“一次函数与一元一次不等式”教学设计
课题：一次函数与一元一次不等式 课型：新授课（采取与微课结合的教学模式）
教材分析：
本节课来自新人教版《19.2.3一次函数与方程、不等式》第2课时。上一节课已经解决了从函数的角度看解一元一次方程，下一节课学习从函数角度看两元一次方程组，初三学习一元二次函数时也会运用本节课内容解决相关问题，因此本节课的学习内容起到承前启后的作用。
学情分析：
初二学生已经初步会用数学思维去观察、分析问题，进行简单的图形语言与符号语言转换，但数形结合的能力、几何直观的能力不强，动点分析的数学活动经验不足。授课的班级学生已经开展小组合作、探究交流的教学方法有一年多，课堂上比较活跃。学生已经会作出一次函数的图象，并清楚一次函数解析式与其图象之间的数形关系。
教学目标：
知识技能：通过动手操作、小组讨论从形与数两个角度领悟一次函数与一元一次不等式的内在联系。
数学思考：经历借助图形思考问题的过程，体会数形结合的思想，初步建立几何直观。
问题解决：通过具体问题，初步体会运用一次函数与一元一次不等式解决有关问题，提高分析问题、解决问题、综合运用知识的能力。在与他人合作和交流过程中，能较好地解释自己的思考过程和理解他人的思考方法和结论，能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。
情感态度：积极参与数学活动，感受成功的快乐，敢于发表自己的想法、勇于质疑、敢于创新，养成认真勤奋、独立思考、合作交流的良好数学学习习惯。
教学重难点：
重点：一次函数与一元一次不等式的联系。
难点：通过具体问题体会运用一次函数与一元一次不等式解决有关的问题。
关键：紧抓图象上的点（形）、点的横坐标（数）、点的纵坐标（数）三者的对应关系。
教学流程：
知识回顾→创设情景，引入新知→自学反馈→自主探究、合作交流→5分钟小测→总结反思
教学过程：
活动一：知识回顾
（1）形如___________（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。函数y=3x+2的图象不经过第___象限。
（2）含有____个未知数，未知数的次数是___的_____式，叫做一元一次不等式。如：3x+2>0。
（3）作一次函数图像的步骤是：________，描点，_________。
（4）一次函数图像上的点、点的_____坐标、点的______坐标，三者是形与数的一一对应关系。
设计意图：引导学生复习一次函数、一元一次不等式的概念，一次函数图象的作法。特别强调学生注意图像上的点、点的横、纵坐标三都之间所对应的数形关系。
学生活动：课前自主完成，课堂上对答案。
教师活动：课堂上引导学生对答案，并指出需要学生重视的地方。
活动二：创设情景，引入新知
下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？思考完后，请观看微视频(微课时长6分34秒)。（1）?x+2>2 （2）?x+2<0 （3）?x+2<-1
设计意图：把三个不等式放在一起，有利于学生从形式上观察到三者之间的共同点和不同点。引导学生从函数的函数值角度理解三个不等式。清楚一次函数与一元一次不等式的代数联系是换元的数学思想。再通过几何画板动态显示一次函数图象上点的变化引起点的横坐标与纵坐标的变化，让学生感受并领悟三者之间存在对应关系，初步形成用一次函数图象解决一元一次不等式的几何直观。这是本节课的重点。
学生活动：课前自主思考后，观看微课视频，把不清楚、不理解的地方记下来，课堂上听老师讲解。
教师活动：由于课前预习的时候已经看过此视频，大部分学生都懂得一次函数与一元一次不等式的代数联系与几何联系。因此课堂上强调学生容易忽略的地方，突出本节课的重、点难；在引导学生发现新知识的同时要指出需要重视的地方。
活动三：自学反馈
一次函数y=3 x +3图象如图所示：
（1）当x __________时，y=0;
（2）当x __________时，y<0;
（3）当x __________时，y>3。
设计意图：测试学生自主看完微课视频后，能否理解新知识与技能，并自主完成反馈题。教师可以根据此题的答题情况给予学生适当的评价，并调整教学过程。
学生活动：观看微课视频后自主完成反馈题，把不清楚、不理解的地方记下，留到上课时交流解决。
教师活动：课堂上播放微课视频的同时，到学生里面巡查，对个别学生进行辅导，与学生进行对话交流。
活动四：自主探究、合作交流
1. 一次函数y=3 x +3图象如图所示：
（1）当y取何值时，x =0?
（2）当y取何值时，x >0?
（3）当y取何值时，-1< x <0?
