河北省衡水市2023-2024学年高二下学期6月学科素养评估(期末)考试+数学（PDF版，含解析）

高二 2023-2024 学年下学期学科素养评估（期末）数学学科试题 C．不等式 ax c 0的解集为 x | x 3
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） D 2
1
．不等式bx cx a 0的解集为 x | x 1
2
1．设全集U 是实数集 R，M {x | x 2 或 x 2}， N x |1 x 3 .如图所示，则阴影部分所表示 5 1 3 8．设 a ln ,b ,c e 4 ，比较 a,b,c的大小关系（ ）
4 4
的集合为（ ）
A． a b c B． a c b C． c b a D． c a b
A． x | 2 x 1 B． x | 2 x 1 C． x | 2 x 1 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选
D． x | 2 x 1 对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9．对于任意实数 a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ）
2．设 p ： x 0, ， x2 2x a 0，则使 p 为真命题的一个充分非必要条件是（ ）
A．若 a b， c d ，则 ac bd B．若 ac2 bc2 ，则 a b
A． a 1 B． a 0 C． a 1 D． a 2
C．若 a b，则 1 1a b D
b b 1
．若 a b 0 ，则 a a 1
3 f x x2 9 1．已知二次函数 2x m n x R 的值域为 0, ，若m 0， n 0，则 的最小值
m n 10．下列说法正确的是（ ）
为（ ）
A． y 1 x 1 x 与 y 1 x2 表示同一个函数
A．9 B．12 C．16 D．20
B．函数 f 2x 1 1, 2 的定义域为( - 1, 2)，则函数 f 1 x 的定义域为 2,4 4．已知函数 f x 1 ax 在区间 上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ）

