湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-27 15:52:39 | ||
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2024—2025学年度上学期2022级
9月月考数学试卷
考试时间：2024年9月25日
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
[endnoteRef:0]．集合，若，则集合可以为（ ） [0: ．C]
A. B. C. D.
[endnoteRef:1]．若复数，则（ ） [1: ．C 【详解】]
A 0 B. C. 1 D. 2
[endnoteRef:2]．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） [2: ．B]
A． B． C． D．
[endnoteRef:3]．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（ ） [3: ．D 【详解】由题意知，
所以，两边取以10为底的对数，得，
所以
]
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
[endnoteRef:4]．已知，且，，则（ ） [4: ．C【详解】因为所以则
所以则，
因为，所以，又则，
所以故
因为所以则.
解法二：∵，∴，∴，故选C]
A． B． C． D．
[endnoteRef:5]．已知函数恒成立，则实数的最小值为（ ） [5: ．B 【详解】∵恒成立，设，则当时，时，∴，即，∴]
A． B． C． D．
[endnoteRef:6]．函数与函数的图象交点个数为（ ） [6: ．A 【详解】设，的定义域为，
当时，，此时的图象与的图象没有交点，
当时，，此时两图象没有交点，
当时，，此时两图象有一个交点，
当时，，此时两图象没有交点，
当时，，此时两图象有一个交点，
⑥当时，，，设
在上单调递减，，且趋于时，趋于正无穷，∴存在使得，且时，∴在上单调递减，∴，即，
结合以上分析，画出在上的函数图象可知，两图象在上有一个交点，
当时，由对称性可知，两图象在上有一个交点，
⑧当时，，此时两图象有一个交点，
当时，，，注意到，
画出在上的函数图象可知，两图象在上有一个交点，
⑨当时，，此时两图象没有交点；
综上所述，函数与函数的图象交点个数为6.]
A．6 B．7 C．8 D．9
[endnoteRef:7]．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波拉契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） [7: ．A 【详解】由题知是的正整数解，
故，取指数得，
同除得，，故，即，
根据是递增数列可以得到也是递增数列，于是原不等式转化为.
而可以得到满足要求的的最大值为5，故A正确.]
A．5 B．6 C．7 D．8
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
[endnoteRef:8]．给出下列命题，其中正确命题为（ ） [8: ．BD 【详解】对于A选项，去掉后的平均数为，
方差为，故A选项错误；
对于B选项，由于随机变量服从正态分布，
则，关于1对称，则故B选项正确；
对于C选项，因为，所以，又因为回归方程为，
所以，所以，故C选项错误；
对于D选项，对于独立性检验，随机变量的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，故越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确．故选:ABD.]
A．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为168
B．随机变量服从正态分布，若，则
C．一组数据的线性回归方程为，若，则
D．对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小
[endnoteRef:9]．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） [9: ．ACD 【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接，
又正方体中，为棱的中点，可得,，
平面,平面,又，
且平面，平面平面,
又平面，且平面，平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，，即的轨迹为线段.
由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确；
对B，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为,
，而，,故选项B不正确；
对C，由正方体侧棱底面，三棱锥体积为，
所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，
此时,所以体积最小值为，故选项C正确；
对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，
由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心，
,,,所以底面为直角三角形，
所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为,
由,,可得外接球半径，
外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ABD.
]
A．动点轨迹的长度为
B．与不可能垂直
C．三棱锥体积的最小值为
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
[endnoteRef:10]．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于 两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ） [10: ．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，
设，
则，可得，因为，即，
可知为等边三角形，即，
且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确；
则直线，联立方程，解得或，
即，，则，
可得，
在中，，且，
可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确；
四边形的面积为，故C错误；
因为，所以，故D正确；
故选：ABD.]
A．的斜率为 B．是锐角三角形
C．四边形的面积是 D．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
[endnoteRef:11]．若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________. [11: ． 【详解】因为“使”为假命题，
所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，
又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
而，所以，所以，即实数的取值范围为.]
[endnoteRef:12]．在中，，∠，D为线段AB靠近点的三等分点，E为线段CD的中点，若，则的最大值为________. [12: ．]
[endnoteRef:13]．将这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，若，，则这样的数列共有 个． [13: ．360【解析】∵，∴，
列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5） 有2个；故共有10个组合，∴共计有个这样的数列。]
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
[endnoteRef:14]．已知的内角，，的对边分别为，，，若. [14: ．【解析】（1）设，，在中，由正弦定理得，，，代入已知化简得，
又在中有：，即，
【方法一】∵，
即，所以，所以.
【方法二】∵，
即，所以，所以.
（2）在中有，，，由正弦定理得：，，，
因在中，，，，
所以，，当时，等号成立，∴周长的取值范围是.
]
（1）求的值；
（2）若的面积为，求周长的取值范围.
