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人教版八年级上学期数学第十二章质量检测（进阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2024八上·北京市开学考）如图，在△ABC和△DCE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（ ）
A．AB＝CD B． C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE
2．（2024八上·重庆市开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024八上·攀枝花开学考）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024八上·江北期末）如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
5．（2021八上·江汉期中）如图，在 ABC和 BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C． ∠AFB D．2∠ABF
6．（2024八上·上城期末）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是
A． B． C． D．
7．（2015八上·中山期末）如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=8，DE=3，则△BCE的面积等于（ ）
A．11 B．8 C．12 D．3
8．（2024八上·惠州期末）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·宁波期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（ ）
A．2 B．3或1.5 C．2或1.5 D．2或3
10．（2024八上·随县期末）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．如图，，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点在AB上，，，则 .
12．（2024八上·双城开学考）已知四边形中，，于，于，平分，，，则的度数为 ．
13．（2024八上·北京市开学考）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ．
14．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为26和16，则的面积为 ．
15．（2024八上·重庆市开学考）如图，已知和交于点，若点、共线，时，则 ．
阅卷人 三、解答题（共7题，共62分）
得分
16．（2024八上·海曙开学考）
（1）模型的发现：
如图，在中，，，直线经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点、问：、和的数量关系．
（2）模型的迁移：位置的改变
如图，在的条件下，若、两点在直线的异侧，请说明、和的数量关系，并证明．
17．（2024八上·凤山期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的面积．
18．（2024八上·高邑期末）小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千如图，小明坐在秋千上的起始位置处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面米高的处接住他，然后用力一推，爸爸在处接住他若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离米，米，且，求爸爸接住小明的位置距地面的高度．
19．（2024八上·防城期末）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
20．（2024八上·临江期末）如图，中，，点分别在边上，，．
（1）求证：平分；
（2）写出与的数量关系，并说明理由．
21．（2023八上·朝阳月考）如图，已知，，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
22．（2024八上·城关期末）小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣．她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角．小红还了解到三角形的内角和，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？小红利用类比思想开始了探究．
尝试探究：
如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？
解：数量关系：．
理由：∵与分别为的两个外角，
∴．
∴．
∵三角形的内角和为，
∴．
∴．
小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题．
（1）初步应用：
如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则=______；
（2）拓展提升：
请聪明的你帮小红解决下列问题．
如图3，在中，分别平分外角，小红很容易推导出与的数量关系为．
如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．)
阅卷人 四、实践探究题（共13分）
得分
23．（2024八上·前郭尔罗斯期末）如图
（1）【探究与发现】如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形 ．
（2）【理解与应用】填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是 ．
（3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠ACB＝∠E，BC＝CE，AB＝CD，不能判断三角形全等，∴A符合题意；
B、∵，∴∠A=∠EDC，再结合已知条件，符合全等三角形判定定理AAS，∴B不符合题意；
C、∵∠ACB＝∠E，BC＝CE，AC＝DE，符合全等三角形判定定理SAS，∴C不符合题意；
D、∵∠ACB＝∠E，BC＝CE，∠B＝∠DCE，符合全等三角形判定定理ASA，∴D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项进行分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AC于点D，作OE⊥AB于点E，如图：
∵ ∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，
∴OD=OE=OM.
∴，
∴
∴，
解得：OM=2．
故选：B．
【分析】过点O作OD⊥AC于点D，作OE⊥AB于点E，用角平分线的性质定理可得OD=OE=OM，所以可运用，得到关于OM的方程，求解即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，共4个，
故选：D．
【分析】根据三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形，求出以BC为公共边的三角形，以AB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
5．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△ABC与△DEB中，
，
，
，
是 的外角，
，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】由SSS证△ABC≌△DEB，由全等三角形的性质得∠ACB=∠DBE，再利用三角形的外角的性质可证得∠AFB=2∠ACB，由此可得答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意得， ，
，
，
当，由SAS即可判定△ABD≌△ECB，故A不符合题意；
当，由SSA，不一定能说明△ABD≌△ECB，故B符合题意；
当，
，
，
又，
，由ASA即可判定△ABD≌△ECB，故C不符合题意；
当， ，由AAS即可判定△ABD≌△ECB，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 要判定△ABD△ECB，我们可以通过分析全等三角形的判定条件，如SSS、SAS、ASA、AAS和HL等，来判断给定的条件是否足以满足这些判定条件.
