2024-2025学年安徽省马鞍山市第二中学高二上学期9月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年安徽省马鞍山市第二中学高二上学期9月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛现从该校随机抽取个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这个比赛成绩的第百分位数是( )
比赛成绩
班级数
A. B. C. D.
4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
5.一个射手进行射击，记事件“脱靶”，“中靶”，“中靶环数大于”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 以上都不对
6.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为( )
A. B. C. D.
7.如图，是由斜二测画法得到的水平放置的直观图，其中，点为线段的中点，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是( )
A. B. 的面积为
C. 在上的投影向量为 D. 与同向的单位向量为
8.如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处三点共线测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为 米．
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是( )
A. 若甲乙两组数据的平均数分别为，则
B. 若甲乙两组数据的方差分别为，则
C. 甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数
D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
10.在复平面内，下列说法正确的是( )
A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B. 若复数，则
C. 若复数满足，则
D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
11.如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是( )
A.
B. 二面角的正切值的最大值为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 三角形的周长最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆台的母线长为，上下底面半径分别为，，则该圆台的体积为 ．
13.在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围为 ．
14.空间四边形中，，且异面直线与成，求异面直线与所成角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角所对的边分别为，已知．
求角；
若，求周长的最大值．
16.本小题分
漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达万人次为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据满分分分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计名游客满意度分值的众数和中位数结果保留整数；
已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差．
17.本小题分
已知盒中有大小、质地相同的 红球、黄球、蓝球共个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．
写出该试验的样本空间；
设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，点为中点．
证明：平面平面；
求与平面所成角的正弦值的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列与，其中，若同时满足：两点列的起点和终点分别相同：，其中，则称与互为正交点列．
求的正交点列；
判断是否存在正交点列？并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.或
15.
因为，整理得，，
即，
即，
因为，可得，所以，
结合，解得，所以；
因为，所以，
所以周长
，
当时，，故周长的最大值为．

16.
由频率分布直方图可得，，解得，
由频率分布直方图可估计众数为，
满意度分值在的频率为，
在的频率为，
所以中位数落在区间内，
所以中位数为．
由频率分布直方图得，满意度分值在的频率为，人数为；
在的频率为，人数为，
把满意度分值在记为，其平均数，方差，
在内记为，其平均数，方差，
所以满意度分值在的平均数，
根据方差的定义，满意度分值在的方差为
由，可得，
同理可得，
因此，

17.解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件 ，
因为 为两两互斥事件，
由已知得 ，解得 ．
盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是 ；
由知红球、黄球、蓝球个数分别为，，，
用，表示红球，用 表示黄球，用 表示蓝球，
表示第一次取出的球， 表示第二次取出的球， 表示试验的样本点，
则样本空间
．
由得 ，记“取到两个球颜色相同”为事件 ，“取到两个球颜色不相同”为事件 ，则 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以此游戏不公平．

18.
证明：因为平面平面，平面平面，且，
所以平面，又平面，所以，
又平面平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
设，由知平面，
又平面，所以，所以，
过点作交于点，
则平面平面，平面平面，且，
所以平面，且，设点到平面的距离为，
则由，可得，
即，解得，
所以与平面所成角的正弦值为，
因为，所以，故，
所以与平面所成角的正弦值的取值范围是．

19.
设点列的正交点列是，
由正交点列的定义可知，
设，
由正交点列的定义可知，
即，解得
所以点列的正交点列是．
由题可得，
设点列是点列的正交点列，
则可设
因为与与相同，所以有
因为得方程，显然不成立，
所以有序整点列不存在正交点列．

第1页，共1页