《实际问题与二元一次方程组》练习与评测
一、达标训练
1.某哨卡运回一箱苹果，若每个战士分6个，则少6个；若每个战士分5个，则多5个，那么这个哨卡共有________名战士，箱中有_______个苹果．
2.如果长方形的周长是20cm，长比宽多2cm．若设长方形的长为xcm，宽为ycm，则所列方程组为_________．
3.羊圈里白羊的只数比黑羊的脚数少，黑羊的只数比白羊的脚数少，则白羊有______只，黑羊有______只．
4.根据下图提供的信息，求每件恤衫和每瓶矿泉水的价格．
5.现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，用多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做盒底可以使盒身与盒底正好配套？
二、拓展提升
6.某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：
捐款（元）
1
2
3
4
人数
6
7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．
若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组（ ）
A． B． C． D．
7．某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐. （1）求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？ （2）若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5300名学生就餐？请说明理由.
8.长18米的钢材，要锯成10段，而每段的长只能取“1米或2米”两种型号之一，小明估计2米的有3段，你们认为他估计的是否准确？为什么呢？那2米和1米的各应取多少段？
课件17张PPT。实际问题与二元一次方程组东莞市东城初级中学
谢 维第八章 二元一次方程组（第1课时）列方程解应用题的基本步骤：(1)审
(2)找
(3)设
(4)列
(5)解
(6)答——弄清已知量、未知量；——找等量关系；——设未知数；——列方程；——解方程；——写出答案，检验结果是否合理；温故知新 养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940 kg ．饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需饲料18～20 kg ，每只小牛1天约需饲料7 ～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？问题1 如何理解“通过计算检验他的估计”这句话？ 探究一养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；
一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940 kg．
饲养员李大叔估计平均
每只大牛1天约需饲料18～20 kg，
每只小牛1天约需饲料7 ～8 kg.
你能否通过计算检验他的估计？问题2 题目中哪些是已知量，哪些是未知量 ？有几个等量关系？大、小牛的数量1天需用饲料总量？问题3 如何解决这一问题？问题4 请你解这个方程组，并交流一下你是如何解这个方程组的？ 问题5 饲养员李大叔的估计正确吗？ 养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940 kg ．饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需饲料18～20 kg ，每只小牛1天约需饲料7 ～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？解：设每头大牛1天用饲料x kg,每头小牛1天用饲料y kg，根据题意，得解：设每头大牛1天用饲料x kg,每头小牛1天用饲料y kg，答：每只大牛1天约需饲料____kg，每只小牛1天约需饲料___kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计_______,对小牛的食量估计_____.根据题意，得解这个方程组，得x=20y =5205较准确偏高问题6 列一元一次方程能解决这个问题吗？ 养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940 kg ．饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需饲料18～20 kg ，每只小牛1天约需饲料7 ～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？解：设每头大牛1天用饲料x kg,每头小牛1天用饲料( )kg，（1）列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？关键步骤是什么？探究一 小结（2）你认为列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题有哪些相同点和不同点？不同点：2个等量关系，2个未知数，2个方程找等量关系数学问题的解
（二元一次方程组的解）问题答案设未知数，列方程组转化解方程组消元检验数学建模实际问题数学问题
（二元一次方程组） 养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需饲料18～20 kg ，每只小牛1天约需饲料7 ～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？x=20y =5问题1 本题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出示意图吗？如何将一个长方形分成两个小长方形？ 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？探究二x my m 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？问题2 什么是单位面积产量？它与面积、总产量之间有什么关系？方案一问题3 题目中哪些是已知量，哪些是未知量？有几个等量关系？ 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？100mx my m200m解：设AE=x m,BE=y m.答: 过长方形土地的长边上离一端约_____处，作这条边的垂线,把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种__种作物，较小一块地种__种作物.由题意,得x+y=200100x:（2×100y） =3:4解这个方程组,得x=120y =80120m乙甲 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？方案二课堂小结（1）列方程组解决实际问题的一般步骤和关键步骤；（2）列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的相同点和不同点；（3）运用方程组解决实际问题的建模过程教科书 习题8.3 第2、3、4、5题作业布置 一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解!
