中数据可知
频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率为0.78.
故答案为：A
【分析】由表中数据可知射击的总次数增加，击中靶心的频率趋于稳定，由此可得答案.
4．（2022九上·义乌期中）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（ ）
A．当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的概率是0.443
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D．当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率一定是0.40.
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的频率是0.443，概率不一定是0.443，故A选项不符合题意；
B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率不一定是0.443，故B选项不符合题意；
C、随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440，故C选项符合题意；
D、当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率不一定是0.40，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此一一判断得出答案.
5．（2022九上·衢江月考）已知是平面直角坐标系中的点， 其中是从1， 2，3三个数中任取的一个数， 是从1， 2 ， 3，4四个数中任取的一个数． 定义“点在直线上”为事件为整数）， 则当的概率最大时， 的所有可能的值为（ ）
A．5 B．4 或 5 C．5 或 6 D．4 或 6
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
由表中可以看出：事件为整数）的概率分别为：
；；；；
；；
∴最大时，或5.
故答案为：B.
【分析】列出表格，然后根据概率公式分别求出P(Q2)、P(Q3)、P(Q4 )、P(Q5 )、P(Q6 )、P(Q7 )，进而可得Qn 的概率最大时对应的n的值.
6．（2022九上·慈溪月考）现有A，B两枚均匀的小立方体骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。如果由小李同学掷A骰子朝上面的数字x，小明同学掷B骰子朝上面的数字y来确定点P的坐标（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P落在已知直线y=-x+7的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
一共有36种情况，点P落在已知直线y=-x+7的有6种情况，
∴P（点P落在已知直线y=-x+7）=.
故答案为：B
【分析】利用列表法，可得到所有等可能的结果数即x+y=7的情况是，然后利用概率公式进行计算.
7．（2022九上·江油月考）为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出如图1所示的树状图.已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球，其中取出的球是一个红球和一个白球的结果共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由树状图得，从两个口袋中各随机取出一个球共有6种等可能结果，
其中恰好一个红球和一个白球有2种结果.
故答案为：B.
【分析】根据树状图可得：取出的球是一个红球和一个白球的结果数.
8．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解： ∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2021九上·揭阳月考）在一个不透明的空袋子里，放入分别标有数字1，2，3，5的四个小球（除数字外其他完全相间），从中随机摸出2个小球，摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】列表格如下：
1 2 3 5
1 1+2=3 1+3=4 1+5=6
2 2+1=3 2+3=5 2+5=7
3 3+1=4 3+2=5 3+5=8
5 5+1=6 5+2=7 5+3=8
由表可知共有12种情况，其中摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的有6种情况，
故摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率为 ．
【分析】利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
10．（2024九上·仁寿期末）如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合，
∴能够让灯泡发光的概率为，
故答案为：
【分析】先根据题意画出树状图，进而得到共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合，从而根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
11．（2024九上·揭阳期末）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则摸到红色幸运星颗数约为 颗.
【答案】35
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋子中红色幸运星有x颗，
根据题意得：=0.5，
解得：x=35，
经检验：x=35是原分式方程的解.
故答案为：35.
【分析】设袋子中红色幸运星有x颗，根据“ 摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右 ”，利用概率公式列出方程并解之即可.
12．（2024九上·双流期末）在一个不透明的袋子里装有6个白色乒乓球和若干个黄色的乒乓球，这些乒乓球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.625，则可估算袋中黄色的乒乓球约有 个．
【答案】10
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】设袋中黄色的乒乓球约有n个，
∵摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.625，
∴，
解得：n=10，
∴袋中黄色的乒乓球约有10个，
故答案为：10.
【分析】设袋中黄色的乒乓球约有n个，根据“摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.625”列出方程，再求解即可.
13．（2024九上·朝阳期末）在一个不透明口袋中装有1个红球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】∵摸到白球的频率逐渐稳定在，
∴，
解得：n=4，
故答案为：4.
【分析】利用频率与概率的关系及摸到白球的频率逐渐稳定在，可得，再求出n的值即可.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023九上·滨江月考）四张卡片上分别标有1，2，3，4，它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀．
（1）任意从盒子里抽取一张卡片，将卡片上的数字记为x，不放回，再任意抽取第二张卡片，将卡片上的数字记为y，请你用画树状图或列表的方式表示所有可能的结果；
（2）求出第（1）问中的点（x，y）在函数y＝x+2图象上的概率．
【答案】（1）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果；
（2）解：由（1）可知，共有12种等可能的结果，点（x，y）在函数y＝x+2图象上的结果有2种，即（1，3）、（2，4），
∴点（x，y）在函数y＝x+2图象上的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图即可；
（2）共有12种等可能的结果，点（x，y）在函数y=x+2图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可.
