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人教版八年级上学期数学第十二章质量检测（高阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2024八上·莎车期末）下列两个三角形中，一定全等的是( )
A．两个等边三角形
B．有一个角是，腰相等的两个等腰三角形
C．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
D．有一个角是，底相等的两个等腰三角形
2．（2023八上·凤凰月考）已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·张湾期中）如图所示，在△ABC中，AB＝8，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，作MF∥AD交AC于F，已知CF＝10，则AC的长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
4．（2023八上·鹤山月考）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．3
5．（2023八上·椒江月考）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
6．（2022八上·攸县期末）如图，在四边形中，对角线平分，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不确定
7．（2020八上·花都期末）如图，AD//BC，点E是线段AB的中点，DE平分 ， BC=AD+2，CD=7，则 的值等于（ ）
A．14 B．9 C．8 D．5
8．（2024八上·黄石港期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③
9．（2022八上·台州月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023八上·海曙期中）如图，中，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、．四块阴影部分的面积如图所示分别记为、、、若，则等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分））
得分
11．（2024八上·山阳期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ．
12．（2020八上·北京月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等．
13．（2019八上·沙河口期中）如图，在 中， 为 的中点， 平分 ， ， 与 相交于点 ，若 的面积比 的面积大 ，则 的面积是 .（用含 的式子表示）
14．（2023八上·荔湾期中）如图，在四边形中：，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是： （填写正确的序号）
15．（2023八上·洪山月考） 在中，交于点，平分交于，为延长线上一点，交延长线于，的延长线交于，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ．
阅卷人 三、解答题（共7题，共65分）
得分
16．（2024八上·长岭期末）如图，是的角平分线，点H，G分别在，上，且．
（1）求证：与互补；
（2）若，请探究线段与线段，之间满足的等量关系，并加以证明．
17．（2019八上·海淀期中）已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明
18．（2024八上·景县期末）如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点；
（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，求的值是 ．
19．（2024八上·蔡甸期末）如图，在等腰中，，，点为线段AB上一动点（不与点B重合），且．
（1）连接BF交AC于点，设．
①当时，如图1，则 ▲ ．
②当时，如图2，若，求MC的长．
（2）如图3，作交CA的延长线于点，交BC于点，连接PQ，求证：．
20．（2023八上·浦北期中）如图1，AD是△ABC的高，点F为BC延长线上一点，FE⊥AB于点E，交AD于点G．
（1）求证：∠F＝∠BAD；
（2）如图2，若BD＝DG，求证：AB＝GF；
（3）如图3，在（2）的条件下，DH是△ABD的角平分线，点M为HD的延长线一点，连接MC、MF，若∠MCF+∠ACD＝180°，MC＝4，MF＝6，求线段AC的长．
21．（2023八上·汉川期中）△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，记∠BAC＝x，∠BOC＝y．
（1）如图1．
①若x＝50°，则y＝ ▲ ；
②请你根据①中计算的心得猜想写出y与x的关系式，并证明你猜想的正确性；
（2）如图2，启智学校内有一个三角形的小花园，花园中有两条小路BD和CE为△ABC的角平分线，交点为点O，在O处建有一个自动浇水器，需要在BC边上取一处接水口F，经过测量得知∠BAC＝120°，OD OE＝12000m2，BC﹣BE﹣CD＝160m，请你求出水管OF至少要多长？
22．（2023八上·灞桥开学考）已知，在中，，，，三点都在直线上，．
（1）如图，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ．
（2）如图，当不垂直于时，中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图，若只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的与的值；若不存在，请说明理由．
阅卷人 四、实践探究题（共10分）
得分
23．（2023八上·渝北期中）（1）【初步探索】如图：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
（2）【灵活运用】如图，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
2．【答案】D
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高；角平分线的性质
3．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长FM到点N使MN=FM，连接BN，延长MF交BA的延长线于点E，如图，
∵ 点M是BC的中点，
∴ BM=CM，
∵ ∠BMN=∠CMF，MN=FM，
∴ △BMN≌△CMF（SAS），
∴ ∠MFC=∠N，BN=CF=10，
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD，
∵ MF∥AD，
∴ ∠BAD=∠E，∠CAD=∠AFE，
∴ ∠E=∠AFE，
∴ △AEF为等腰三角形，
∴ AE=AF，
∵ ∠MFC=∠AFE，
∴ ∠N=∠E，
∴ △BEN为等腰三角形，
∴ BN=BE，
∵ BN=10，BE=AB+AE=AB+AF，AB=8，
∴ AF=2，
∴ AC=AF+FC=12.
故答案为：A.
【分析】依据SAS判定△BMN≌△CMF推出∠MFC=∠N，BN=CF=10，根据角平分线的定义和平行线的性质得△AEF和△BEN为等腰三角形，从而得到AF=AE=CF-AB，即可求得.
4．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；三角形全等及其性质
【解析】【解答】 解：∵AB=20cm，AE=6cm，BC=16cm，
∴EB=14cm，BP=2tcm，PC=（16-2t）cm，
①当EB=PC，BP=QC时，△BPE≌△CQP，
由题意得：16-2t=14，
解得：t=1；
②当BP=CP，BE=QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t=16-2t，
解得：t=4.
故选：B.
【分析】用含t的代数式表示出线段BP和线段PC的长度，再分类讨论两个三角形全等的不同情况，△BPE≌△CQP或△BEP≌△CQP，列出方程，解方程求出t的值.
