2024-2025学年重庆市西北狼联盟高二上学期入学联考数学试题（含答案）

2024-2025学年重庆市西北狼联盟高二上学期入学联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知复数是虚数单位，则共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知一组数据：，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
5.若，，，，为空间直线，，为平面，则下列说法错误的是( )
A. ，，则
B. ，，，则
C. ，，，则
D. ，是异面直线，则，在内的射影为两条相交直线
6.如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点，，在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为 ，
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，，为线段上的动点，且，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.经过简单随机抽样获得的样本数据为，则下列说法正确的是( )
A. 若数据的方差，则所有数据圴相同
B. 若数据的均值为，则数据的均值为
C. 数据的极差不小于数据的极差
D. 若数据的众数为，则可以说总体中的众数为
10.若向量满足，则( )
A. B. 与的夹角为
C. D. 在上的投影向量为
11.中国古代数学的瑰宝九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的倍，，则下列说法正确的是( )
A. 弧长度为
B. 曲池的体积为
C. 曲池的表面积为
D. 三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校高一年级共有学生人，其中班人，班人，班人，班人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一班抽取的人数是 ．
13.如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为，则圆锥的侧面积为 ．
14.如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足，的虚部是．
求复数；
设，，在复平面上的对应点分别为，，，若点位于第一象限，求的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为菱形，为等边三角形，，点，分别是线段，的中点．
求证：平面；
若，求四棱锥的体积．
17.本小题分
为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中．
求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数每组数据用该组区间中点值作为代表；
设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；
若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，并说明理由．
18.本小题分
的角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
从三个条件：；；的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围．
19.本小题分
刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且．
证明：平面．
证明：平面平面．
若，求二面角的正切值．
参考答案
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15.解：
，
则，
由题意得，
且，
解得或，
所以或．
因为位于第一象限，所以，
，
，
所以，，，
直线，所以且到的距离为；
．
所以．

16.解：在四棱锥中，连接，连，如图，
因四边形是菱形，则是的中点，而是的中点，则，又平面，平面，
所以平面．
在正中，是线段的中点，则，而平面平面，平面平面，
平面，因此，平面，且，
在菱形中，，则，是正三角形，，，
显然四边形是直角梯形，其面积为，
所以四棱锥的体积．

17.解：由频率分布直方图可得
，
又，则，，
该市居民用水的平均数估计为：
；
由频率分布直方图可得，
月均用水量不超过吨的频率为：，
则月均用水量不低于吨的频率为：，
所以全市万居民中月均用水量不低于吨的人数为：
万；
由频率分布直方图知月均用水量不超过吨的频率为：，
月均用水量不超过吨的频率为，
则的居民每月的用水量不超过的标准吨，，
，解得吨，
即标准为吨．

18.解：因为，所以，
得，所以，
因为，所以．
分三种情况求解：
选择，
因为，
由正弦定理得，
即的周长，
因为，所以，
即周长的取值范围是．
选择．
因为，
由正弦定理得，
所以，
即的周长，
因为，所以，所以，
即周长的取值范围是．
选择．
因为，得，
由余弦定理得，
即的周长，
因为，当且仅当时等号成立，
所以．
即周长的取值范围是．
19.解：证明：在直三棱柱中，
平面，平面，
则，，
所以点的曲率为
，
所以，
因为，所以为正三角形，
因为为的中点，所以，
又平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面．
证明：取的中点，连接，，
因为为的中点，
所以，且，
又，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
则，
由知平面，
则平面，
又平面，
所以平面平面．
取的中点，连接，
则，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
过作的垂线，垂足为，连接，
则，
又平面，
所以平面，
又平面，则，
所以为二面角的平面角的补角，
设，，
则，，，
由等面积法可得，
则，
则，
故二面角的正切值为．

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