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，DE=3，
∴EF=DE=3，
∴△BCE的面积S=，
故选C．
【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF=DE=3，根据三角形的面积公式求出即可．
8．【答案】A
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，
∴DE=DC+CE=30（cm），
即两堵木墙之间的距离为30cm；
故答案为：A.
【分析】根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等即可求解.
9．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
10．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；多边形的面积
【解析】【解答】解：在中，，则，
、分别平分、，
，
，故①正确；
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，，，故②正确；
，
在和中，
，
，
，
又，
，故③正确；
连接，，如图所示：
，，
，，，
，
，
，
，
，故④正确，
综上正确的选项有4个，
故答案为：D．
【分析】在中，利用直角三角形性质得到，再、分别平分、，即可得到，从而，故①正确；又根据上述条件得到，结合，得到，从而根据三角形全等的判定定理得到，所以，，，故②正确；再根据上述条件及结论有，进而可以由图中线段关系确定，故③正确；连接，，结合前面，，得到，，，根据，确定，则由平行线的判定定理得到，从而有，根据，确定④正确，综上可知正确的结论有个．
11．【答案】7
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵MN//PQ，AB⊥PQ，
∴∠DAE＝∠EBC=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），
∴AE＝BC，
∵AD＋BC＝7，
∴AB＝AE＋BE＝BC＋AD＝7.
故答案为：7.
【分析】先利用HL证出Rt△ADE≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得AE＝BC，进而根据线段的和差及等量代换即可求出AB的值.
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
13．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵和的角平分线相交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得 ，再根据三角形外角性质可得 ，即可求出答案.
14．【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于H，
因为是的角平分线，，由角平分线的性质，可得，
在和中，，
所以，则，
在和中，，
所以，则，
因为和的面积分别为26和16，
所以，所以.
故答案为：5．
【分析】过点D作，利用角平分线的性质，得到，再利用“”证得和全等，然后根据全等三角形的面积相等，列出方程，即可求解.
15．【答案】5
【知识点】三角形的面积；全等三角形的应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴．
故答案为：5．
【分析】利用SAS证明，可得，根据 ， ，得到，即得△ADE的面积．
16．【答案】（1），
证明：理由如下：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
（2），
证明如下：，
，
直线，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用余角的性质可证得∠DAB=∠ECA，利用AAS证明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性质可推出AE=BD，AD=CE，然后根据DE=AD+AE，代入可证得结论.
（2）利用垂直的概念和余角的性质可证得∠DAB=∠ECA，利用AAS证明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性质可推出AE=BD，AD=CE，然后根据AE=AD+DE，代入可证得结论.
17．【答案】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点E作于G，于H，根据三角形内角和定理、余角的性质得出，根据角平分线的判定与性质得，则，即可证明平分；
（2）设，则，根据，列出关于x的方程，解得，然后根据，计算求解即可．
18．【答案】由题意可知，米，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
米，米，
米，
米，
答：爸爸接住小明的位置距地面的高度是米．
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据题意可得，再根据角与边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则米，米，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）解：证明：∵，
∴，
∵
∴.
∴
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，进而证明，再根据两边及其夹角对应相等的三角形全等证明即可.
（2）由（1）得，根据全等三角形的性质得到，进而求解即可．
20．【答案】（1）证明：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
平分；
（2）解：，
理由如下：
由（1）知，平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
由（1）知，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 如图，过点作于点， 根据AAS可证明 ≌，从而得出 ， 结合 ，， 即可得出 平分；
（2），首先根据AAS证明≌，可得AC=AF，由（1）知，≌，可得CE=BF，即可得出 ．
21．【答案】（1）证明：，，
．
，即．
在和中，
，
≌．
．
（2）证明：由知：≌，
．
，
．
．
，
．
在中，
．
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用“SAS”证出≌，再利用全等三角形的性质可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出，最后利用三角形的内角和求出，即可得到.