设计意图：经过前3个活动，学生已经初步掌握从函数图像上的点、点的横坐标、点的纵坐标三者的对应关系来解决一元一次不等式的问题。通过此题可以培养学生从反向思维的角度对思考问题，提高几何直观水平。
学生活动：先独立思考，再小组互相交流，在几何画板动态显示的探索过程中领悟几何直观在解题应用。
教师活动：引导学生独立思考、小组交流。播放微课视频同时下到学生中，对个别学生进行辅导，与学生进行对话交流。
2. 如图，已经函数y1=0.5x?2和y2= ?3 x +5相交于点A(2,-1)，
（1）利用图象求出，当x取何值时，有y1 = y2？
（2）利用图象求出，当x取何值时，有 y1 > y2？
设计意图： 通过研究两个一次函数图象关系来解决一元一次不等式
的问题，培养学生的几何直观。
学生活动：先独立思考，再小组互相交流，在几何画板动态显示的
探索过程中领悟几何直观在解题应用。
教师活动：引导学生独立思考、小组交流。播放微课视频同时下到
学生中，对个别学生进行辅导，与学生进行对话交流。
活动五：5分钟小测
1. (30分)一次函数y=k x +b图象如图所示：
（1）当x _____时，y=0; 当y_____时，x=0
（2）当x __________时，y>0;
（3）当y__________时，x > ?2;
2. (10分)已知函数y= ?2 x +8，当x __________________时，y≤ ?2。
3. (10分)已知一次函数 y1 = ?x+1，y2=x ?1，当x__________时，y1 ≤ y2。（本题可以用换元思想解决或者作一次函数图象，从图象中直观得到答案，课后完成两种方法求解）
设计意图：对学生在本节课的学习进行评价；根据反馈的问题，及时调整教学。
学生活动：独立完成。
教师活动：投影答案，巡堂辅导。
活动六：总结反思
本节课你收获到什么？
作业布置（分层作业）
A组
1. 一次函数y=k x +b图象如图所示：
（1）当x __________时，y< ?3;
（2）当y__________时，x < ?2;
（3）当 ?3< y <0时，x的取值范围是______________。
2. 已知函数y= ?2 x +3，当x __________________时，y≤1。
B组
3. 已知一次函数 y1 = ?x+1，y2=x ?1，当x__________时，y1 ≤ y2。
4. 如图，已经函数y1=0.5x?2和y2= ?3 x +5相交于点A(2,-1)，
直接利用图象，求出当x取何值时，有 y1 ≥ y2？
C组(拓展题)
如图直线是一次函数的图象，曲线是二次函数的图象，
请用图象直接回答以下问题：
（1）当x取何值是，y1 = y2 ？
（2）当x取何值是，y1 < y2？
板书设置
课件15张PPT。新人教版19.2.3一次函数与方程、不等式一次函数与一元一次不等式东莞横沥中学陈建平视频活动一：知识回顾（1）形如________（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。函数y=3x+2的图象不经过第___象限。（2）含有____个未知数，未知数的次数是___的____式，叫做一元一次不等式。如：3x+2>0。（3）作一次函数图像的步骤是：________，描点，_________。（4）一次函数图像上的点、点的___坐标、点的____坐标，三者是形与数的一一对应关系。y=kx+b四11不等列表连线横纵自学反馈（尝试用刚学的数学语言表述解题过程）P(x0,y0)x0y0xyO-13一次函数y=3x+3图象如图所示：（1）当x__________时，y=0;
（2）当x__________时，y<0;
（3）当x__________时，y>3;自学反馈探究视频探究1（尝试用刚学的数学语言表述解题过程）P(x0,y0)x0y0xyO-13一次函数y=3x+3图象如图所示：（1）当y取何值时，x=0?
（2）当y取何值时，x>0?