[endnoteRef:15]．已知正项数列的前项和为，且． [15: ．【解析】（1）∵，当时，，
两式相减得：，整理得， ……4分
∵，∴，当时，，
∴（舍）或， ……6分
∴是以1为首项，1为公差的等差数列，则； …… 7分
（2）由（1）知，， ……9分
∴，……10分 由，令，…11分
则时， ……13分
所以，即随着增大，减小，
所以． ……15分
]
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列满足，且数列的前n项和为，若恒成立，求的取值范围．
[endnoteRef:16]．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，. [16: ．【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，连接，在中，，，则，于是，
设，则，其中，，
因此，即，所以.
（2）由平面平面，得，
又，则，而平面，
则平面，即为平面的一个法向量，
，由平面，得，
又，解得，此时，
设是平面的法向量，则，取，得，
设是平面的法向量，则，取，得，
则平面FOD与平面夹角的余弦值为.
（3），
则点到直线的距离，
当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为
]
(1)求证：；
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到直线距离的最大值.
[endnoteRef:17]．已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上. 互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点. [17: ．【详解】（1）∵渐近线方程为，可设双曲线方程为，
∵点在双曲线上，∴，所以的方程为；
（2）①当直线中又一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在是，直线与轴重合，不符合题意；所以直线的斜率均存在且不为，
解法一：，，，，设的方程为，由，得，
∴恒成立，，∴，∵∴
∴，同理
因为、、三点共线，所以，∴
化简得：；
解法二：设的方程为，，，，，
由，得，则，所以，
所以，则，
所以，同理可得，
因为、、三点共线，所以，
又，所以，
因为，所以；
②，
所以
，
设，则，
所以，
∴，
∴，故.
]
(1)求的方程；
(2)若直线交轴于点，设.
①求；
②记，，求.
[endnoteRef:18]．如果函数 的导数为，可记为 ，若 ，则表示曲线 ，直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中 为常数； ，则表 及轴围成图形面积为4. [18: ．【详解】（1），其中 为常数.
而 ，即 ，所以 ，所以.
（2）联立 ，解得 ，
当时，，令 ，
则围成的面积
（3）令 ，
由题意可知，，满足，
即，即在 上单调递增，
进而在 恒成立，在 恒成立. ，
若，则在上恒成立，故在上为增函数，故；
若，则时，，故在上为减函数，
故时，，与题设矛盾；
故.
【点睛】关键点点睛：本题第三步关键在于利用，都满足，得出函数在 上单调递增，再结合导数的符号分类讨论后可得参数的取值范围.
]
(1)若 ，求 的表达式；
(2)求曲线 与直线 所围成图形的面积；
(3)若 ，其中 ，对 ，若，都满足，求 的取值范围.
9月月考数学试卷
考试时间：2024年9月25日
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
[endnoteRef:0]．集合，若，则集合可以为（ ） [0: ．C]
A. B. C. D.
[endnoteRef:1]．若复数，则（ ） [1: ．C 【详解】]
A 0 B. C. 1 D. 2
[endnoteRef:2]．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） [2: ．B]
A． B． C． D．
[endnoteRef:3]．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（ ） [3: ．D 【详解】由题意知，
所以，两边取以10为底的对数，得，
所以
]
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
[endnoteRef:4]．已知，且，，则（ ） [4: ．C【详解】因为所以则
所以则，
因为，所以，又则，
所以故
因为所以则.
解法二：∵，∴，∴，故选C]
A． B． C． D．
[endnoteRef:5]．已知函数恒成立，则实数的最小值为（ ） [5: ．B 【详解】∵恒成立，设，则当时，时，∴，即，∴]
A． B． C． D．
[endnoteRef:6]．函数与函数的图象交点个数为（ ） [6: ．A 【详解】设，的定义域为，
当时，，此时的图象与的图象没有交点，
当时，，此时两图象没有交点，
当时，，此时两图象有一个交点，
当时，，此时两图象没有交点，
当时，，此时两图象有一个交点，
⑥当时，，，设
在上单调递减，，且趋于时，趋于正无穷，∴存在使得，且时，∴在上单调递减，∴，即，
结合以上分析，画出在上的函数图象可知，两图象在上有一个交点，
当时，由对称性可知，两图象在上有一个交点，
⑧当时，，此时两图象有一个交点，
当时，，，注意到，
画出在上的函数图象可知，两图象在上有一个交点，
⑨当时，，此时两图象没有交点；
综上所述，函数与函数的图象交点个数为6.]
A．6 B．7 C．8 D．9
[endnoteRef:7]．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波拉契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） [7: ．A 【详解】由题知是的正整数解，
故，取指数得，
同除得，，故，即，
根据是递增数列可以得到也是递增数列，于是原不等式转化为.
而可以得到满足要求的的最大值为5，故A正确.]
A．5 B．6 C．7 D．8
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
[endnoteRef:8]．给出下列命题，其中正确命题为（ ） [8: ．BD 【详解】对于A选项，去掉后的平均数为，
方差为，故A选项错误；
对于B选项，由于随机变量服从正态分布，
则，关于1对称，则故B选项正确；
对于C选项，因为，所以，又因为回归方程为，
所以，所以，故C选项错误；
对于D选项，对于独立性检验，随机变量的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，故越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确．故选:ABD.]