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，
∴∠GHA=90°，
∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，
∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，
在△BDG和△BDC中，
，
∴△BDG≌△BDC（ASA），
∴BC=BG，CD=DG，
∴，
又∵∠GHA=90°，AC=5，
∴，
∴，
∵BC-AB=2，
∴BG-AB=AG=2，
∵GH≤AG，即GH≤2，
∴当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大，
∴则GH的最大值为2，
∴△ADC的最大面积为：，
故答案为：B．
【分析】延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，得∠GHA=90°，接下来根据角平分线、垂直的定义得∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，从而利用全等三角形判定定理“ASA”证明△BDG≌△BDC，根据全等三角形对应边相等得BC=BG，CD=DG，接下来利用中线的性质得，从而利用三角形面积公式得，要求△ADC的最大面积，即求GH的最大值，在中，GH≤2，进而有当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大，最大值为GH=2，即可求出△ACD的最大面积．
6．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】延长DE，CB交于点F
∵点E是线段AB的中点，
在 和 中，
∵DE平分
解得
故答案为：A．
【分析】延长DE，CB交于点F，通过ASA证明 ，则有 ，然后利用角平分线的定义得出 ，从而有 ，则通过 和 解出BC，AD的值，从而答案可解．
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°，
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴，，
∴，
∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确；
∴∠BPD=180°-∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°，
∴∠APB=∠FPB，
∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确；
∵∠DAB=∠CAD，
∴∠PAH=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确；
连接HD，ED，如图：
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，PH=PD，
∴∠HDP=∠DHP=45°
∴∠HDP=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，④不正确；
故正确的有①②③；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC+∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线和三角形的内角和是180°可得∠BPD=45°，求得∠FPB=135°，判断①正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，判断②正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AH=FD，等量代换可判断③正确，连接HD，ED，根据全等三角形的面积相等，对应边相等可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，根据等边对等角和三角形的内角和是180°可推得∠HDP=∠BPD，根据内错角相等，两直线平行可得HD∥EP，根据平行线之间的距离处出相等可得S△EPH=S△EPD，等量代换可判断④不正确，即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，
∵2∠OBC+2∠OCB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A；
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，故①正确；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，
∵∠AEF=∠EOB+∠EBO=2∠EBO
∴∠EBO=∠AEF，故②正确；
∵OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DOC+∠OCB=90°，故③正确；
连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m
∴S，故④正确；
∴正确结论有4个.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，利用三角形的内角和定理可推出∠OBC+∠OCB=90°-∠A；再利用三角形的内角和定理可得到∠BOC和∠A的数量关系，可对①作出判断；利用平行线的性质去证明∠EOB=∠OBC=∠EBO，利用三角形的外角的性质可证得∠EBO和∠AEF的数量关系，可对②作出判断；利用垂直的定义可证得∠ODC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠DOC+∠OCB=90°，可对③作出判断；易证OA平分∠BAC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得OG=OD=m，然后三角形的面积公式表示出△AEF的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
10．【答案】C
【解析】【分析】如图所示，过点E作于K，连接，设交于T，交于L，先证明得到，再证明得到，，进一步证明，得到，，进而推出，证明，从而推出，则E、M、N三点共线，，证明，得到，同理可证明，得到，则．
【解答】
解：如图所示，过点E作于K，连接，设交于T，交于L，
由题意得，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴E、M、N三点共线，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可证明，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
12．【答案】4或6
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，
∵D为AB的中点，
∴BD＝ AB＝12cm，
∵BD＝CP，
∴BP＝BC－CP＝16－12＝4cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为1s，
∵△BPD≌△CQP，
∴BP＝CQ＝4cm，
∴点 的运动速度为x＝4÷1＝4（cm/s）；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝ AB＝12cm，PB＝PC，
∴CQ＝BD＝12cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝8cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为8÷4＝2（s），
∴点 的运动速度为x＝12÷2＝6（cm/s）．
故答案为：4或6．
【分析】由于∠B=∠C=60°，若△BPD与△CQP全等，分两种情况：①当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，据此分别求出BP的长，然后根据速度=路程÷时间解答即可.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作 于 ， 于
平分 ， 于 ， 于
，
，
设 的面积为 .则 ， ，
的面积比 的面积大 ，
的面积比 的面积大 ，
，
.
故答案为：10a.
【分析】作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根据角平分线的性质定义得出DM=DN，然后根据同高三角形的面积之比等于其底之比得出BD：DC=2：3，设△ABC的面积为S.则S△ADC= S，S△BEC= S，构建方程即可解决问题；
14．【答案】③⑤⑥
【知识点】三角形全等的判定-SAS
15．【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设AE交GH于点M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴ ∠AMG=∠ADE=90°，
∴ ∠DAE+∠AGF=90°，∠AGF+∠F=90°，
∴ ∠DAE=∠F，故①符合题意；
②∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE=∠EAH，
∴ ∠BAE+∠ACB=∠EAH+∠ACB=∠AEB，
∵ ∠AMG=∠ADE=90°，
∴ ∠AEB+∠DAE=∠DAE+∠AGH=90°，
∴ ∠AGH=∠AEB，
∴ ∠AGH=∠BAE+∠ACB，故②符合题意；
③ 过点E作EP⊥AB，EQ⊥AC，如图，
∵ AE平分∠BAC，EP⊥AB，EQ⊥AC，
∴ EP=EQ，
∴，故③符合题意；
④∵ AM⊥GH，
∴ ∠AMH=90°，
∴ ∠EAH+∠AHG=180°-∠AMH=90°，
∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∠BAC不一定为90°，
∴ ∠ABC+∠ACB不一定为90°，故④不符合题意.