1 1 x
2 ax 5 x 1
,0 A． B． 1,0 C． ,

D

． 0,
C
2 ．已知函数
f x a 在 , 上是增函数，则实数 a的取值范围是 3, 1
2 (x 1)
x
5．已知1 a b 4， 1 a b 2 ，则3a b 的取值范围是（ ） 1
D ．函数 y 1 x 1 2x 的值域为 , 2
5 19
A． , B． 8,1 C． 1,8 D． 1,8 2 2 11．已知函数 f x x 1 ex ，则下列结论正确的是（ ）
f x x f f x x 4 f 3 16．已知 是定义域为 R 的单调函数，且对任意实数 ，都有 ，则 的值为 A． f x 在区间 2, 上单调递增 B． f x 的最小值为 e2
（ ） C．方程 f x 2的解有 2 个 D．导函数 f x 的极值点为 3
A．3 B．5 C．7 D．9
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
7．已知关于 x 的不等式 ax2 bx c 0的解集为 x | 1 x 3 ，则下列结论正确的是（ ） 12．已知 a，b 0且 ab a b 3，则 a b 的取值范围为 .
A．b 2a 13．已知函数 f x 的定义域为 R，对任意实数 x，y 都有 f (x y) f (x) f (y) 1，当 x 0时，
B． 4a 2b c 0 f (x) 1，且 f (2) 5，则关于 x 的不等式 f (x) f (4 3x) 6的解集为 .
14．已知函数 f x x2 2mx m 0 满足：① x 0,2 , f x 9；② x0 0, 2 , f x0 9，则m
的值为 ．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1 2
15．已知集合 A 3,5 ，集合B 18．已知函数 f (x) 2ln x ax (2a 1)x (a 0)x x a 1 x a 1 ． 0 2
(1)若曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线经过原点，求 a的值；
(1)当 a 5时，求 A R B ；
(2)求 f (x) 的单调区间；
(2)记 p ： x A，q： x B ，若 p 是q的必要不充分条件，求实数 a的取值范围．
(3)设 g(x) x2 2x，若对任意 s (0, 2]，均存在 t (0, 2]，使得 f (s) g(t)，求 a的取值范围.
16．已知函数 f x 对任意 x 满足：3 f x f 2 x 4x，二次函数 g x 满足： g x 2 g x 4x
且 g 1 4 .
(1)求 f x ， g x 的解析式；
(2)若 a 0，解关于 x 的不等式 a 1 x2 a 4 x 3 g x f x .
19．泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.
*
当 f x 在 x 0处的 n n N 阶导数都存在时，它的公式表达式如下：
f 0 2 f 0 3 f n 0 n
17 ．狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山 f x f 0 f 0 x x x x .注： f 0 表示函数 f x 在原点处2! 3! n!
形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产 的一阶导数， f 0 n表示在原点处的二阶导数，以此类推， f 0 n 3 表示在原点处的 n阶导数.
狗牯脑茶需投入年固定成本 3 万元，每生产 x（ x 4,27 ）吨另需投入流动成本 f x 万元，已知 (1)根据公式估算 cos1的值，精确到小数点后两位；
2
12 f x x2在年产量不足 吨时， 6x 47 324 x，在年产量不少于 12 吨时， f x 15x 93，每 (2)当 x 0时，比较 cosx与1 的大小，并证明；
x 2
千克狗牯脑茶售价 140 元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完． 1 1 1
* 1
2
2 3 n 2n 2n 1(3)设 n N ，证明： .
(1)写出年利润 g x （单位：万元）关于年产量 x（ x 4,27 ）（单位：吨）的函数解析式（年利润 tan1 tan 1 tan 1 tan 1 2n
2 3 n
＝年销售收入－年固定成本－流动成本）；
(2)年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
a 0 a 0
2 x 1 x 3 a b c=0 ax bx c=0的根为 1 ， 2 ，则 ，解之得 b 2a ，由b 2a ，可得选项
9a 3b c 0 c 3a
高二 2023-2024 学年下学期学科素养评估（期末）数学参考答案 A 判断错误； 4a 2b c 4a 4a 3a 3a 0 ，故选项 B 判断错误；不等式 ax c 0 可化为
ax 3a 0，解之得 x 3，故选项 C 判断正确；不等式bx2 cx a 0可化为 2ax2 3ax a 0 ，
1．A【详解】由图知：阴影部分为 U (M N ) ，而M N {x | x 2或 x 1}，所以
2 1即 2x 3x 1 0 ，解之得 x x 或 x 1 ，故选项 D 判断错误.故选：C 2
U (M N ) {x | 2 x 1} .故选：A 1
1
8 1 1．C【详解】由 a ln(1 ),b ,c e4 ，令 f (x) ln(1 x) x 且0 x 1，则
2 2．A【详解】解： p ： x 0, ， x2 2x a 0，若 p 为真命题，则 a x2 2x x 1 1 4 4恒
f (x) 1 x 1 0，所以 f (x) 递减，则 f (x) f (0) 0，故 ln(1 x) x ，则
2 1 x 1 x
成立，由于 x 0, ，所以 x 1 1 1，则 a 1 .则使 p 为真命题的一个充分非必要条件min
a ln(1 1 1 ) b ，令 g(x) ex 1 x 且0 x 1，则 g (x) ex 1 1 0，所以 g(x)递减，则
是 a 1 .故选：A. 4 4
1
g(x) g(1) 0 1 1
2 0, 4 4 m n 0 ，故 e
x 1 ，则
x b c e
4 ，综上， c b a .故选：C
3．C【详解】因为二次函数 f x x 2x m n x R 的值域为 ，故 即 4
9 1 9 1 m n 10 9n m 10 2 9 16 3 1 9．BD【详解】A 选项： 3 5，1 4，但是
3 1 5 4 ，A 不正确；B 选项：因为 2 2
m n 1，故 m ,n
ac bc
，当且仅当 时等号成
m n m n m n 4 4
1 1
9 1 成立，则 c2 0，那么 a b，B 正确；C 选项： 2 3，但是 ，C 不正确；对于 D，若
立，故 的最小值为 16，故选：C. 2 3
m n
b b 1 b a 1 a b 1 b a b b 1
4．B【详解】根据题意，设 t 1 ax，则 y t ，因为 y t 在 t 0, 上单调递增， a b 0 ，则 0 a a 1 a a 1 a a 1 ，即 ，故 D 正确.故选：BD a a 1
a 0
所以 t 1 ax在区间 1, 2 上单调递增，则有 1 a 0 1 x 0
1 a 0
，解得 ，故选：B．
10．ABD【详解】对 A： y 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 的定义域需满足
1 x 0
，
5．C【详解】3a b 2 a b a b , 2 2 a b 4，1 a b 4， 1 2 a b a b 8
解得 1 x 1， y 1 x2 的定义域需满足1 x2 0，解得 1 x 1，故两函数有相同的定义域及
故选：C
对应关系，故表示同一个函数，故 A 正确；对 B:函数 f 2x 1 的定义域为( - 1, 2)，所以
6．B【详解】由 f f x x 4，且 f x 是定义域为 R 的单调函数，可知 f x x 必是常数，设
1 x 2， 2 2x 4, 3 2x 1 3，所以 f x 的定义域为 3,3 ，对于函数 f 1 x ，由
f x x k ，（ k 为常数），得 f x x k ，且 f x k k 4，解得 k 2，∴ f x x 2，因此
a
1
f 3 5 .故选 B 2
3 1 x 3，得 2 x 4，所以函数 f 1 x 的定义域为 2,4 .对 C：由题意可得 a 0 ，
1 a 5 a
7．C【详解】关于 x 的不等式 ax2 bx c 0的解集为 x | 1 x 3 则 a<0且关于 x 的方程
13
a 2 14． 【详解】解：因为函数 f x x2 2mx m 0 满足：① x 0,2 , f x 9；②
2
解得 a 0 ，即 a 3, 2 ，故 C 错误；对 D：令 1 2x t ， t 0 x 1 t
4
，则 ，所以函数

