2023-2024学年福建省龙岩第一中学高一上学期第二次月考数学试题（含答案）

2023-2024学年福建省龙岩第一中学高一上学期第二次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
3.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知正数、满足，求的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知函数是上的增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数在上单调递减，且满足，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.若，则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有( )
A. “影子函数”可以是奇函数
B. “影子函数”的值域可以是
C. 函数是“影子函数”
D. 若，都是“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数”
12.已知函数，若，记，则 ( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的单调递减区间为 ．
14.函数的值域为 ．
15.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为 ．
16.对于表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则中所有元素的和是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
求；
若集合，，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数
判断的奇偶性并证明；
解方程．
19.本小题分
已知二次函数满足，且．
求的解析式；
集合，若，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数是定义域上的奇函数．
确定的解析式；
用定义证明：在区间上是减函数；
解不等式．
21.本小题分
某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量万件与月促销费用万元满足关系式为常数，如果不搞促销活动，则该产品的月销量是万件．已知生产该产品每月固定投入为万元，每生产一万件该产品需要再投入万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为万元．注：利润销售收入生产投入促销费用
将表示为的函数；
月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？
22.本小题分
已知函数．
若函数在上是单调递减，求的取值范围；
当时，函数在上的最大值记为，试求的最小值．
参考答案
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17.解：，，
；
，，
，有或，
解得或，即 的取值范围是．

18.
因为且定义域为，所以是偶函数．
当时，，
去绝对值符号可得，化简可得，
解之可得或舍，
当时，，
去绝对值符号可得，化简可得舍，
综上，的解为．

19.
二次函数，则
，而，于是，
解得，则，又，解得，
所以的解析式是．
由知，，不等式
令，则，由，
得，解得，
所以实数的取值范围是．

20.解：由于函数是定义在上的奇函数，
则，
即，
化简得，
因此，．
任取、，且，即，
则
，
，
，，，，，，
，
，
因此，函数在区间上是减函数．
由可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，
由得，
所以，解得．
因此，不等式的解集为．
21.
由题意知当时，，代入
则，解得，
利润，
又因为，
所以，．
由知，
因为时，，
因为，当且仅当时等号成立
所以，
故月促销费用为万元时，该产品的月利润最大，最大为万元

22.
由题意函数在时单调递减，
令，则在时单调递减，
若，则在时单调递减，符合题意；
若时，需满足，即；
若时，需满足，即；
综合以上可知的取值范围为；
当时，，
令，则，
则函数在上的最大值问题即为的最大值问题；
当时，，
此时的最大值为；
当时，由，可得，
此时，
此时的最大值为；
当时，，
此时，
此时的最大值为；
当时，，
，
此时的最大值为；
当时，，
，
此时的最大值为；
综合上述可得最大值，
即函数在上的最大值为
当时，；当时，；
故的最小值为．

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