故答案为：①②③.
【分析】①根据垂直的定义可得∠AMG=∠ADE=90°，根据同角的余角相等，即可判断；
②根据角平分线的定义和外角的性质，即可判断；
③根据角平分线的性质可得EP=EQ，即可判断；
④根据三角形的内角和定理可得∠EAH+∠AHG=90°，而∠ABC+∠ACB不一定为90°，即可判断.
16．【答案】（1）证明：如图，在上取一点M，使得，连接．
是的角平分线，．
又，，，．
，，．
．，即与互补．
（2）解：．证明如下：
由（1）知，，．
，．
又，，
，．
，．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在上取一点M，使得，连接，先证出，可得，，再利用等边对等角的性质可得，再结合可得，从而可证出与互补；
（2）利用（1）可得，，再结合，可得，再利用等角对等边及等量代换可得，再利用线段的和差及等量代换可得.
17．【答案】解：猜想：EF=2AD，EF⊥AD．
证明：如图，延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，
∴AD=DM，AM=2AD，
∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
在△ABD和△MCD中，
， ∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴AB=MC，∠BAD=∠M，
∵AB=AE，∴AE=MC，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠FAC=90°，
∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，∴∠BAC+∠EAF=180°，
∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，
即∠BAC+∠MCA=180°，∴∠EAF=∠MCA．
在△AEF和△CMA中，
，∴△AEF≌△CMA（SAS），
∴EF=AM，∠CAM=∠F，∴EF=2AD；
∵∠CAF=90°，∴∠CAM+∠FAN=90°，
∵∠CAM=∠F，∴∠F+∠FAN=90°，
∴∠ANF=90°，∴EF⊥AD．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】先猜想EF=2AD，EF⊥AD．延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，易证BD=CD，即可证明△ABD≌△MCD，可得AB=MC，∠BAD=∠M，即可求得∠EAF=∠MCA，即可证明△AEF≌△CMA，可得EF=AM，∠CAM=∠F，即可解题.
18．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠CAE+∠FAG＝90°
∴∠FAG＝∠AEC，
∵FG⊥AC，
∴∠FGA＝90°＝∠ACE，
在△AGF和△ECA中，
，
∴△AGF≌△ECA（AAS）；
∴AG＝EC；
（2）证明：如图2，过点F作FD⊥AC于D，
∵AC＝4，AG＝3，
∴CG＝4﹣3＝1，
由（1）可知，△FAD≌△AEC，
∴CE＝AD，FG＝AC＝BC，
在△FDG 和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG＝GC＝1，
∴CE＝AD＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝2，
∴CE＝EB，即E点为BC中点；
（3）
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）过F作FG⊥AD的延长线交于点G，如图3，
∵，BC＝AC，CE＝CB+BE，
∴
由（1）（2）知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，
∴CD＝DG，AG＝CE，
∴
∴
∴
∴＝．
故答案为：．
【分析】（1）利用余角的性质可得∠FAG=∠CEA，根据AAS证明；
（2）过点F作，根据AAS证明，得到DG=GC，进而求出CE=EB即可；
（3）作，交AC的延长线于一点H，由（1）（2）可知，，，利用全等三角形的性质计算即可．
19．【答案】（1）解：①△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CE⊥CF，CE=CF，
∴AB=AC=CE=CF，∠BAM=∠FCM=90°，
在△ABM与△CFM中，
，
∴△ABM≌△CFM（AAS），
∴BM=MF，
∴，
故答案为：1；
②过点F作FN⊥AC于N，如图：
设BE=4a，则AB=9a，AE=AB-BE=5a，
又∵∠A=90°，CE⊥CF，
∴∠FNC=∠CAE=90°，∠ACE+∠AEC=90°，∠ACE+∠ACF=90°，
∴∠AEC=∠NCF，
在△ACE和△NFC中，
，
∴△ACE≌△NFC（AAS），
∴CN=AE=5a，FN=AC=AB=9a，
∴AN=9a-5a=4a，
在△ABM和△FNM中，
，
∴△ABM≌△FNM（AAS），
∴AM=NM=2a，
∴MC=7a，
∵AB=9a=18，
∴a=2，
∴MC=7a=14.
（2）证明：在FP上截取FG=EQ，连接CG、PQ，如图：
在△CFG和△CEQ中，
，
∴△CFG≌△CEQ（SAS），
∴∠FCG=∠ECQ，CG=CQ，
∵∠FCG+∠GCE=90°，
∴∠ECQ+∠GCE=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠PCG=∠PCQ=45°，
在△PCG和△PCQ中，
，
∴△PCG≌△PCQ（SAS），
∴PQ=PG，
∵PG=PF-GF=PF-QE，
∴PQ=PF-QE.
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得BM=MF，即可求解；
②过点F作FN⊥AC于N，设BE=4a，则AB=9a，AE=5a，根据等角的余角相等可得∠AEC=∠NCF，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得CN=AE=5a，FN=AC=AB=9a，推得AN=4a，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AM=NM=2a，求得a的值，即可求解；
（2）在FP上截取FG=EQ，连接CG、PQ，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等可得∠FCG=∠ECQ，CG=CQ，推得∠PCG=∠PCQ=45°，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等可得PQ=PG，即可证明.