（3）当y取何值时，-1（1）当x_____时，y=0; 当y_____时，x=0
（2）当x__________时，y>0;
（3）当y__________时，x>-2;-2， 2. (10分)已知函数y= ?2x+8，当x_________时，y ≤ ?2。3. (10分)已知一次函数y1 = ? x +1和y2 = x ?1，当x_________（本题可以用换元思想解决或者作一次函数图象，从图象中直观得到答案，课后完成两种方法求解）时， y1 ≥ y2 。= - 2= - 3< - 2< 0≥ 5≤ 1C组（拓展题）如图直线y1是一次函数的图象，曲线y2是二次函数的图象，请用图象直接回答以下问题：（2）当x取何值时，有 y1 < y2？（1）当x取何值时，有 y1 = y2？y1y2变式x视频小结通过本节课的学习，我们有什么收获？1.能用一次函数图象解决一元一次不等式问题，提高了几何直观的能力。2.理解一次函数与一元一次不等式的代数联系是换元思想。3.体验数形结合的数学美，通这合作交流，提高了数学语言表达能力和团队合作精神，增强学好数学的信心。感谢大家的聆听！下面3个不等式有什么共同点和不同点？（1）?x+2 > 2（2）?x+2 < 0（3）?x+2 < ? 1式子左边都是?x+2 式子右边都是数共同点：不同点：不等号不同式子右边的数不同你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？（1）?x+2 > 2（2）?x+2 < 0（3）?x+2 < ? 1y = ?x+2 y > 2y < ? 1y < 0对于一次函数y = ?x+2 ，当x取什么值时，函数值y > 2？对于一次函数y = ?x+2 ，当x取什么值时，函数值y < 0？对于一次函数y = ?x+2 ，当x取什么值时，函数值y < ?1？y = ?x+2 y = ?x+2 我们从不等式的式子形式来看发现：（1）?x+2 > 2（2）?x+2 < 0（3）?x+2 < ? 1y > 2y < ? 1y < 0y = ?x+2 一次函数与一元一次不等式的代数联系为：y = ?x+2 y = ?x+2 换元的数学思想在直线y= ?x+2上取纵坐标y分别满足y >2、 y <0 、 y <-1的点，它们的横坐标分别满足什么条件。P( , )x0xyO220022（0，2）（2，0）?x+2 > 2?x+2 < 0?x+2 < ? 1用一次函数y = ?x+2 图象来对“解这3个不等式”进行解释列表：描点：连线：点的横坐标、三者之间的对应关系图象上的点、点的纵坐标x0课前探究一次函数与一元一次不等式的几何联系为：数形结合的数学思想《一元一次不等式与一次函数》导学案
【预习案】
1. 知识回顾
（1）形如___________（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。函数y=3x+2的图象不经过第___象限。
（2）含有____个未知数，未知数的次数是___的_____式，叫做一元一次不等式。如：3x+2>0。
（3）作一次函数图像的步骤是：________，描点，_________。
（4）一次函数图像上的点、点的_____坐标、点的______坐标，三者是形与数的一一对应关系。
2. 创设情景，引入新知
下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？
（1）?x+2>2 （2）?x+2<0 （3）?x+2<-1
思考完后，请观看微视频。
3. 自学反馈
一次函数y=3 x +3图象如图所示：
（1）当x __________时，y=0;
（2）当x __________时，y<0;
（3）当x __________时，y>3;
【探究案】
1. 一次函数y=3 x +3图象如图所示：
（1）当y取何值时，x =0?
（2）当y取何值时，x >0?
（3）当y取何值时，-1< x <0?
2. 如图，已知函数y1=0.5x?2和y2= ?3 x +5相交于点A(2,-1)，
（1）利用图象求出，当x取何值时，有y1 = y2？
（2）利用图象求出，当x取何值时，有 y1< y2？
【反馈测试】5分钟小测（共50分）
1. (30分)一次函数y=k x +b图象如图所示：
（1）当x _____时，y=0; 当y_____时，x=0
（2）当x __________时，y>0;
（3）当y__________时，x > ?2;
2. (10分)已知函数y= ?2 x +8，当x __________________时，y≤ ?2。
3. (10分)已知一次函数 y1 = ?x+1，y2=x ?1，当x__________时，y1 ≤ y2。（本题可以用换元思想解决或者作一次函数图象，从图象中直观得到答案，课后完成两种方法求解）
【总结反思】
本节课你收获到什么？
课后作业（分层作业）
A组
1. 一次函数y=k x +b图象如图所示：
（1）当x __________时，y< ?3;
（2）当y__________时，x < ?2;
（3）当 ?3< y <0时，x的取值范围是______________。
2. 已知函数y= ?2 x +3，当x __________________时，y≤1。
B组