——法国数学家 笛卡儿结束语8.3实际问题与二元一次方程组 第一课时
东莞市东城初级中学 谢 维
【教学目标】
1、知识目标：能正确分析实际问题中的数量关系，建立二元一次方程组模型并能解决实际问题。
2、能力目标：通过问题探究，能将实际问题转化为数学问题，掌握列方程组解决实际问题的方法，进一步提学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感目标：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力，培养严谨慎密的科学习惯，继续渗透转化的数学思想。
4、解决问题：使学生能够根据实际问题，寻找其中的相等关系，最终转化为数学问题求解。
【学情分析】
七年级学生处于从小学走进中学的过渡期，他们对新事物比较感兴趣、直观形象思维比较成熟，但抽象思维能力还比较薄弱。在这节课之前的学习中，学生已经掌握了用方程组表示问题中的条件及解方程组的相关知识，而且探究了用方程组解决具有现实意义的实际问题，并有运用所学知识解决实际问题的愿望。虽然有上学期实际问题与一元一次方程的学习基础，但学生面对应用题仍然是谈题色变。在分析和解决问题的能力上还极不成熟。
【教学内容分析】
本节内容是人教版七年级下册第8章第三节第一课时，既是前面知识的巩固与提高，又是后面探究3学习的基础。本节课要研究两个问题，“探究1”中的数量关系比较简单，但需要学生理解如何确定未知数；“探究2”中的数量关系比较复杂，象农作物总产量之比，单位面积产量之比，面积比，长度比之间的转化是列方程组的关键，通过“探究1”的学习，学生初步认识用方程组解决实际问题的建模过程，可以尝试独立解决“探究2”，加深对建模过程的认识，同时关注如何用数学问题的答案解决具体的实际问题。
实际生活中常会有遇到要解决两个未知数的问题，这两个未知数之间存在数量关系，运用二元一次方程组就可以解决这类问题，而分析问题中的数量关系→发现等量关系→列二元一次方程组→解出二元一次方程组→得出实际问题的答案，是一典型的数学建模过程，是数学应用的具体体现。它对解决实际问题具有很强的示范作用。
【教学重点难点】
重点：根据题意找出相等关系，列出二元一次方程组解决实际问题．
难点：发现问题中隐含的未知数，寻找等量关系并列出方程组，由方程组的解解决实际问题。
【教法分析】
让学生自主探究、合作交流，应用启发诱导，讲练结合的教学模式。教学过程中给学生充足的时间去思考、交流、整理、反思。让学生在分析和解决问题的过程中体验探究的乐趣，从而更好地激发学生的数学思维。探究的问题比较复杂。设计简单的准备题、提示解题方向的思考题,并用列表法引导学生学会分析和表达。减少坡度、分散难点。
【教学环节与活动】
一、温故知新
列方程解应用题的基本步骤：（1）审（2）找（3）设（4）列（5）解（6）答。
二、探究新知
探究一 养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940 kg。饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需饲料18～20 kg，每只小牛1天约需饲料7～8 kg。你能否通过计算检验他的估计？
问题1 如何理解“通过计算检验他的估计”这句话？
[设计意图]通过问题使学生理解估计值不是已知量，而是未知量，懂得估计值要用准确值来检验，从而明确未知数．引导学生找出未知数是求一头大牛和每头小牛一天分别约用祠料。
问题2 题目中哪些是已知量，哪些是未知量 ？有几个等量关系？
[设计意图]学生自主讨论，自由发言，得到两个未知数，两个等量关系，并构建等量关系框架图
问题3 如何解决这一问题？
[设计意图]根据发现的等量关系，设每头大牛和每头小牛1天分别约用x kg和y kg祠料，列出方程组:
问题4 请你解这个方程组，并交流一下你是如何解这个方程组的？
[设计意图]学生独立解方程，有的学生直接用消元法，有点学生先化简整理方程，再用消元法。引导学生对比，发现先化简再解更简捷。
问题5 饲养员李大叔的估计正确吗？
[设计意图]引导学生得出答案：每只大牛1天约需饲料20kg，每只小牛1天约需饲料5kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较为准确,对小牛的食量估计偏高.
问题6 列一元一次方程能解决这个问题吗？
[设计意图]让学生体会列方程组比列一元一次方程更简单，更直接。
探究一 小结
（1）列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？关键步骤是什么？
（2）你认为列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题有哪些相同点和不同点？
归纳：数学建模
探究二
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
问题1 本题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出示意图吗？如何将一个长方形分成两个小长方形？
[设计意图]画图分析题意，把文字语言转化为图形语言，学生讨论交流确定出两种可行方案。并引导学生找出问题中的隐藏未知量。
问题2 什么是单位面积产量？它与面积、总产量之间有什么关系？
[设计意图]解决问题中出现的陌生名词，找出本题中的核心公式。
问题3 题目中哪些是已知量，哪些是未知量？有几个等量关系？
[设计意图]让学生按照探究一的基本步骤，找出已知量和未知量、等量关系。
问题4 如何根据已知量列出方程？解方程？你能表述你的种植方案？
三、课堂小结
（1）列方程组解决实际问题的一般步骤和关键步骤；
（2）列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的相同点和不同点；
（3）运用方程组解决实际问题的建模过程。
四、作业布置
课本 习题8.3 第2、3、4、5题
五、结束语
一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解! ——法国数学家 笛卡儿
【教学资源】《义务教育教科书教师教学用书数学七年级下册》
【教学评价】
本课所提供的例题、练习题、作业题突出体现以下特点：
1、活动性：生在实际的数学问题中展开了讨论，贴近生活，学生对学习数学更加的有兴趣。
2、探索性：题解决的策略不易获得，问题中的数量关系不易发现，问题中的未知数不易设定，这为学生开展探究活动提供了机会。
3、开放性：决问题的策略、方法、问题的结论的开放性设计，意在增强学生的创新意识和培养勇于挑战、克服困难的能力。
4、分层性：是来自农村的中下层的班级，所以在讲题时都要分层次来讲，这样才能让她们学得更多
本节课的设计是从相对简单的实际问题入手，让学生感受到用数学思想解决实际问题的成功体验，初步形成提取数学信息、解决实际问题的能力.
让学生自主探究、合作交流。教师抓住关键问题组织教学。根据建构主义理念，学生完全有能力利用原有的知识去同化新知识，并主动地纳入自己的知识体系中.
作为教师，要想真正搞好以探究活动为主的课堂教学，必须掌握多种教学思想方法和教学技能，不断更新与改变教学观念和教学态度，在课堂教学中始终牢记：学生才是学习的主体，学生才是课堂的主体；教师只是课堂的组织者、引导者和合作者。 因此，课堂教学过程的设计，也必须体现学生的主体性。
总之，这节课是本着教师只是学生学习的引导者，知识是由学生自主构建的原则设计的。