20．【答案】（1）证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵FE⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∴∠B+∠F＝90°，
∴∠F＝∠BAD；
（2）证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD和△FGD中，
，
∴△ABD≌△FGD（AAS），
∴AB＝GF；
（3）解：如图，在CA上截取CN＝CM，连接DN，
∵DH是△ABD的角平分线，AD⊥BC，
∴∠HDB＝×90°＝45°，
∴∠FDM＝∠HDB＝45°，
∵∠FCM+∠ACD＝180°，∠FCM+∠MCD＝180°，
∴∠ACD＝∠MCD，
在△DCN和△DCM中，
，
∴△DCN≌△DCM（SAS），
∴∠NDC＝∠MDC＝45°，DN＝DM，
∴∠ADN＝90°-45°＝45°＝∠FDM，
∵△ABD≌△FGD，
∴AD＝DF，
在△ADN和△FDM中，
，
∴△ADN≌△FDM（SAS），
∴AN＝FM，
∴AC＝AN+CN＝FM+CM，
∵CM＝4，MF＝6，
∴AC＝10．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质.
（1）已知AD是△ABC的高，根据高线的性质可得：∠ADB＝90°，根据三角形内角和定理可得：∠B+∠BAD＝90°，又因FE⊥AB，同理可得：∠B+∠F＝90°，结合∠B+∠BAD＝90°可证明结论.
（2）已知AD是△ABC的高，∠ADB＝∠ADC＝90°，再结合 利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论；
（3）在上截取，连接，已知DH是△ABD的角平分线，AD⊥BC，根据角平分线的定义可推出∠ACD＝∠MCD，再结合，可证明，进而推出∠ADN＝∠FDM，再结合，可证明和全等，根据全等三角形的性质可得：AN＝FM，由图可得：AC＝AN+CN，结合AN＝FM可得： AC＝FM+CM， 代入数据可求出答案.
21．【答案】（1）解：①115°；
②，
理由如下：∵∠BAC=x，
∴∠ABC+∠ACB=180°-x，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴，，
∴，
∴.
（2）解：如图2，在BC上分别取点G和H，使BG=BE，CH=CD，连接OG、OH，
∵BD和CE为△ABC的角平分线，
∴∠EBO=∠GBO，∠DCO=∠HCO，
在△EBO和△GBO中，
，
∴△EBO≌△GBO（SAS），
∴OE=OG，∠EOB=∠GOB，
同理可证：△DCO≌△HCO（SAS），
∴OD=OH，∠DOC=∠HOC，
∵∠BAC=120°，
∴，
则∠BOE=180°-∠BOC=180°-150°=30°，
∴∠DOC=∠BOE=30°，
∴∠BOE=∠BOG=∠DOC=∠HOC=30°，
∴∠GOH=∠BOC-∠BOG-∠HOC=150°-30°-30°=90°，
∵OD·OE=12000m2，
∴，
∵BC-BE-CD=160m，
即GH=BC-BG-CH=160m，
即GH=160m；
当OF⊥BC时，OF最小，
则，
∴OF=75，
故出水管OF至少要75m.
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=180°-50°=130°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴，，
∴，
∴∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-65°=115°，
∴y=115°，
故答案为：115°.
【分析】 （1）①根据三角形的内角和是180°可得∠ABC+∠ACB=130°，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠DBC+∠ECB=65°，结合三角形的内角和是180°，即可得到答案；
②根据三角形的内角和是180°可得∠ABC+∠ACB=180°-x，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得，结合三角形的内角和是180°，即可得到答案；
（2）在BC上分别取点G和H，使BG=BE，CH=CD，连接OG、OH，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠EBO=∠GBO，∠DCO=∠HCO，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形、全等三角形的对应边相等、对应角相等可得OE=OG，∠EOB=∠GOB，OD=OH，∠DOC=∠HOC，结合（1）中结论可得∠BOC=150°，推得∠BOE=∠BOG=∠DOC=∠HOC=30°，即可求得∠GOH=90°，结合题意和三角形的面积公式即可求解.
22．【答案】（1）；
（2）解：成立，BD=AE，，理由如下：
同（1）得：≌，
，，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
当≌时，，，
，
，
，
；
当≌时，
，，
，，
综上所述，存在，使得与全等，，或，．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵AB=AC，
∴（AAS），
∴BD=AE，AD=CE.
∵DA+AE=DE，
∴CE+BD=DE；
故答案为：BD=AE，BD+CE=DE；
【分析】（1）利用同角的余角相等求得，根据角角边求出全等，得BD=AE，AD=CE，通过等量代换求出CE+BD=DE；
（2）利用第（1）问的方法即可求出CE+BD=DE；
（3）利用≌，即可求出AD的长度，从而求出t的值，进而求出x的值；利用≌，即可求出AD的长度，从而求出t的值.