22．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
23．【答案】（1）
（2）
（3）解：证明：如图3，延长到M，使，连接，
∴，
∵是的中线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵是的中线，
∴，
∴；
（2）如图2，延长至点Q，使，连接，
∴，
∴，
在中，，
即，
∴x的取值范围是；
【分析】（1）先根据三角形中线的性质得到，进而运用三角形全等的判定即可求解；
（2）延长至点Q，使，连接，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据三角形的三边关系即可求解；
（3）延长到M，使，连接，进而得到，再根据三角形中线的性质得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再结合题意证明即可求解。
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姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2024八上·北京市开学考）如图，在△ABC和△DCE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（ ）
A．AB＝CD B． C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE
【答案】A
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠ACB＝∠E，BC＝CE，AB＝CD，不能判断三角形全等，∴A符合题意；
B、∵，∴∠A=∠EDC，再结合已知条件，符合全等三角形判定定理AAS，∴B不符合题意；
C、∵∠ACB＝∠E，BC＝CE，AC＝DE，符合全等三角形判定定理SAS，∴C不符合题意；
D、∵∠ACB＝∠E，BC＝CE，∠B＝∠DCE，符合全等三角形判定定理ASA，∴D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项进行分析判断即可.
2．（2024八上·重庆市开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AC于点D，作OE⊥AB于点E，如图：
∵ ∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，
∴OD=OE=OM.
∴，
∴
∴，
解得：OM=2．
故选：B．
【分析】过点O作OD⊥AC于点D，作OE⊥AB于点E，用角平分线的性质定理可得OD=OE=OM，所以可运用，得到关于OM的方程，求解即可.
3．（2024八上·攀枝花开学考）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，共4个，
故选：D．
【分析】根据三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形，求出以BC为公共边的三角形，以AB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可.
4．（2024八上·江北期末）如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
5．（2021八上·江汉期中）如图，在 ABC和 BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C． ∠AFB D．2∠ABF
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△ABC与△DEB中，
，
，
，
是 的外角，
，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】由SSS证△ABC≌△DEB，由全等三角形的性质得∠ACB=∠DBE，再利用三角形的外角的性质可证得∠AFB=2∠ACB，由此可得答案.
6．（2024八上·上城期末）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意得， ，
，
，
当，由SAS即可判定△ABD≌△ECB，故A不符合题意；
当，由SSA，不一定能说明△ABD≌△ECB，故B符合题意；
当，
，
，
又，
，由ASA即可判定△ABD≌△ECB，故C不符合题意；
当， ，由AAS即可判定△ABD≌△ECB，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 要判定△ABD△ECB，我们可以通过分析全等三角形的判定条件，如SSS、SAS、ASA、AAS和HL等，来判断给定的条件是否足以满足这些判定条件.
7．（2015八上·中山期末）如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=8，DE=3，则△BCE的面积等于（ ）
A．11 B．8 C．12 D．3
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，DE=3，
∴EF=DE=3，
∴△BCE的面积S=，
故选C．
【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF=DE=3，根据三角形的面积公式求出即可．
8．（2024八上·惠州期末）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，
∴DE=DC+CE=30（cm），
即两堵木墙之间的距离为30cm；
故答案为：A.
【分析】根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等即可求解.
9．（2024八上·宁波期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（ ）
A．2 B．3或1.5 C．2或1.5 D．2或3
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
10．（2024八上·随县期末）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；多边形的面积
【解析】【解答】解：在中，，则，
、分别平分、，
，
，故①正确；
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，，，故②正确；
，
在和中，
，
，
，
又，
，故③正确；
连接，，如图所示：
，，
，，，
，
，
，
，
，故④正确，
综上正确的选项有4个，
故答案为：D．
【分析】在中，利用直角三角形性质得到，再、分别平分、，即可得到，从而，故①正确；又根据上述条件得到，结合，得到，从而根据三角形全等的判定定理得到，所以，，，故②正确；再根据上述条件及结论有，进而可以由图中线段关系确定，故③正确；连接，，结合前面，，得到，，，根据，确定，则由平行线的判定定理得到，从而有，根据，确定④正确，综上可知正确的结论有个．
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．如图，，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点在AB上，，，则 .
【答案】7
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵MN//PQ，AB⊥PQ，
∴∠DAE＝∠EBC=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），
∴AE＝BC，
∵AD＋BC＝7，
∴AB＝AE＋BE＝BC＋AD＝7.
故答案为：7.
【分析】先利用HL证出Rt△ADE≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得AE＝BC，进而根据线段的和差及等量代换即可求出AB的值.
12．（2024八上·双城开学考）已知四边形中，，于，于，平分，，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
13．（2024八上·北京市开学考）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵和的角平分线相交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得 ，再根据三角形外角性质可得 ，即可求出答案.
