(共15张PPT)
第4课时 相似三角形的判定定理3
3.4.1 相似三角形的判定
是否有△ABC∽△A’B’C’？
A
B
C
C’
B’
A’
三组对应边成 比例
探究
请同学们利用刻度尺在所发的方格上任意画一个三角形,再画一个三角形，注意使它的三条边都是第一个三角形的三边长的相同倍数，然后用量角器量一量它们的三个角，看看对应角是否相等，你能得出什么结论吗 理由是什么？
与你的同伴交流，大家的结论一样吗？
动脑筋
那么 △ABC∽△
AB AC
A'B' A'C'
=
如果
=
BC
B'C'
结论
相似三角形的判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
例1 在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，A′B′=18cm，B′C′=24cm，A′C′=30cm．试判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
1
解：∵
AB
6
=
A'B'
18
=
3
∴△ABC∽△
(三边对应成比例的两个三角形相似)
举
例
举
例
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△ 中，
∠C =∠C ′= 90°，且
求证：△ ∽△ABC.
证明：由已知条件得
从而
BC2 = AB2-AC2 =(2 )2-(2 )2
= 4 2 – 4 2 =4( 2- 2)
= 4 2 =(2 )2.
从而
由此得出，
因此△ ∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
说一说
还可以根据相似三角形的判定定理2，来证明这两个直角三角形相似.
在例2的证明中，还可以根据哪个判定定理说明△ ∽ △ABC ？
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△ 中，
∠C =∠C ′= 90°，且
求证：△ ∽△ABC.
1. 已知△ABC和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24
DE＝16， EF＝20， DF＝30
(2) AB=4， BC=8， AC＝10
DE＝20， EF＝16， DF＝8
(1) AB=3， BC=4， AC＝6
DE＝6， EF＝8， DF＝9
是
否
否
（大对大，小对小，中对中）
练习
2.已知ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似 （ ）
A. 2cm，3cm； B. 4cm，5cm；
C. 5cm，6cm； D. 6cm，7cm .
C
解
∵△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm,
若△DEF的三边长分别为4cm，5cm，6cm,
∵
∴应选择C.
练习
解：它们相似， 相似比为2:1
练习
练习
4.如图,O为△ABC内一点，D、E、F
分别是OA、OB、OC中点. 求证：△ABC∽△DEF.
A
B
C
O
D
F
E
证明：
△ABC∽△DEF.
练习
5.如图， ,
求证：∠1=∠2.
1
2
A
B
C
D
E
△ABC∽△DEF.(共12张PPT)
第2课时 相似三角形的判定定理1
3.4.1 相似三角形的判定
三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
三个内角对应相等.
观察你与老师的直角三角尺 ,
会相似吗？这两个三角形的三个内角的
大小有什么关系？
(30O 与60O)
相
似
探究
画三角形 ，使三个角分别为60°，45°, 75° .
①同桌分别量出两个三角形三边的长度；
②同桌这两个三角形相似吗
即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．
相似
一定需三个角吗？
观察
动脑筋
结论
相似三角形的判定定理1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
C
A
A'
B
B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
（两角分别相等的两个三角形相似）
下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
①
①
②
③
④
70o
50o
A
B
C
F
D
E
A
C
B
D
E
F
B
A
C
D
F
E
30o
30o
30o
30o
55o
30o
60o
50o
说一说
例1 如图，△ABC中，
DE∥BC，EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC. （两角分别相等的两个三角形相似．）
举
例
举
例
例2 已知：如图， ∠ABD=∠C, AD=2 AC=8，求AB.
A
B
C
D
解： ∵ ∠ A= ∠ A ，∠ABD=∠C， ∴ △ABD ∽ △ACB .
∴ AB : AC=AD : AB.
∴ AB · AB = AD · AC.
∵ AD=2 AC=8，
∴ AB =4.
1.如图，已知：在△ABC中，EF∥BC．
求证：△AEF∽△ABC.
证明:
∵ EF∥BC，
∴ ∠AEF=∠ABC.(两直线平行，同位角相等)
∴ △AEF∽△ABC.
又∵ ∠A是公共角，
练习
2.已知：在△ABC与△DEF中，∠A=48°，
∠B=82°，∠D=48°，∠F=50°.
求证：△ABC∽△DEF.
解:
在△DEF中，
∠E = 180°-∠D -∠F
= 180°-48°-50°
= 82°.
∵ ∠A = ∠D = 48°，∠B=∠E=82°，
∴ △ABC∽△DEF. (两角对应相等的两个三
角形相似)
练习
练习
3.如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=90°，BD⊥AC于D.
若 AB=6, AD=2, 则AC= .
BD= .
BC= .
18
4 √2
12√2
D
B
C
A(共13张PPT)
第3课时 相似三角形的判定定理2
3.4.1 相似三角形的判定
如果有点E在边AC上，点D在边AB上,那么点E,D可以在什么位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
E
探究
结论
相似三角形的判定定理2 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
A
B
C
AB AC
A'B' A'C'
=
如果
∠A=∠A'，
那么 ΔABC ∽ ΔA'B'C'
想一想：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
A
B
C
D
E
F
动脑筋
例 1 已知在Rt△ABC与Rt△ 中，
∠C =∠C′= 90°，AC=3cm，BC=2cm，
= 4.2cm， = 2.8cm.