23．【答案】（1）
（2）解：仍成立，如图，延长到点，使，连接．
，，
．
又，
，．
，，
．
（3）证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
．
又，
，．
，，
．
．
，
．
，
即．
．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）结论：，
理由：如图1，延长到点G，使，连接，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
故答案为：
【分析】（1）延长到点G，使，连接，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再证明即可得到，从而结合题意即可求解；
（2）延长到点，使，连接，进而结合题意得到，再证明即可得到，，进而证明即可求解；
（3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据题意得到，进而证明即可得到，，从而证明得到，再结合题意进行角的运算即可求解。
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人教版八年级上学期数学第十二章质量检测（高阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2024八上·莎车期末）下列两个三角形中，一定全等的是( )
A．两个等边三角形
B．有一个角是，腰相等的两个等腰三角形
C．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
D．有一个角是，底相等的两个等腰三角形
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
2．（2023八上·凤凰月考）已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高；角平分线的性质
3．（2023八上·张湾期中）如图所示，在△ABC中，AB＝8，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，作MF∥AD交AC于F，已知CF＝10，则AC的长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长FM到点N使MN=FM，连接BN，延长MF交BA的延长线于点E，如图，
∵ 点M是BC的中点，
∴ BM=CM，
∵ ∠BMN=∠CMF，MN=FM，
∴ △BMN≌△CMF（SAS），
∴ ∠MFC=∠N，BN=CF=10，
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD，
∵ MF∥AD，
∴ ∠BAD=∠E，∠CAD=∠AFE，
∴ ∠E=∠AFE，
∴ △AEF为等腰三角形，
∴ AE=AF，
∵ ∠MFC=∠AFE，
∴ ∠N=∠E，
∴ △BEN为等腰三角形，
∴ BN=BE，
∵ BN=10，BE=AB+AE=AB+AF，AB=8，
∴ AF=2，
∴ AC=AF+FC=12.
故答案为：A.
【分析】依据SAS判定△BMN≌△CMF推出∠MFC=∠N，BN=CF=10，根据角平分线的定义和平行线的性质得△AEF和△BEN为等腰三角形，从而得到AF=AE=CF-AB，即可求得.
4．（2023八上·鹤山月考）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．3
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；三角形全等及其性质
【解析】【解答】 解：∵AB=20cm，AE=6cm，BC=16cm，
∴EB=14cm，BP=2tcm，PC=（16-2t）cm，
①当EB=PC，BP=QC时，△BPE≌△CQP，
由题意得：16-2t=14，
解得：t=1；
②当BP=CP，BE=QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t=16-2t，
解得：t=4.
故选：B.
【分析】用含t的代数式表示出线段BP和线段PC的长度，再分类讨论两个三角形全等的不同情况，△BPE≌△CQP或△BEP≌△CQP，列出方程，解方程求出t的值.
5．（2023八上·椒江月考）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，
∴∠GHA=90°，
∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，
∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，
在△BDG和△BDC中，
，
∴△BDG≌△BDC（ASA），
∴BC=BG，CD=DG，
∴，
又∵∠GHA=90°，AC=5，
∴，
∴，
∵BC-AB=2，
∴BG-AB=AG=2，
∵GH≤AG，即GH≤2，
∴当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大，
∴则GH的最大值为2，
∴△ADC的最大面积为：，
故答案为：B．
【分析】延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，得∠GHA=90°，接下来根据角平分线、垂直的定义得∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，从而利用全等三角形判定定理“ASA”证明△BDG≌△BDC，根据全等三角形对应边相等得BC=BG，CD=DG，接下来利用中线的性质得，从而利用三角形面积公式得，要求△ADC的最大面积，即求GH的最大值，在中，GH≤2，进而有当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大，最大值为GH=2，即可求出△ACD的最大面积．
6．（2022八上·攸县期末）如图，在四边形中，对角线平分，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不确定
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
7．（2020八上·花都期末）如图，AD//BC，点E是线段AB的中点，DE平分 ， BC=AD+2，CD=7，则 的值等于（ ）
A．14 B．9 C．8 D．5
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】延长DE，CB交于点F
∵点E是线段AB的中点，
在 和 中，
∵DE平分
解得
故答案为：A．
【分析】延长DE，CB交于点F，通过ASA证明 ，则有 ，然后利用角平分线的定义得出 ，从而有 ，则通过 和 解出BC，AD的值，从而答案可解．
8．（2024八上·黄石港期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°，
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴，，
∴，
∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确；
∴∠BPD=180°-∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°，
∴∠APB=∠FPB，
∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确；
∵∠DAB=∠CAD，
∴∠PAH=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确；
连接HD，ED，如图：
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，PH=PD，
∴∠HDP=∠DHP=45°
∴∠HDP=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，④不正确；
故正确的有①②③；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC+∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线和三角形的内角和是180°可得∠BPD=45°，求得∠FPB=135°，判断①正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，判断②正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AH=FD，等量代换可判断③正确，连接HD，ED，根据全等三角形的面积相等，对应边相等可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，根据等边对等角和三角形的内角和是180°可推得∠HDP=∠BPD，根据内错角相等，两直线平行可得HD∥EP，根据平行线之间的距离处出相等可得S△EPH=S△EPD，等量代换可判断④不正确，即可得出答案.
