2015年东莞市初中数学“优课”教学设计
基本信息
课题名称
8.4 三元一次方程组的解法
作者姓名
李苑华
所属学校
东莞市寮步中学
教材分析
课程标准的描述
三元一次方程组的解法是九年义务教育课程标准实验教科书（人教版）七年级下册第八章第四节的内容。在此之前，学生已经学习了一元一次方程和二元一次方程组的解法等有关内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。同时，本节课的学习，也是对二元一次方程解法的深入再学习。学习三元一次方程组的解法同时也是对学生代入法、加减法消元的检验，是对二元一次方程组解法的提高，本课内容虽然是选学内容，但为了学生整体水平的提高，以及更好地学习后续的二次函数等知识，故将本节课作为一堂主要课进行学习。
教学内容分析
三元一次方程组的解法是继二元一次方程组后的内容，目的是通过解三元一次方程组的过程进一步体会消元——代入消元、加减消元的思想方法，同时为二次函数等知识的学习做一定的准备，在内容上起着承上启下的作用。
学情分析
教学对象分析
学生通过学习二元一次方程组的解法已经初步形成了解多元方程组的基本思路——消元。但对消元的方法——代入法和加减法还不能灵活运用，并且学生的计算能力也不强，因此通过本节课的学习能让学生更深地体会消元的思想和应用方法，提高学生的运算能力。
教学目标
教学目标
知识技能：了解三元一次方程组的定义；
掌握三元一次方程组的解法。
2．数学思考：使学生进一步体验解三元方程组的过程，熟悉三元方程组的解法，
进而再次感受消元转化的思想。
3．解决问题：掌握解三元一次方程组的基本思路；
使学生能够顺利地解简单的三元一次方程组。
4．情感态度：使学生在学习的过程中体会数学思想，在合作中感受成功，体验成长。
教学重点和难点
项 目
内 容
解 决 措 施
教学重点
三元一次方程组的解法及主要思路
观察方程—小组讨论该如何消元—探究解法—总结三元一次方程解法”的四步教学
教学难点
消元转化思想的理解
和应用
类比二元一次方程组的消元思想来解决问题
教学策略
教学策略的简要阐述
与引入二元一次方程组时，类比一元一次方程一样，我在引入三元一次方程组时，类比二元一次方程组——类比方程组的形式和解法。同二元一方程组的展开模式一样，我按照“提出问题—建立数学模型”“观察—讨论—探究”“合作—交流—收获”等策略进行本节课的教学。
教学过程
课堂教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图、依据
创设
问题
情境
观察下列方程组，你有什么发现？
仔细观察，学生不难发现，它含有三个未知数，三个方程，每个方程中含未知数的项的次数都是1
创设简单问题情境，激发学生求知欲，引出本节要研究的内容。在学生活动的基础上，适时给出三元一次方程组的概念，并激发学生探究其解法的热情。
二、议一议
如何解该三元一次方程组呢？
学生质疑：是不是类似于解二元一次方程组一样要先把三元化为二元，再把二元化为一元呢？
简洁明了的提问，引导学生主体探究，培养学生自主解决问题的能力。让学生积极动脑探索，目的是建立与学生的已有知识的联系，有助于后续问题的解决，也易于学生接受。
三、试一试
鼓励学生尝试解三元一次方程组：
学生大胆地用已学过的代入消元法解方程组，并总结出这类三元一次方程组的解法步骤：
①把已知的未知数的值代入其它两个方程，得到一个二元一次方程组；②解这个二元一次方程组；
③写出三元一次方程组的解。
根据建构主义主张教学应从学生已有的知识体系出发，我就引导学生类比二元一次方程组的解法，大胆探究三元一次方程组的解法，通过小组交流锻炼学生的合作能力，锻炼学生的思维严谨性，培养学生自主归纳方法的能力。
四、再试
一试
再尝试解下列方程组：
学生用刚刚总结的方法进一步加强用代入消元法解三元一次方程组的过程，很好地巩固了新知识。
通过学生的自主练习，巩固新学的知识，进一步强化三元一次方程组的解法以及思路．
五、三试
身手
解三元一次方程组：
让学生运用新学知识解决不同类型的题目，学会变式应用新知识。
通过变式练习，让学生自己梳理解题方法，并说出自己的理解，使学生深深地掌握三元一次方程组的解法，突出了本节课重点，也突破了本节课难点。
六、课堂
小结
三元一次方程组的解法的基本步骤：
将三元一次方程组通过消元变二元一次方程组，再消元变一元一次方程的过程。
学生小组讨论总结归纳出解三元一次方程组的基本思想。
在这一环节让学生畅所欲言的谈在这节课的得与失、感到困惑和疑难的地方、解方程的关键等等。教师在学生发言的基础上再提炼解方程时的基本思路，强化消元思想。
七、
挑
战
自
我
解下列三元一次方程组
学生自主分析：方程①中只含x,z,因此，
可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.
