2024-2025学年重庆市两江新区西南大学附属中学校高二上学期开学定时练习（9月）数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年重庆市两江新区西南大学附属中学校高二上学期开学定时练习（9月）数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 419.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-28 05:52:31 | ||
图片预览
文档简介
2024-2025学年重庆市两江新区西南大学附属中学校高二上学期开学定时练习（9月）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，则复数的共轭复数等于
A. B. C. D.
2.若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，( )
A. 若 ，，则 B. 若，，，，则
C. 若，， ， ，则 D. 若， ，，则
4.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，面积为，且，若，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征如图图是一个圆台的侧面展开图扇形的一部分，若两个圆弧，所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为( )
A. B.
C. D.
7.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是( )
A. B. C. D.
8.在直角梯形中，分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动如图所示若，其中，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的内角，，的对边分别为，，，已知，，则 ．
A. B.
C. 的最大值为 D. 为钝角三角形
10.下列四个命题为真命题的是．
A. 若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
B. 若向量，，则在上投影向量为
C. 已知向量，，则的最大值为
D. 若，则动点的轨迹一定通过的重心
11.如图，在棱长为的正方体中，点是侧面内的一点，点是线段上的一点，则下列说法正确的是( )
A. 当点是线段的中点时，存在点，使得平面
B. 当点为线段的中点时，过点，，的平面截该正方体所得的截面的面积为
C. 点到直线的距离的最小值为
D. 当点为棱的中点且时，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13.如图所示，在四棱锥中，，且，若
，，则二面角的余弦值为 ．
14.如图，在三棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中， ，在线段上，且，，设，．
用向量，表示；
若，求．
16.本小题分
如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，垂足为，是四棱锥的高．
Ⅰ证明：平面平面
Ⅱ若，，求四棱锥的体积．
17.本小题分
在中，内角、、的对边分别为、、，且，．
求的值；
若的面积为，求边上的高．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，，且是的中点．
求证：平面平面；
若四棱锥体积为，求二面角的正弦值；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
现有长度分别为，，，的线段各条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为的三角形或四边形．
求出所有可能的三角形的面积．
如图，在平面凸四边形中，，，，．
当大小变化时，求四边形面积的最大值，并求出面积最大时的值．
当时，所在平面内是否存在点，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意得．
根据题意知，
所以
16.解：Ⅰ因为是四棱锥的高．
所以，又，，都在平面内，且．
所以平面．
故平面平面．
Ⅱ因为为等腰梯形，，，．
所以．
因为
所以，．
可得．
等腰梯形的面积为．
所以四棱锥的体积为
17.解：，
，
由正、余弦定理可得，，
又，
由得，，
，；
由得，，
或由余弦定理得
为锐角，，
的面积，
，
设边上的高为，
则的面积，
，即边上的高为．
18.解：由及余弦定理，
得，解得，
则，即，，
由，得四边形为平行四边形，则，
而，即，于是，
又平面，因此平面，而平面，
所以平面平面．
由知为二面角的平面角，
在平面内，过点作，交直线于，
而平面平面，平面平面，则平面，
梯形的面积，
四棱锥的体积，解得，
因此，
所以二面角的正弦值为．
在平面内，过点作，交于，由平面平面，
平面平面，得平面，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
由知为二面角的平面角，即，则，，
于是，
设平面的法向量为，则，令，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的余弦值．
19.解：根据三角形两边之和大于第三边，
由题意可知，所有符合情况的可能三角形为，，；，，；
三角形三边为，，时，
设边长为的边对应的角为，
由余弦定理知，，
三角形的面积；
三角形三边为，，时，
设边长为的边对应的角为，
由余弦定理知，，
三角形的面积．
由余弦定理知，
，
，，，
．
，
，
又，，
故，
，
当且仅当时，取得最大值，此时，，
此时，，，，，
，解得．
把绕逆时针旋转，如图所示：则，，连接．
显然为等边三角形，则，，，
，
，
当且仅当，，，共线时取得最小值，
此刻，
所以，存在这样的点，使得最小值为．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，则复数的共轭复数等于