14．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为26和16，则的面积为 ．
【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于H，
因为是的角平分线，，由角平分线的性质，可得，
在和中，，
所以，则，
在和中，，
所以，则，
因为和的面积分别为26和16，
所以，所以.
故答案为：5．
【分析】过点D作，利用角平分线的性质，得到，再利用“”证得和全等，然后根据全等三角形的面积相等，列出方程，即可求解.
15．（2024八上·重庆市开学考）如图，已知和交于点，若点、共线，时，则 ．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；全等三角形的应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴．
故答案为：5．
【分析】利用SAS证明，可得，根据 ， ，得到，即得△ADE的面积．
阅卷人 三、解答题（共7题，共62分）
得分
16．（2024八上·海曙开学考）
（1）模型的发现：
如图，在中，，，直线经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点、问：、和的数量关系．
（2）模型的迁移：位置的改变
如图，在的条件下，若、两点在直线的异侧，请说明、和的数量关系，并证明．
【答案】（1），
证明：理由如下：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
（2），
证明如下：，
，
直线，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用余角的性质可证得∠DAB=∠ECA，利用AAS证明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性质可推出AE=BD，AD=CE，然后根据DE=AD+AE，代入可证得结论.
（2）利用垂直的概念和余角的性质可证得∠DAB=∠ECA，利用AAS证明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性质可推出AE=BD，AD=CE，然后根据AE=AD+DE，代入可证得结论.
17．（2024八上·凤山期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点E作于G，于H，根据三角形内角和定理、余角的性质得出，根据角平分线的判定与性质得，则，即可证明平分；
（2）设，则，根据，列出关于x的方程，解得，然后根据，计算求解即可．
18．（2024八上·高邑期末）小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千如图，小明坐在秋千上的起始位置处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面米高的处接住他，然后用力一推，爸爸在处接住他若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离米，米，且，求爸爸接住小明的位置距地面的高度．
【答案】由题意可知，米，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
米，米，
米，
米，
答：爸爸接住小明的位置距地面的高度是米．
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据题意可得，再根据角与边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则米，米，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．（2024八上·防城期末）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）解：证明：∵，
∴，
∵
∴.
∴
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，进而证明，再根据两边及其夹角对应相等的三角形全等证明即可.
（2）由（1）得，根据全等三角形的性质得到，进而求解即可．
20．（2024八上·临江期末）如图，中，，点分别在边上，，．
（1）求证：平分；
（2）写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
平分；
（2）解：，
理由如下：
由（1）知，平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
由（1）知，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 如图，过点作于点， 根据AAS可证明 ≌，从而得出 ， 结合 ，， 即可得出 平分；
（2），首先根据AAS证明≌，可得AC=AF，由（1）知，≌，可得CE=BF，即可得出 ．
21．（2023八上·朝阳月考）如图，已知，，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：，，
．
，即．
在和中，
，
≌．
．
（2）证明：由知：≌，
．
，
．
．
，
．
在中，
．
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用“SAS”证出≌，再利用全等三角形的性质可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出，最后利用三角形的内角和求出，即可得到.
22．（2024八上·城关期末）小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣．她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角．小红还了解到三角形的内角和，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？小红利用类比思想开始了探究．
尝试探究：
如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？
解：数量关系：．
理由：∵与分别为的两个外角，
∴．
∴．
∵三角形的内角和为，
∴．
∴．
小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题．
（1）初步应用：
如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则=______；
（2）拓展提升：
请聪明的你帮小红解决下列问题．
如图3，在中，分别平分外角，小红很容易推导出与的数量关系为．
如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．)
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
阅卷人 四、实践探究题（共13分）
得分
23．（2024八上·前郭尔罗斯期末）如图
（1）【探究与发现】如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形 ．
（2）【理解与应用】填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是 ．
（3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：证明：如图3，延长到M，使，连接，
∴，
∵是的中线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵是的中线，
∴，
∴；
（2）如图2，延长至点Q，使，连接，
∴，
∴，
在中，，
即，
∴x的取值范围是；
【分析】（1）先根据三角形中线的性质得到，进而运用三角形全等的判定即可求解；
（2）延长至点Q，使，连接，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据三角形的三边关系即可求解；
（3）延长到M，使，连接，进而得到，再根据三角形中线的性质得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再结合题意证明即可求解。
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