学生进一步地理解解三元一次方程组的关键是消元，而消元的方法有“代入”和“加减”两种方法，这一环节就进一步提升了学生选择适合的消元方法解方程的能力。
八、
跟
踪
训
练
解三元一次方程组：
学生自主分析发现：①中z 的系数是﹢1和②中z 的系数是﹣1，刚好相互抵消，可以用加减法先消去z。
跟踪训练是为了强化提升学生自主选择方法运用消元解三元一次方程组的能力，体现了学生的自主探索能力，使学生学习变“被动”为“主动”。
九、
课堂
小测
解下列方程组；
学生运用适当的方法规范地解三元一次方程组。
通过检测，教师可以及时地掌握本节课的教学效果，学生也可以明确知道自身的学习效果。
板书设计
标题：三元一次方程组的解法
课件 投影区
教师示范例题板演区
学生展示板演区
小结方法区
教学
特色
教学特色
类比迁移，举一反三，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组，并进一步应用于解其他多元一次方程组，同时根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧。教学形式新颖，以学生为主体，提倡小组合作，发挥生生互动，师生互动，提高课堂效率。
教学
反思
三元一次方程组的解法，是学生在具备二元一次方程组解法这一基础知识后的拓展内容。这节课是三元一次方程组的第一节新课，学生刚刚比较熟练二元一次方程组的解法，一下子来了三个未知数，很多都感觉比较晕，不知从何下手?，很难找到解决问题的突破口，因此在下一节课中教师应适当再进行巩固才行。三元一次方程组作为刻画现实问题的数学模型之一，它含有三个未知数，如何消元，先消哪个元是需要认真思考的。如何正确、灵活求解三元一次方程组是值得探究的问题。?
?在教学中，解决方程组的基本指导思想就是“消元”。而消元时，我注意引导学生先考虑好消去哪个未知数，再具体使用加减法和代入法进行消元，即根据不同的方程组结构特点，采取相应的消元策略是至关重要的。以此逐步培养学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力。?
本节课在教学时，将三元一次方程组的解法通过题目的特点进行归类教学，使学生在学习的过程中注意对基础知识进行提炼、归纳、整理，对基本解法的清晰认识，通过必要的练习，达到掌握基础知识和提高基本技能的目的。?
寮步中学初一数学导学案
课题：8.4三元一次方程组解法举例 课型：新授
设计人：李苑华 上课时间：_____年＿ 月＿ 日（第＿周星期＿ ）
班别：初一（＿）班 学号：______ 姓名：______________
学习目标：1、了解三元一次方程组的概念；
2、了解解三元一次方程组的思想——通过消元转化为二元一次方程组；
3、能解三元一次方程组，并能用三元一次方程组解决实际问题。
学习重点：能解三元一次方程组，并能用三元一次方程组解决实际问题。
学习难点：能解三元一次方程组，并能用三元一次方程组解决实际问题。
学习过程：
活动一、三元一次方程组的概念
阅读课本第111页~112页例1前面，回答下列问题
1、含有______个相同的未知数，每个方程中含有的未知数的项的次数都是____，并且一共有____个方程，这样的方程组叫做______________________。
2、解三元一次方程组的基本思想是：通过“代入”或“加减”进行_________，把“三元”化成“_______”，使解三元一次方程组转化为解_______________，进而再转化为一元一次方程。 3x－y＋2z=3
3、解方程组 2x＋y－4z=11 ， 若要使运算简单，消元的方法应选__________。
7x＋y－5z=1 ,
A.先消去x B.先消去y C先消去z D 以上说法都不对
【小结】x、y、z三个字母中，只有y的系数为1或－1，所以先消去y简单。
活动二、三元一次方程组的解法
类型一：已知一个未知数的值
z=1 ①
例1、解方程组 x＋y＋z=6 ②
X－y＋z=2 ③
____________________ ④
解：把①代入②、③得 ____________________ ⑤
解这个方程组，得 x=______
y=______
所以，三元一次方程组的解为
x=______
y=______
z =_____
【小结】你能总结出这类三元一次方程组的解法步骤?
①把已知的未知数的值代入其它两个方程，得到一个二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组；
③写出三元一次方程组的解。
2x＋y＋z=8
练习4、解方程组 y=2
X－y＋z=4
类型二：方程组中某个方程缺少某个未知数
3x＋4z=7， ①
例2、解方程组 2x＋3y＋z=9， ②
5x－9y＋7z=8， ③
分析：方程①只含x，z，所以，可以由②、③消去y，得到一个只含有x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程。
解：②×_____＋③，得
___________________________ ④
①与④组成方程组 ______________________
_______________________
解这个方程组，得 x=_____
Z=_____
把x=_____，Z=_____代入②，解得 y =_____
所以，三元一次方程组的解为 x=_____
y =_____
Z=_____
【小结】你能总结出这类三元一次方程组的解法步骤?
