3.2.2 函数的奇偶性 教学设计

教学设计
函数的奇偶性
教学内容
函数的奇偶性
教学目标
1.借助具体函数，会用数量关系判断函数图象关于 y 轴对称或关于原点对称，理解函 数奇偶性的定义，学生理解函数奇偶性的概念并会用定义判断具体函数是否具有奇偶性 ；
2.感受中国传统剪纸文化蕴含的数学思想，激发民族自豪感.在奇偶性概念的形成过程 中，经历从特殊到一般，从具体到抽象的研究过程，提升学生直观想象、数学抽象、逻辑推 理的核心素养，并用类比推理，生成奇函数的概念；
3.根据定义能正确判断具体函数是否具有奇偶性，运用数形结合的思想，进一步体验研 教学重点与难点
（1）教学重点：函数奇偶性的定义和函数奇偶性的判断.
（2）教学难点：用数量关系式f(-x) = f(x)（或f(-x) = -f(x) ）刻画函数关于 y 轴
对称或原点对称的特征.
教学过程设计
【问题 1】 (课前检测) 什么是轴对称、中心对称图形？ (x, y) 关于 y 轴的对称点和关于原 点的对称点是什么？
（一）情境引入
观看剪纸工艺品图片，感受中国传统剪纸艺术中的美.
师生活动：
（1）剪纸艺术中的美来自于哪里？ 轴对称和中心对称
（2）对称体现了均衡、和谐美，数学中哪些函数的图象具有对称性？ 二次函数、正比例函数、反比例函数等
设计意图：
回顾初中所学的对称性的概念，提高学生的学习兴趣，也使学生感受其实数学无处不在， 引导学生用数学的眼光来观察世界，提高学生的应用意识,为奇偶性的概念做准备.
（二）构建概念
【问题 2】 如何研究函数图象的对称性？
（1）画出函数 f(x)=x2 和 g(x)=- x + 2 的图象.
（2）观察两个函数的图象，你能否发现并严谨刻画它的特征？
（3）如何证明 f(x)=x2 和 g(x)=- x + 2 图象关于 y 轴对称？
（4）对于一般函数 y = f(x) ，你能用函数符号表示图象关于 y 轴对称吗？
师生活动：
1．从学生熟悉的函数图象出发，让学生先独立思考问题，根据图象对比观察,引导学生 从函数的角度来看，即当自变量为相反数时，函数值相等，引导学生用数学的思维来分析世 界；
2．为突破学生对图象关于 y 轴对称仅仅停留在具体数值上，教师引导回顾对称本质，
图象的对称即为图象上点的对称将自变量由具体的数值推广到定义域里任意的 x （几何画 板），让学生自主归纳一般性质，概括偶函数的特点和定义.
设计意图：
以学生们熟悉的函数为切入点，从直观入手，顺应同学们的认知规律.由图象到图象上 的点，再到点的坐标，由形到数，数形结合的过程是研究函数性质的典型过程，让学生体会 研究过程中由特殊点到一般点，由具体函数抽象到一般函数，特殊到一般的数学思想，提升 学生直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养.
（三）概念形成
【问题 3】 图象关于 y 轴对称的函数称作偶函数，你能用数学语言给出偶函数的定义
吗？
师生活动：
1.学生独立思考，在用等式表示对称的探究过程中，引导学生学会将“图形语言 ”、“文 字语言 ”转化为“数学符号语言 ”来刻画函数的奇偶性，实现“形 ”到“数 ”的转换.
2.师生共同总结：从“形 ”和“数 ”两个方面来描述偶函数，突破对“任意 ”的认知障 碍，从而让学生自主概括出偶函数的概念，引导学生用数学语言来刻画世界.
设计意图：
感悟在数形结合的思想指导下研究函数性质的方法，提升学生直观想象、数学抽象、逻 辑推理的核心素养.
（四）概念理解
(
,
)思考： f(-1) = f(1), x ∈ [-1,1]
f(x) 是偶函数吗？
f (x) = x 2 , x ∈ [- 3,4]是偶函数吗
师生活动
1．教师提出问题，并对学生的回答进行评价.