9．（2022八上·台州月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，
∵2∠OBC+2∠OCB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A；
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，故①正确；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，
∵∠AEF=∠EOB+∠EBO=2∠EBO
∴∠EBO=∠AEF，故②正确；
∵OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DOC+∠OCB=90°，故③正确；
连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m
∴S，故④正确；
∴正确结论有4个.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，利用三角形的内角和定理可推出∠OBC+∠OCB=90°-∠A；再利用三角形的内角和定理可得到∠BOC和∠A的数量关系，可对①作出判断；利用平行线的性质去证明∠EOB=∠OBC=∠EBO，利用三角形的外角的性质可证得∠EBO和∠AEF的数量关系，可对②作出判断；利用垂直的定义可证得∠ODC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠DOC+∠OCB=90°，可对③作出判断；易证OA平分∠BAC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得OG=OD=m，然后三角形的面积公式表示出△AEF的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
10．（2023八上·海曙期中）如图，中，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、．四块阴影部分的面积如图所示分别记为、、、若，则等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【解析】【分析】如图所示，过点E作于K，连接，设交于T，交于L，先证明得到，再证明得到，，进一步证明，得到，，进而推出，证明，从而推出，则E、M、N三点共线，，证明，得到，同理可证明，得到，则．
【解答】
解：如图所示，过点E作于K，连接，设交于T，交于L，
由题意得，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴E、M、N三点共线，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可证明，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分））
得分
11．（2024八上·山阳期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
12．（2020八上·北京月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等．
【答案】4或6
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，
∵D为AB的中点，
∴BD＝ AB＝12cm，
∵BD＝CP，
∴BP＝BC－CP＝16－12＝4cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为1s，
∵△BPD≌△CQP，
∴BP＝CQ＝4cm，
∴点 的运动速度为x＝4÷1＝4（cm/s）；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝ AB＝12cm，PB＝PC，
∴CQ＝BD＝12cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝8cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为8÷4＝2（s），
∴点 的运动速度为x＝12÷2＝6（cm/s）．
故答案为：4或6．
【分析】由于∠B=∠C=60°，若△BPD与△CQP全等，分两种情况：①当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，据此分别求出BP的长，然后根据速度=路程÷时间解答即可.
13．（2019八上·沙河口期中）如图，在 中， 为 的中点， 平分 ， ， 与 相交于点 ，若 的面积比 的面积大 ，则 的面积是 .（用含 的式子表示）
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作 于 ， 于
平分 ， 于 ， 于
，
，
设 的面积为 .则 ， ，
的面积比 的面积大 ，
的面积比 的面积大 ，
，
.
故答案为：10a.
【分析】作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根据角平分线的性质定义得出DM=DN，然后根据同高三角形的面积之比等于其底之比得出BD：DC=2：3，设△ABC的面积为S.则S△ADC= S，S△BEC= S，构建方程即可解决问题；
14．（2023八上·荔湾期中）如图，在四边形中：，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是： （填写正确的序号）
【答案】③⑤⑥
【知识点】三角形全等的判定-SAS
15．（2023八上·洪山月考） 在中，交于点，平分交于，为延长线上一点，交延长线于，的延长线交于，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ．
【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设AE交GH于点M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴ ∠AMG=∠ADE=90°，
∴ ∠DAE+∠AGF=90°，∠AGF+∠F=90°，
∴ ∠DAE=∠F，故①符合题意；
②∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE=∠EAH，
∴ ∠BAE+∠ACB=∠EAH+∠ACB=∠AEB，
∵ ∠AMG=∠ADE=90°，
∴ ∠AEB+∠DAE=∠DAE+∠AGH=90°，
∴ ∠AGH=∠AEB，
∴ ∠AGH=∠BAE+∠ACB，故②符合题意；
③ 过点E作EP⊥AB，EQ⊥AC，如图，
∵ AE平分∠BAC，EP⊥AB，EQ⊥AC，
∴ EP=EQ，
∴，故③符合题意；
④∵ AM⊥GH，
∴ ∠AMH=90°，
∴ ∠EAH+∠AHG=180°-∠AMH=90°，
∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∠BAC不一定为90°，
∴ ∠ABC+∠ACB不一定为90°，故④不符合题意.
故答案为：①②③.
【分析】①根据垂直的定义可得∠AMG=∠ADE=90°，根据同角的余角相等，即可判断；
②根据角平分线的定义和外角的性质，即可判断；
③根据角平分线的性质可得EP=EQ，即可判断；
④根据三角形的内角和定理可得∠EAH+∠AHG=90°，而∠ABC+∠ACB不一定为90°，即可判断.
阅卷人 三、解答题（共7题，共65分）
得分
16．（2024八上·长岭期末）如图，是的角平分线，点H，G分别在，上，且．
（1）求证：与互补；
（2）若，请探究线段与线段，之间满足的等量关系，并加以证明．
【答案】（1）证明：如图，在上取一点M，使得，连接．
是的角平分线，．
又，，，．
，，．
．，即与互补．
（2）解：．证明如下：
由（1）知，，．
，．
又，，
，．
，．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在上取一点M，使得，连接，先证出，可得，，再利用等边对等角的性质可得，再结合可得，从而可证出与互补；
（2）利用（1）可得，，再结合，可得，再利用等角对等边及等量代换可得，再利用线段的和差及等量代换可得.
17．（2019八上·海淀期中）已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明
【答案】解：猜想：EF=2AD，EF⊥AD．
证明：如图，延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，
∴AD=DM，AM=2AD，
∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
在△ABD和△MCD中，
， ∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴AB=MC，∠BAD=∠M，
∵AB=AE，∴AE=MC，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠FAC=90°，
∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，∴∠BAC+∠EAF=180°，
∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，
即∠BAC+∠MCA=180°，∴∠EAF=∠MCA．
在△AEF和△CMA中，
，∴△AEF≌△CMA（SAS），
∴EF=AM，∠CAM=∠F，∴EF=2AD；
∵∠CAF=90°，∴∠CAM+∠FAN=90°，
∵∠CAM=∠F，∴∠F+∠FAN=90°，
∴∠ANF=90°，∴EF⊥AD．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】先猜想EF=2AD，EF⊥AD．延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，易证BD=CD，即可证明△ABD≌△MCD，可得AB=MC，∠BAD=∠M，即可求得∠EAF=∠MCA，即可证明△AEF≌△CMA，可得EF=AM，∠CAM=∠F，即可解题.