15．模拟经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当同向行驶的三辆汽车经过这个十字路口时，
（1）求三辆车全部同向而行的概率．
（2）求至少有两辆车向左转的概率．
（3）这个路口汽车左转．右转、直行的指示绿灯交替亮起，亮的时间均为30秒．交管部门对这个十字路口交通高峰时段车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，在绿灯亮的总时间不变的条件下，为使交通更加通畅，请你用统计的知识对此十字路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
【答案】（1）解：分别用A、B、C表示向左转，直行，向右转，根据题意画出树状图如下：
由图可知：共有27种等可能的结果数，三辆车全部同向而行的有3种情况，
∴P（ 三辆车全部同向而行的概率）= ；
（2）解：∵至少有两辆车向左转的情况数有7种，
∴P（ 至少有两辆车向左转 ）=；
（3）解：∵汽车向右转、向左转，直行的概率分别为，
∴ 在绿灯亮的总时间不变的条件下可以调整绿灯亮的时间如下：
向左转及直行的绿灯亮的时间都为：（秒），
向右转绿灯亮的时间为：（秒）.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而行的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）由（1）中的树状图即可求得至少有两辆车向左转的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（3）由汽车向右转、向左转、直行的概率分别，进而用绿灯亮的总时间乘以各自的概率即可求得答案.
16．（2023九上·深圳月考）“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40－70分钟以内完成”，C表示“70－90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）这次调查的总人数是 人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 °；C类扇形所占的百分比是 ．
（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）40；108；45%
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1） 根据统计图可知，A类的人数为12人，A类扇形所占的百分比是15％，
∴这次调查的总人数是 6÷15％=40（人）.
根据条形统计图可知，B类的人数为12人，
∴扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 360°×108°.
根据条形统计图可知，C类的人数为 40 -6-12-4=18（人），
∴C类扇形所占的百分比是100％=45％.
【分析】（1）首先根据统计图中A类的人数和A类扇形所占的百分比，求出调查的总人数；然后用360°乘以B类的人数所占百分比，得到B类扇形的圆心角；先求出C类的人数，最后再求出C类扇形所占的百分比.
（2）根据题意，画出树状图，判断有12种等可能结果，再由概率公式求解即可.
17．（2023九上·宝安月考）某校举行全校“红色文化词歌朗诵”比赛，九（1）班先班级内初赛，现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校决赛，如果采取随机抽取的方式确定人选．
（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是 ；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
【答案】（1）
（2）解：由题意得：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
∵总共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的结果有8种，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率＝．
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1） 根据题意，共有4位学生，如果选派一位学生代表参赛，根据概率公式可知，选派到的代表是A的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）找到总数和符合情况数，根据概率公式进行计算即可；
（2）通过列表法或树状图法列举情况，然后根据概率公式进行计算即可
18．（2024九上·东莞期末）小明与小红在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．
（1）小明转动转盘B，转到的数字是偶数的概率为： ；
（2）现游戏规则为：转盘A转出的数字记为x，转盘B转出的数字记为y，若x，y满足xy＞6，则小明胜，若xy＜6，则小红胜，请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【答案】（1）
（2）解：这个游戏规则对双方不公平．理由如下：
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中xy＞6的结果有6种，xy＜6的结果有4种，
∴小明胜的概率＝，小红胜的概率＝，
∵，
∴这个游戏规则对双方不公平．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）转盘B一共有3等份，
小明转动转盘B，转到的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题干信息用概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中xy＞6的结果有46，xy＜6的结果有4种，再由概率公式求出小明胜的概率和小红胜的概率，然后比较即可．
19．（2024九上·阜平期末）现有四张不透明且质地相同的数字卡片，卡片正面分别写有数字1，1，3，4，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）随机抽取一张卡片，恰好得到数字1的概率为 ；
（2）班级图书角新加一本《西游记》，嘉嘉和淇淇都想看，张红用以上四张卡片设计了游戏：随机抽取一张卡片，记下数字后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张记下数字，将抽取的第一张、第二张卡片上的数字相加．若两数之和为奇数，则嘉嘉先看；若两数之和为偶数，则淇淇先看，但嘉嘉却认为这个游戏设计得不公平，请你画树状图求出嘉嘉先看《西游记》的概率，再判断嘉嘉的说法是否正确．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下，
可知，总共有12种等可能的情况，其中和为奇数的有6种，和为偶数的情况有6种，则嘉嘉先看的概率，淇淇先看的概率，
∴这个游戏设计是公平的，
即嘉嘉先看《西游记》的概率为，嘉嘉的说法不正确．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵有四张不透明且质地相同的数字卡片，卡片正面分别写有数字1，1，3，4，写有数字1的有两张，
∴随机抽取一张卡片，恰好得到数字1的概率为，
故答案为：
【分析】（1）直接利用概率公式进行求解即可；
（2）先画出树状图，确定所有等可能的结果和满足条件的情况数，再用概率的公式计算即可。
20．（2020九上·襄城月考）阅读材料，回答问题：
（1）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率
（2）有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
（3）我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题(1)：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球.
问题：
①事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？
②设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案
③请直接写出题2的结果.
【答案】（1）解：画树状图得：
∴一共有27种等可能的情况；
至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，
则至少有两辆车向左转的概率为：
（2）解：列表得：
锁1 锁2
钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1）
钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2）
钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3）
所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，
则P= =
（3）解：①至少摸出两个绿球；
②一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙.“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于，“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”；
③ .
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知 一共有27种等可能的情况；至少有两辆车向左转的有7种，然后根据概率公式可求解；
（2）由题意列出表格，根据表格的信息可知 所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，然后根据概率公式可求解；
（3）根据（1）和（2）中的计算可求解.
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