3. 已知一次函数 y1 = ?x+1，y2=x ?1，当x__________时，y1 ≤ y2。
4. 如图，已经函数y1=0.5x?2和y2= ?3 x +5相交于点A(2,-1)，
直接利用图象，求出当x取何值时，有 y1 ≥ y2？
C组(拓展题)（有微课讲解视频）
如图直线是一次函数的图象，曲线是二次函数的图象，
请用图象直接回答以下问题：
（1）当x取何值是，y1 = y2 ？
（2）当x取何值是，y1 < y2？
《一次函数与一元一次不等式》教学反思
横沥中学 陈建平
本节课遵循从简单到复杂，从生动直观到抽象思维的认识规律，精心设计了一系列数学活动，借助几何画板进行有关实验，环环紧扣，层层深入，从而最大限度地调动了学生的积极性，把教师的教学过程转化为学生观察、探索、猜测、总结归纳的过程。为了对知识的发生过程进行研究，首先引导学生进行实验探索，在探索中发现新的结论，再加以验证，将一次函数与一元一次不等式之间的联系分为代数联系及几何联系，从而突破了本节课的教学难点，使学生在获得知识的过程中，感受到图形的变化，使得课堂教学严谨、有趣，让学生学得轻松。
设计特色：课前学生完成导学案中的知识回顾，观看约6分多钟的微课视频，自主完成自学反馈→课堂上学生展示课前预习的成果及反馈情况给教师及时调整教学过程→利用几何画板进行动态分析、探究，培养学生换元和数形结合的数学思想，提高几何直观的能力→学生完成反馈测试，体验学生成功感，及时巩固新学知识→课后安排分层练习，实现个性化教学。
教学过程：
一、教学过程的反思
1.“知识回顾”反思。
题目设计合理，充分唤起学生已有的相关知识，如：一次函数的定义，k、b对函数图象的影响；一元一次不等式的定义；作一次函数图象的步骤；函数图象上的点、点的横坐标与点的纵坐标的对应关系。课堂上通过让一个学生把解答的思考过程展示给学生，首先培养了该学生的数学表达能力，同时也鼓励所有学生向榜样学习，自己也能把做题的思考过程“说”出来。
2.“创设情境，引入新知”反思。
这部分的内容最多，因为学生必须通过课前观看约6分多钟的视频，初步理解一次函数与一元一次不等式的代数联系及几何联系，初步学会换元与数形结合的数学思相。教师必须在课堂上把重点的内容指出，引起学生重视，通过板书，强化学生对新知识的认知。学生也从微课的视频中初步学会如何用数学语言把思考过程表达出来。
3. “自学反馈”反思。
通过自学反馈可以评价学生自学部分的效果。从课堂上学生的展示自学成果的过程中可以看出，设计是成功的。微课对教学的容量及效果有正面的促进作用。学生表达完思考过程后，教师播放该题的解题过程“微视频”。学生观看过程中，教师到学生中去，协助某些学生解决自学反馈的问题。
4. “自主探究、合作交流”反思。
本部分共设计了2个探究题，第1个题是自学反馈题的变式，从反向思考；第2个题加入多一条直线，让学生拓展思维解决新的问题。经过前3个数学活动，学生已经初步掌握从函数图像上的点、点的横坐标、点的纵坐标三者的对应关系来解决一元一次不等式的问题。通过此题可以培养学生从反向思维的角度对思考问题，提高几何直观水平。学生先独立思考，再小组互相交流，在几何画板动态显示的探索过程中领悟几何直观在解题应用。教师引导学生独立思考、小组交流。播放微课视频的同时下到学生中，对个别学生进行辅导，与学生进行对话交流。整个探究过程，学生学习氛活跃，自主学习程度高。
4. “反馈测试”反思。
对学生在本节课的学习进行评价；根据反馈的问题，及时调整教学。课堂实况反映大部分学生都能完成并做对，只有极小部分学生做错，但此部分学生自动请教小组的组长或组员。已经达到预先设计的效果。
二、总结与不足反思
1. 总结：
随着社会的发展，新课程改革的不断深入，数学课已不仅是一些数学知识的学习，更重要的是体现知识的认知发展过程。教育的目的是培养具有独立思考能力、具有实践精神和创新能力的人。一堂好课应该是学生最大限度参与的课。《数学课程标准》中指出学生的数学学习应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，内容要有利与学生主动进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流。内容的呈现应采取不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。本节课基本上能达到目标，并在学生参与课堂，成为课堂主人方面做了大量的教学过程设计，教师主要是起引导、启发的作用。从多角度、多层面上让学生更好掌握一次函数与一元一次不等式之间的关系。数学活动的设置具有一定的层次性，让学生学得更轻松更有自信，激发学习数学的兴趣。
2. 不足之处：
由于如何结合“微课”去生成高效课堂的研究尚不成熟，学生也不配备相应的硬件，本节课的效果不能完全体现。极少部分学生在课堂上观看解题微视频时，注意力不集中，其中可能是数学基础问题，不能听明白视频所讲内容，于是会出现别人在看，自已在思考刚才所讲题目的过程。不过这样应该也比传统的学生方式好些，至少所有学生都在学习状态中，不一定完全按照教师的设计进行学习，课堂是生成的课堂。由于本节课的容易大，探究题难度高，学生做题思考的时间多些，因此时间上比45分钟多3分钟。虽然现实中课前有3分钟的预备时间可以用，也符合现实的教学时间，但也应该争取在45分钟内完成。