18．（2024八上·景县期末）如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点；
（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，求的值是 ．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠CAE+∠FAG＝90°
∴∠FAG＝∠AEC，
∵FG⊥AC，
∴∠FGA＝90°＝∠ACE，
在△AGF和△ECA中，
，
∴△AGF≌△ECA（AAS）；
∴AG＝EC；
（2）证明：如图2，过点F作FD⊥AC于D，
∵AC＝4，AG＝3，
∴CG＝4﹣3＝1，
由（1）可知，△FAD≌△AEC，
∴CE＝AD，FG＝AC＝BC，
在△FDG 和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG＝GC＝1，
∴CE＝AD＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝2，
∴CE＝EB，即E点为BC中点；
（3）
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）过F作FG⊥AD的延长线交于点G，如图3，
∵，BC＝AC，CE＝CB+BE，
∴
由（1）（2）知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，
∴CD＝DG，AG＝CE，
∴
∴
∴
∴＝．
故答案为：．
【分析】（1）利用余角的性质可得∠FAG=∠CEA，根据AAS证明；
（2）过点F作，根据AAS证明，得到DG=GC，进而求出CE=EB即可；
（3）作，交AC的延长线于一点H，由（1）（2）可知，，，利用全等三角形的性质计算即可．
19．（2024八上·蔡甸期末）如图，在等腰中，，，点为线段AB上一动点（不与点B重合），且．
（1）连接BF交AC于点，设．
①当时，如图1，则 ▲ ．
②当时，如图2，若，求MC的长．
（2）如图3，作交CA的延长线于点，交BC于点，连接PQ，求证：．
【答案】（1）解：①△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CE⊥CF，CE=CF，
∴AB=AC=CE=CF，∠BAM=∠FCM=90°，
在△ABM与△CFM中，
，
∴△ABM≌△CFM（AAS），
∴BM=MF，
∴，
故答案为：1；
②过点F作FN⊥AC于N，如图：
设BE=4a，则AB=9a，AE=AB-BE=5a，
又∵∠A=90°，CE⊥CF，
∴∠FNC=∠CAE=90°，∠ACE+∠AEC=90°，∠ACE+∠ACF=90°，
∴∠AEC=∠NCF，
在△ACE和△NFC中，
，
∴△ACE≌△NFC（AAS），
∴CN=AE=5a，FN=AC=AB=9a，
∴AN=9a-5a=4a，
在△ABM和△FNM中，
，
∴△ABM≌△FNM（AAS），
∴AM=NM=2a，
∴MC=7a，
∵AB=9a=18，
∴a=2，
∴MC=7a=14.
（2）证明：在FP上截取FG=EQ，连接CG、PQ，如图：
在△CFG和△CEQ中，
，
∴△CFG≌△CEQ（SAS），
∴∠FCG=∠ECQ，CG=CQ，
∵∠FCG+∠GCE=90°，
∴∠ECQ+∠GCE=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠PCG=∠PCQ=45°，
在△PCG和△PCQ中，
，
∴△PCG≌△PCQ（SAS），
∴PQ=PG，
∵PG=PF-GF=PF-QE，
∴PQ=PF-QE.
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得BM=MF，即可求解；
②过点F作FN⊥AC于N，设BE=4a，则AB=9a，AE=5a，根据等角的余角相等可得∠AEC=∠NCF，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得CN=AE=5a，FN=AC=AB=9a，推得AN=4a，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AM=NM=2a，求得a的值，即可求解；
（2）在FP上截取FG=EQ，连接CG、PQ，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等可得∠FCG=∠ECQ，CG=CQ，推得∠PCG=∠PCQ=45°，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等可得PQ=PG，即可证明.
20．（2023八上·浦北期中）如图1，AD是△ABC的高，点F为BC延长线上一点，FE⊥AB于点E，交AD于点G．
（1）求证：∠F＝∠BAD；
（2）如图2，若BD＝DG，求证：AB＝GF；
（3）如图3，在（2）的条件下，DH是△ABD的角平分线，点M为HD的延长线一点，连接MC、MF，若∠MCF+∠ACD＝180°，MC＝4，MF＝6，求线段AC的长．
【答案】（1）证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵FE⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∴∠B+∠F＝90°，
∴∠F＝∠BAD；
（2）证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD和△FGD中，
，
∴△ABD≌△FGD（AAS），
∴AB＝GF；
（3）解：如图，在CA上截取CN＝CM，连接DN，
∵DH是△ABD的角平分线，AD⊥BC，
∴∠HDB＝×90°＝45°，
∴∠FDM＝∠HDB＝45°，
∵∠FCM+∠ACD＝180°，∠FCM+∠MCD＝180°，
∴∠ACD＝∠MCD，
在△DCN和△DCM中，
，
∴△DCN≌△DCM（SAS），
∴∠NDC＝∠MDC＝45°，DN＝DM，
∴∠ADN＝90°-45°＝45°＝∠FDM，
∵△ABD≌△FGD，
∴AD＝DF，
在△ADN和△FDM中，
，
∴△ADN≌△FDM（SAS），
∴AN＝FM，
∴AC＝AN+CN＝FM+CM，
∵CM＝4，MF＝6，
∴AC＝10．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质.