a 3
2 x0 0,2 , f x0 9，即函数 f x x2 2mx m 0 在 0, 2 上的最大值为9，因为
t2 2 t 1
2 1
y 1 1 t 1 t t ，函数在 0,+ 上单调递增， t 0时， y 有最小值 ，所以函数 f (x) x2 2mx (x m)2 m2 ，对称轴是 x m2 ，开口向下，当 0 m 2时， f (x) 在 [0，m)递增，2 2 2 2
1
y 1 x 1 2x 的值域为 ,

.故 D 正确．故选：ABD. 在 (m ， 2]递减，故 f (x)max f (m) m
2 9
2 ，解得：
m 3，不合题意，m… 2 时， f (x) 在[0， 2]递

11．ABD【详解】易知 f x x 1 ex ，可得 f x x 2 ex，令 f x 0， x , 2 ，令 增，故 f x max f 2 4m 4 9 m
13 13
，解得： ，故答案为：
4 4
f x 0， x 2, ，故 f x 在 , 2 上单调递减，在 2, 上单调递增，故 f x 的最小 15．(1) 3,4 (2) 2,4
值为 f 1 2 2 ，故 A，B 正确，若讨论方程 f x 2的解，即讨论 g(x) x 1 ex 2的零点， 【详解】（1）解：由 x a 1 x a 1 0，解得 a 1 x a 1，所以e
易知 g 2 1 2 2 ， g 1 0，故 g 1 g 2 0，故由零点存在性定理得到存在 x0 2,1 作为 B x x a 1 x a 1 0 x | a 1 x a 1 ，当 a 5时B x | 4 x 6 ， e
g(x)的一个零点，而当 x 时， g(x) ，显然 g(x)在 , 2 x内无零点，故 g(x) x 1 e 2 所以 R B {x | x 4 或 x 6}，又 A 3,5 ，所以 A R B 3,4 ；
只有一个零点，即 f x 2只有一个解，故 C 错误，令 h(x) f x x 2 ex ，故 p q a 1 3（2）解：因为 是 的必要不充分条件，所以 B A ，所以 2 a 4
a
，解得 ，所以实数
1 5
h (x) x 3 ex ，令 h (x) 0，解得 x 3，而 h (0) 0， h ( 4) 0，故 x 3是 h (x)的变号零点，
a的取值范围为 2,4 .
即 x 3是 h(x) 的极值点，故得导函数 f x 的极值点为 3，故 D 正确.故选：ABD
2 16．(1) f x x 1
2
， g x x 2x 3 (2)答案见解析
12 6, a,b 0 ab a b 3 a b a b． 【详解】由题意 ，且 ，当且仅当
2 ab a b 3
时，即 a b 3
【详解】（1）3 f x f 2 x 4x ①，用2 x代替上式中的 x ，得3 f 2 x f x 8 4x ②，
2
t a b 0 t 3 t 时等号成立，令 ，则上式为： 2 ，即 t 4t 12 0 ，解得 t 6 或 t 2（舍），
2 联立①②，可得 f x x 1；设 g x ax2 bx c a 0 ，所以
所以 a b 的取值范围为 6, .故答案为： 6, . g x 2 g x a(x 2)2 b x 2 c ax2 bx c 4x ，即 4ax 4a 2b 4x
13． 1, 【详解】任取 x1 x2，从而 f (x2 ) f (x1) f (x2 x1 x1) f (x1) f (x2 x1) 1 ,因为 4a 4
所以 ，解得 a 1，b 2，又 g 1 4，得 c 3，所以 g x x2 2x 3
4a 2b
.
0
x2 x1 0，所以 f (x2 x1) 1，所以 f (x2 ) f (x1) 0，则 f x 在 R 上单调递增．不等式
（2 2）因为 a 1 x a 4 x 3 g x f x ax2，即 a 1 x 1 0，化简得，
f (x) f (4 3x) 6等价于不等式 f (x) f (4 3x) 1 5，即 f (x 4 3x) f (2)．因为 f x 在 R 上
x 1 ax 1 0，
单调递增，所以 4 2x 2，解得 x 1．故答案为： 1,
y 3a 1 a 1 (x 1) (0,0) 3a1 a 1 1 1 a 1 为： ，因为切线经过 ，所以 1 a 1 a 4①当 1，即 0，即 0 a 1时，不等式的解为 x x 或 x 1 ，解得 ． ；②当 1，即 0， 2a 2a a a a 1 2
（2）解：由题可知 f (x) 的定义域为 (0, )， f (x) [ax (2a 1)x 2]，
x
1 1
即 a 1，当 a 1时，不等式的解为 x x 或 x 1 ，③当 1，即 a 1时， (x 1)2 0，解得 1 1 1
a a 令 f (x) 0，则 ax2 (2a 1)x 2 0，解得 x 或 x 2，因为 a 0,所以 0 ，所以 2， a a a