2．学生可能忽略了定义域的考察，教师引导学生从定义出发，从“形 ”和“数 ”上体 会定义中“任意 ”、“都 ”的含义.
设计意图：
通过反例强化加深定义中“任意 ”、“都 ”的理解，强调函数具有奇偶性的前提条件： 定义域关于原点对称，发展学生逻辑推理的核心素养.
（五） 自主探究
【问题4】如何判定函数y = f(x) 图象关于原点对称？
【问题 5】类比偶函数定义，你能给出奇函数的定义吗？一般地，设函数 y = f(x) 的 定义域为 A，若对于任意的 x ∈ A ,都有f(-x) = -f(x) ，则称函数 y = f(x) 是奇函数.
师生活动：
通过对以上问题的分析，放手让学生独立运用研究偶函数的方法类比研究奇函数，从“形 ” 和“数 ”两个方面来描述奇函数，仿照偶函数的定义说出奇函数的定义.
设计意图：
让学生通过类比推理，学会自主概括归纳概念中本质的关键词“任意 ”、“都 ”，感悟在数形结合的思想下研究函数性质的方法，加深对概念本质的理解.
数学史化：
设计意图：
通过数学史文化的学习，增强学生学习数学的兴趣和激发对数学文化的热爱的同时，进 一步加深对新知的全面认识.
（六）应用新知
课堂测试：判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x) = x3 + x (2)f(x) = x 2 +1
(3)f(x) = x +1 (4)f(x) = 0
师生活动：
教师选（1）来板书来示范解题步骤，其他习题学生自主完成，并引导学生归纳总结判 断奇偶性方法的步骤，通过（3）对非奇函非偶函数的判断，引导学生举反例.
设计意图：
通过对不熟悉的函数，让学生明确判断函数的奇偶性的两种方法：定义法、图象法，学 会从函数奇偶性的角度对函数进行分类，对于不熟悉的函数，体会奇偶性的作用，通过（3） 对非奇函非偶函数的判断，体会举反例的方法.
（七）归纳小结
【问题6】说一说奇函数、偶函数的异同 师生活动：
1.知识方面：
同：形：图象都具有对称性
数：定义域都关于原点对称
异：形：偶函数图象关于 y 轴对称 奇函数图象关于原点对称
数：偶函数： f(-x) = f(x) 奇函数： f(-x) = -f(x)
2.思想方法方面：
数形结合 由特殊到一般 由具体到抽象 3.如果给你一个函数，你可以从哪些角度进行研究？
设计意图：
通过问题引领，让学生比较奇函数与偶函数的异同，在比较中加深学生对定义的理解， 对学习过程进行反思，对研究函数的思想方法进行总结，引导学生建立章节性思维框架，为 以后研究函数的性质做好铺垫，提高学生的数学表达能力和思维能力素养.
（八） 目标检测设计
1.教师追问：请学生思考（2）题中图象具有怎样的特征？你能判断它在 (一∞,0)上的单 调性吗？ f(-1)与 f(3) 的大小关系呢？
设计意图：从形和数的角度让学生理解奇函数与偶函数的异同，建立与已知的联系拓 展应用，培养学生分析应用所学解决问题的能力.
2.教师追问：对于函数(1)f(x) = x3 +x，你能否通过添加项，使它仍然是奇函数吗？既
不是奇函数又不是偶函数呢？偶函数？既是奇函数又是偶函数？
设计意图：通过追问函数的性质，让学生更深地体会奇偶性的作用。未来学生遇到不熟 悉的函数，让学生感受函数奇偶性在解决函数问题时可以起到“事半功倍 ”的效果，发展学 生的逻辑推理素养.
3.判断下列函数的奇偶性，并加以证明
（1） f(x) = x2 +1, x ∈[一1, 2] （2） f(x) = x x , x ∈[一1, 1]
= 2x 一 2一x 一x
设计意图：巩固判断奇偶性的方法，检测学生落实情况。