（1）已知AD是△ABC的高，根据高线的性质可得：∠ADB＝90°，根据三角形内角和定理可得：∠B+∠BAD＝90°，又因FE⊥AB，同理可得：∠B+∠F＝90°，结合∠B+∠BAD＝90°可证明结论.
（2）已知AD是△ABC的高，∠ADB＝∠ADC＝90°，再结合 利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论；
（3）在上截取，连接，已知DH是△ABD的角平分线，AD⊥BC，根据角平分线的定义可推出∠ACD＝∠MCD，再结合，可证明，进而推出∠ADN＝∠FDM，再结合，可证明和全等，根据全等三角形的性质可得：AN＝FM，由图可得：AC＝AN+CN，结合AN＝FM可得： AC＝FM+CM， 代入数据可求出答案.
21．（2023八上·汉川期中）△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，记∠BAC＝x，∠BOC＝y．
（1）如图1．
①若x＝50°，则y＝ ▲ ；
②请你根据①中计算的心得猜想写出y与x的关系式，并证明你猜想的正确性；
（2）如图2，启智学校内有一个三角形的小花园，花园中有两条小路BD和CE为△ABC的角平分线，交点为点O，在O处建有一个自动浇水器，需要在BC边上取一处接水口F，经过测量得知∠BAC＝120°，OD OE＝12000m2，BC﹣BE﹣CD＝160m，请你求出水管OF至少要多长？
【答案】（1）解：①115°；
②，
理由如下：∵∠BAC=x，
∴∠ABC+∠ACB=180°-x，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴，，
∴，
∴.
（2）解：如图2，在BC上分别取点G和H，使BG=BE，CH=CD，连接OG、OH，
∵BD和CE为△ABC的角平分线，
∴∠EBO=∠GBO，∠DCO=∠HCO，
在△EBO和△GBO中，
，
∴△EBO≌△GBO（SAS），
∴OE=OG，∠EOB=∠GOB，
同理可证：△DCO≌△HCO（SAS），
∴OD=OH，∠DOC=∠HOC，
∵∠BAC=120°，
∴，
则∠BOE=180°-∠BOC=180°-150°=30°，
∴∠DOC=∠BOE=30°，
∴∠BOE=∠BOG=∠DOC=∠HOC=30°，
∴∠GOH=∠BOC-∠BOG-∠HOC=150°-30°-30°=90°，
∵OD·OE=12000m2，
∴，
∵BC-BE-CD=160m，
即GH=BC-BG-CH=160m，
即GH=160m；
当OF⊥BC时，OF最小，
则，
∴OF=75，
故出水管OF至少要75m.
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=180°-50°=130°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴，，
∴，
∴∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-65°=115°，
∴y=115°，
故答案为：115°.
【分析】 （1）①根据三角形的内角和是180°可得∠ABC+∠ACB=130°，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠DBC+∠ECB=65°，结合三角形的内角和是180°，即可得到答案；
②根据三角形的内角和是180°可得∠ABC+∠ACB=180°-x，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得，结合三角形的内角和是180°，即可得到答案；
（2）在BC上分别取点G和H，使BG=BE，CH=CD，连接OG、OH，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠EBO=∠GBO，∠DCO=∠HCO，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形、全等三角形的对应边相等、对应角相等可得OE=OG，∠EOB=∠GOB，OD=OH，∠DOC=∠HOC，结合（1）中结论可得∠BOC=150°，推得∠BOE=∠BOG=∠DOC=∠HOC=30°，即可求得∠GOH=90°，结合题意和三角形的面积公式即可求解.
22．（2023八上·灞桥开学考）已知，在中，，，，三点都在直线上，．
（1）如图，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ．
（2）如图，当不垂直于时，中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图，若只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的与的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：成立，BD=AE，，理由如下：
同（1）得：≌，
，，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
当≌时，，，
，
，
，
；
当≌时，
，，
，，
综上所述，存在，使得与全等，，或，．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵AB=AC，
∴（AAS），
∴BD=AE，AD=CE.
∵DA+AE=DE，
∴CE+BD=DE；
故答案为：BD=AE，BD+CE=DE；
【分析】（1）利用同角的余角相等求得，根据角角边求出全等，得BD=AE，AD=CE，通过等量代换求出CE+BD=DE；
（2）利用第（1）问的方法即可求出CE+BD=DE；
（3）利用≌，即可求出AD的长度，从而求出t的值，进而求出x的值；利用≌，即可求出AD的长度，从而求出t的值.
阅卷人 四、实践探究题（共10分）
得分
23．（2023八上·渝北期中）（1）【初步探索】如图：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
（2）【灵活运用】如图，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
【答案】（1）
（2）解：仍成立，如图，延长到点，使，连接．
，，
．
又，
，．
，，
．
（3）证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
．
又，
，．
，，
．
．
，
．
，
即．
．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）结论：，
理由：如图1，延长到点G，使，连接，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
故答案为：
【分析】（1）延长到点G，使，连接，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再证明即可得到，从而结合题意即可求解；
（2）延长到点，使，连接，进而结合题意得到，再证明即可得到，，进而证明即可求解；
（3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据题意得到，进而证明即可得到，，从而证明得到，再结合题意进行角的运算即可求解。
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