f (x) 0 2 1 x x R x 1 x x 1 x 1 令 ，即 ax (2a 1)x 2 0 ，解得： x 2，令 f (x) 0 ，即 ax
2 (2a 1)x 2 0，
且 ，综上所述，当 0 a 1时，不等式的解为 或 ；当 a 1时，不等式的 a
a 1
解得： x 或 x 2，又 f (x) 的定义域为 (0, )，所以， f (x) 增区间为 (0,2)，减区间为
解为 x x R 1且 x 1 ；当 a 1时，不等式的解为 x x 或 x 1a
a
.
(2, ) ．
x2 20x 50，x
4,12
17．(1) g x 324 （3）解：题设条件等价于 f (s)在 (0, 2]上的最大值小于 g(t)在 (0, 2]上的最大值．
x 90，x 12,27 x
因为 g(t) t 2 2t t 1 2 1，所以函数 g(t)在区间 (0, 2]的最大值为 0 ，由（2）得函数 f (s)在 (0,2)
(2)当年产量为 18 吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是 54 万元
(0, 2] f (s) f (2) 2ln 2 2a 2
【详解】（1）由题意知，1 吨狗牯脑茶售价为 14 万元，当 x 4,12 上单调递增，故在区间 上 max ，所以 2ln 2 2a 2 0 ，即 ln 2 a 1 0，时，
故 a 1 ln 2，所以 a的取值范围是 (0,1 ln 2)．
g x 14x x2 6x 47 3 x2 20x 50，当 x 12, 27 时，
2
19．(1) 0.54 (2) cosx x 1 ，证明见解析(3)证明见解析
g x 14x 15x 324 93 3 x 324 2 90 ，故年利润 g x （万元）关于年产量 x（吨）的函
x x 2 4 6 1 1 1
【详解】（1）由公式可得 cosx x x x 1 ，所以 cos1 1 0.54 .
x2 20x 50, x 4,12 2! 4! 6! 2! 4! 6!
数解析式为 g x
x 324
． 2 4 6 2
90, x 12, 27 2 1
x x x x
（ ）由（ ）得 cosx 1 ，得到结论：当 x 0时， cosx 1
x 2! 4! 6! 2
2
（2）当 x 4,12 时， g x x2 20x 50 x 10 50 ，当 x 10 时， g x 取得最大值 x2
证明：令 g x cosx 1 (x 0)，则 g x sinx x(x 0)，令 h x sinx x(x 0)，则
2
g 10 50 x 12, 27 g x x 324 90 90 x 324．当 时， 90 2 x
324
90 36 54．
x x x h x cosx 1 0，所以函数 h x 在 0, 上单调递增，即当 x 0时， h x h 0 0，
324
当且仅当 x ，即 x 18时取等号，即当 x 18时， g x 取得最大值 g 18 54．∵50＜54，∴当 所以 g x 0在 0, 上恒成立，所以函数 g x 在 0, 上单调递增，即当 x 0时，
x
2
年产量为 18 吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是 54 万元. g x g 0 0 x，故当 x 0时， cosx 1 .
2
18．(1) a 4 (2)增区间为 (0,2)，减区间为 (2, ) ；(3) (0,1 ln 2)
* 0 1 π3 cos 1 0,sin 1 0,1 x
2 x2
（ ）因为 n N ，所以 ，则 0，由（2）可得： cosx 1 且 x sinx，
1 2 2 n 2 n n 2 2
【详解】（1）解：（1）由 f (x) 2ln x ax (2a 1)x (a 0)，可得 f (x) ax 2a 1．
2 x 1 1 1 1 1
2
cos
因为 f (1) 2 a 2a 1 a 1， f (1)
1 a 2a 3 3a 1 1 1 1 1 a 1，所以切点坐标为 (1, 1)，切线方程 故 n 1 n 2 n 1 1 1 ，即 1 2 ， 2 2 2 2 tan1 2 1 2
tan 1 ntan 1 nsin 1 n 1 2 n
n n n n
1 1 1
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 n 1 1 1 1
tan 1 2 2
2 2 1 ， 2 2 2 tan 1 2

2 3
，

，所以，
tan 1 2 n 1 n
2 3 n
1 1 1
1 1
2 3 n1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1


1
tan1 tan tan tan 2 2 2 2 2 3 2 3 4 2 n 1 n
2 3 n
1 2
n 1 1 1 1 2n 2n 1 .
2 2 n 2n