①方程组中某个方程缺少某个未知数，从方程组中另外两个方程中消去这个未知数，得到一个二元一次方程；
②把①中得到的二元一次方程与方程组中缺少某个未知数的方程组成一个二元一次方程组；
③解这个二元一次方程组；
④把③中的解代入原方程组中某个方程，解出另一个未知数；
⑤写出三元一次方程组的解。
练习5、解三元一次方程组
x－2y =﹣9 4x－9y =17
⑴ y－z=3 ⑵ 3x＋y＋15z=18
2z＋x =47 x＋2y＋3z=2
类型三：方程组中所有方程不缺未知数
3x－y＋z=4 ①
例3、解方程组 2x＋3y－z=12 ②
x＋y＋z=6 ③
分析：因为 z 的系数是﹢1和﹣1，所以先消去z
解：①＋②，得 _______________________ ④
②＋③, 得________________________ ⑤
④与⑤组成方程组
解这个方程组，得
把x=_____，y =_____代入①，解得 ，Z=_____
所以，三元一次方程组的解为 x=_____
y =_____
Z=_____
【小结】你能总结出这类三元一次方程组的解法步骤?
①从方程组中两两个方程消去同一个未知数，得到一个二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组；
③把②中的解代入原方程组中任一个方程，解出另一个未知数；
④写出三元一次方程组的解。
2x＋4y＋3z=9 练习7、在等式y=ax＋bx＋c中，
练习6、解方程组 3x－2y＋5z=11 当x=﹣1时，y=0；当x=2时 ，y=3；
5x－6y＋7z=13 当x=5时，y=60；求a，b，c的值。
解三元一次方程组的基本思想是：通过“代入”或“加减”进行消元，“三元”化成“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程。这与解二元一次方程组的思路是一样的。
类型四：方程组中有比例关系
例4、解方程组 == ①
x－2y＋3z=22 ②
分析：因为①式是一个连等号，故可以根据其特点令其等于一个常数k，直接将三元转化为一元求解。
解：设=== k，则 x=_____，y =_____，Z=_____。
把它们代入②，解得 k=_____。
把k=_____代入，得x=_____，y =_____，Z=_____。
所以，三元一次方程组的解为
【小结】你能总结出这类三元一次方程组的解法步骤?
①根据比例关系引进一个常数k，根据比例关系把未知数都用常数k来表示；
②把用常数k来表示的未知数代入另一个方程；
③解出常数k的值，进而解出未知数的值；
④写出三元一次方程组的解。
x︰y = 3︰2
练习8、解方程组 y︰z = 5︰4
x＋y＋z = 56
小结与反思：
1、这节课我学到了：_______________________________________________________-_
___________________________________________________________________________
2、这节课我的优点是：______________________________________________________
___________________________________________________________________________
这节课我的缺点是：______________________________________________________
___________________________________________________________________________
自我检测：
1、解下列方程组；
⑴ ⑵
2、一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14.求这个三位数。
课件13张PPT。8.4 三元一次方程组的解法《初中数学“互动式教学”的实践探索》
课题研究展示课 授课者：寮步中学 李苑华1.经历探索三元一次方程组的解法的过程;
2.会解三元一次方程组;x+y+z=12，
x=4y，
x+2y+5z=22. 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.观察下列方程组，你有什么发现？如何解三元一次方程组呢？ 是不是类似于解二元一次方程组先把三元化为二元，再把二元化为一元呢？【试一试】解三元一次方程组分析：方程①中只含z,因此，
可以由① 代入②③消去z ，得到一个只含x，y的方程，重新组成一个二元一次方程组.x+y+z=12，
x=4y，
x+2y+5z=22.解三元一次方程组①
②
③【再试一试】y=2x-7，
5x+3y+2z=2，
3x-4z=4.解三元一次方程组①
②
③【三试身手】三元一次方程组的解法三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程通过刚才的学习，我们掌握了：解三元一次方程组分析：方程①中只含x,z,因此，
可以由②③消去y，得到一个只含
x，z的方程，与方程①组成一个二
元一次方程组.挑战自我：解：②×3＋③ ，得
11x＋10z=35 ④①与④组成方程组解这个方程组，得把x＝5，z＝-2代入②，得y=因此，这个三元一次方程组的解为3x＋4z=7， ①
2x＋3y＋z=9， ②
5x－9y＋7z=8. ③x=5，
y=
z=-2.4x-9y＝17，3x+y＋15z＝18，x＋2y+3z＝2.解三元一次方程组①
②
③三元一次方程组的解法三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程通过本课时的学习，需要我们掌握：速度就是一切，它是竞争不可或缺的因素。