A. B. C. D.
2.若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，( )
A. 若 ，，则 B. 若，，，，则
C. 若，， ， ，则 D. 若， ，，则
4.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，面积为，且，若，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征如图图是一个圆台的侧面展开图扇形的一部分，若两个圆弧，所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为( )
A. B.
C. D.
7.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是( )
A. B. C. D.
8.在直角梯形中，分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动如图所示若，其中，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的内角，，的对边分别为，，，已知，，则 ．
A. B.
C. 的最大值为 D. 为钝角三角形
10.下列四个命题为真命题的是．
A. 若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
B. 若向量，，则在上投影向量为
C. 已知向量，，则的最大值为
D. 若，则动点的轨迹一定通过的重心
11.如图，在棱长为的正方体中，点是侧面内的一点，点是线段上的一点，则下列说法正确的是( )
A. 当点是线段的中点时，存在点，使得平面
B. 当点为线段的中点时，过点，，的平面截该正方体所得的截面的面积为
C. 点到直线的距离的最小值为
D. 当点为棱的中点且时，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13.如图所示，在四棱锥中，，且，若
，，则二面角的余弦值为 ．
14.如图，在三棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中， ，在线段上，且，，设，．
用向量，表示；
若，求．
16.本小题分
如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，垂足为，是四棱锥的高．
Ⅰ证明：平面平面
Ⅱ若，，求四棱锥的体积．
17.本小题分
在中，内角、、的对边分别为、、，且，．
求的值；
若的面积为，求边上的高．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，，且是的中点．
求证：平面平面；
若四棱锥体积为，求二面角的正弦值；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
现有长度分别为，，，的线段各条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为的三角形或四边形．
求出所有可能的三角形的面积．
如图，在平面凸四边形中，，，，．
当大小变化时，求四边形面积的最大值，并求出面积最大时的值．
当时，所在平面内是否存在点，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意得．
根据题意知，
所以
16.解：Ⅰ因为是四棱锥的高．
所以，又，，都在平面内，且．
所以平面．
故平面平面．
Ⅱ因为为等腰梯形，，，．
所以．
因为
所以，．
可得．
等腰梯形的面积为．
所以四棱锥的体积为
17.解：，
，
由正、余弦定理可得，，
又，
由得，，
，；
由得，，
或由余弦定理得
为锐角，，
的面积，
，
设边上的高为，
则的面积，
，即边上的高为．
18.解：由及余弦定理，
得，解得，
则，即，，
由，得四边形为平行四边形，则，
而，即，于是，
又平面，因此平面，而平面，
所以平面平面．
由知为二面角的平面角，
在平面内，过点作，交直线于，
而平面平面，平面平面，则平面，
梯形的面积，
四棱锥的体积，解得，
因此，
所以二面角的正弦值为．
在平面内，过点作，交于，由平面平面，
平面平面，得平面，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
由知为二面角的平面角，即，则，，
于是，
设平面的法向量为，则，令，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的余弦值．
19.解：根据三角形两边之和大于第三边，
由题意可知，所有符合情况的可能三角形为，，；，，；
三角形三边为，，时，
设边长为的边对应的角为，
由余弦定理知，，
三角形的面积；
三角形三边为，，时，
设边长为的边对应的角为，
由余弦定理知，，
三角形的面积．
由余弦定理知，
，
，，，
．
，
，
又，，
故，
，
当且仅当时，取得最大值，此时，，
此时，，，，，
，解得．
把绕逆时针旋转，如图所示：则，，连接．
显然为等边三角形，则，，，
，
，
当且仅当，，，共线时取得最小值，
此刻，
所以，存在这样的点，使得最小值为．
第1页，共1页
同课章节目录