A．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为168
B．随机变量服从正态分布，若，则
C．一组数据的线性回归方程为，若，则
D．对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小
[endnoteRef:9]．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） [9: ．ACD 【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接，
又正方体中，为棱的中点，可得,，
平面,平面,又，
且平面，平面平面,
又平面，且平面，平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，，即的轨迹为线段.
由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确；
对B，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为,
，而，,故选项B不正确；
对C，由正方体侧棱底面，三棱锥体积为，
所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，
此时,所以体积最小值为，故选项C正确；
对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，
由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心，
,,,所以底面为直角三角形，
所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为,
由,,可得外接球半径，
外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ABD.
]
A．动点轨迹的长度为
B．与不可能垂直
C．三棱锥体积的最小值为
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
[endnoteRef:10]．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于 两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ） [10: ．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，
设，
则，可得，因为，即，
可知为等边三角形，即，
且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确；
则直线，联立方程，解得或，
即，，则，
可得，
在中，，且，
可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确；
四边形的面积为，故C错误；
因为，所以，故D正确；
故选：ABD.]
A．的斜率为 B．是锐角三角形
C．四边形的面积是 D．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
[endnoteRef:11]．若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________. [11: ． 【详解】因为“使”为假命题，
所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，
又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
而，所以，所以，即实数的取值范围为.]
[endnoteRef:12]．在中，，∠，D为线段AB靠近点的三等分点，E为线段CD的中点，若，则的最大值为________. [12: ．]
[endnoteRef:13]．将这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，若，，则这样的数列共有 个． [13: ．360【解析】∵，∴，
列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5） 有2个；故共有10个组合，∴共计有个这样的数列。]
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
[endnoteRef:14]．已知的内角，，的对边分别为，，，若. [14: ．【解析】（1）设，，在中，由正弦定理得，，，代入已知化简得，
又在中有：，即，
【方法一】∵，
即，所以，所以.
【方法二】∵，
即，所以，所以.
（2）在中有，，，由正弦定理得：，，，
因在中，，，，
所以，，当时，等号成立，∴周长的取值范围是.
]
（1）求的值；
（2）若的面积为，求周长的取值范围.
[endnoteRef:15]．已知正项数列的前项和为，且． [15: ．【解析】（1）∵，当时，，
两式相减得：，整理得， ……4分
∵，∴，当时，，
∴（舍）或， ……6分
∴是以1为首项，1为公差的等差数列，则； …… 7分
（2）由（1）知，， ……9分
∴，……10分 由，令，…11分
则时， ……13分
所以，即随着增大，减小，
所以． ……15分
]
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列满足，且数列的前n项和为，若恒成立，求的取值范围．
[endnoteRef:16]．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，. [16: ．【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，连接，在中，，，则，于是，
设，则，其中，，
因此，即，所以.
（2）由平面平面，得，
又，则，而平面，
则平面，即为平面的一个法向量，
，由平面，得，
又，解得，此时，
设是平面的法向量，则，取，得，
设是平面的法向量，则，取，得，
则平面FOD与平面夹角的余弦值为.
（3），
则点到直线的距离，
当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为
]
(1)求证：；
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到直线距离的最大值.
[endnoteRef:17]．已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上. 互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点. [17: ．【详解】（1）∵渐近线方程为，可设双曲线方程为，
∵点在双曲线上，∴，所以的方程为；
（2）①当直线中又一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在是，直线与轴重合，不符合题意；所以直线的斜率均存在且不为，
解法一：，，，，设的方程为，由，得，
∴恒成立，，∴，∵∴
∴，同理
因为、、三点共线，所以，∴
化简得：；
解法二：设的方程为，，，，，
由，得，则，所以，
所以，则，
所以，同理可得，
因为、、三点共线，所以，
又，所以，
因为，所以；
②，
所以
，
设，则，
所以，
∴，
∴，故.
]
(1)求的方程；
(2)若直线交轴于点，设.
①求；
②记，，求.
[endnoteRef:18]．如果函数 的导数为，可记为 ，若 ，则表示曲线 ，直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中 为常数； ，则表 及轴围成图形面积为4. [18: ．【详解】（1），其中 为常数.
而 ，即 ，所以 ，所以.
（2）联立 ，解得 ，
当时，，令 ，
则围成的面积
（3）令 ，
由题意可知，，满足，
即，即在 上单调递增，
进而在 恒成立，在 恒成立. ，
若，则在上恒成立，故在上为增函数，故；
若，则时，，故在上为减函数，
故时，，与题设矛盾；
故.
【点睛】关键点点睛：本题第三步关键在于利用，都满足，得出函数在 上单调递增，再结合导数的符号分类讨论后可得参数的取值范围.
]
(1)若 ，求 的表达式；
(2)求曲线 与直线 所围成图形的面积；
(3)若 ，其中 ，对 ，若，都满足，求 的取值范围.
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