求证：△ ∽△ABC.
证明：
∴△ABC∽△ .
举
例
△ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .
求证：△ ADE∽ △ ABC.
举
例
例2
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A=90°，
∠ACE+∠A= 90°.
∴ ∠ABD= ∠ACE.
又∵ ∠A= ∠A，
∴△ ABD ∽ △ ACE.
∴
∵ ∠A= ∠A，
∴ △ ADE ∽ △ ABC.
动脑筋
如图，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E=40°，AB=4.2cm，AC=3cm，DE=2.1cm，DF=1.5cm. △ABC与△DEF有两边对应成比例吗？有一个角对应相等吗？这两个三角形相似吗？
从上述例子你能得出什么结论？
图3-21
有两边对应成比例.
图中∠B=∠E，而∠A≠∠D，故这两个三角形不相似.
在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两边的夹角相等，则这两个三角形不相似.
有两边对应成比例.
图中∠B=∠E，而∠A≠∠D，故这两个三角形不相似.
在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两边的夹角相等，则这两个三角形不相似.
1. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
D
练习
2.已知在Rt△ABC与Rt△ 中，∠A =∠A′= 90°，AB=6cm，AC=4.8cm， =5cm， =3cm.
求证：△ ∽△ABC.
证明：
∴△ABC∽△ .
练习
3.在正方形ABCD中，E为AD上的中点, F是AB的四分一等分点，连结EF、EC；△AEF与△DCE是否相似 说明理由.
A
B
C
D
F
E
△AEF∽△DEC.
练习(共11张PPT)
3.4.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形判定的基本定理
探究
在八年级上册，我们已经探讨了两个三角形全等的条件，下面我们来探讨两个三角形相似的条件.
为了研究满足什么条件的两个三角形相似，我们先来探究下述问题.
动脑筋
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
（1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
（2）分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
（3）△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
我发现只要DE∥BC，那么△ADE与△ABC是相似的.
下面我们来证明：
在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∵DE∥BC，DF∥AC，
如图，过点D作DF∥AC，交BC于点F.
∴
∵四边形DFCE为平行四边形，
∴DE=FC.
∴
∴△ADE∽△ABC
结论
由此得到如下结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
例 题
例1 如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边
的中点.求证：△ADE∽△ABC.
证明 ∵点D，E分别是AB，AC边的中点，
∴DE∥BC.
∴△ADE∽△ABC.
例 题
例2 如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使DE=EF.
求证：△CFE∽△ABC.
证明 ∵DE∥BC，点D为△ABC
的边AB的中点，
∴AE=CE.
∴△ADE∽△ABC.
又DE=FE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CEF.
∵DE∥BC，
∴△CFE∽△ABC.
跟踪练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
解：∵四边形EFCD是正方形，
∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF.
跟踪练习
2.如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥BC，OF∥CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.
解：∵OE∥BC，OF∥CD，
∴∠AEO=∠ABC,∠AOE=∠ACB,∠AOF=∠ACD,∠AFO=∠ADC.
∴∠AOE+∠AOF=∠ACB+∠ACD,即∠EOF=∠BCD.
又∵OE∥BC，OF∥CD，
∴△AOE~△ACB,△AOF~ACD.
∴四边形AEOF与四边形ABCD相似.(共10张PPT)
3.4.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形判定的预备定理
探究
在八年级上册，我们已经探讨了两个三角形全等的条件，下面我们来探讨两个三角形相似的条件.
为了研究满足什么条件的两个三角形相似，我们先来探究下述问题.
动脑筋
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
（1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
（2）分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
（3）△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
我发现只要DE∥BC，那么△ADE与△ABC是相似的.
下面我们来证明：
在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∵DE∥BC，DF∥AC，
如图，过点D作DF∥AC，交BC于点F.
∴
∵四边形DFCE为平行四边形，
∴DE=FC.
∴
∴△ADE∽△ABC
结论
由此得到如下结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
例 题
例1 如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边
的中点.求证：△ADE∽△ABC.
证明 ∵点D，E分别是AB，AC边的中点，
∴DE∥BC.
∴△ADE∽△ABC.
例 题
例2 如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使DE=EF.
求证：△CFE∽△ABC.
证明 ∵DE∥BC，点D为△ABC
的边AB的中点，
∴AE=CE.
∴△ADE∽△ABC.
又DE=FE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CEF.
∵DE∥BC，
∴△CFE∽△ABC.
跟踪练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
解：∵四边形EFCD是正方形，
∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF.
跟踪练习
2.如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥BC，OF∥CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.
解：∵OE∥BC，OF∥CD，
∴∠AEO=∠ABC,∠AOE=∠ACB,∠AOF=∠ACD,∠AFO=∠ADC.
∴∠AOE+∠AOF=∠ACB+∠ACD,即∠EOF=∠BCD.
又∵OE∥BC，OF∥CD，
∴△AOE~△ACB,△AOF~ACD.
∴四边形AEOF与四边形ABCD相似.
