2024-2025学年四川省雅安市雅安中学高二上学期入学检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省雅安市雅安中学高二上学期入学检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于”，事件表示“骰子向上的点数小于”则( )
A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件互为对立事件
C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件互为对立事件
2.已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生到之间取整数值的随机数，指定表示命中，，，，，，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下组随机数：，，，，，，，，，，，，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A. B. C. D.
3.从装有若干个红球和白球除颜色外其余均相同的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为，被甲或乙解出的概率为，则该题被乙独立解出的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知空间向量，，若与垂直，则等于( )
A. B. C. D.
7.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.甲乙丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签甲乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.不透明的袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球、个黄球记为事件“从中任取个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出个球是红球”，则( )
A. B.
C. 事件与是互斥事件 D. 事件与是相互独立事件
10.已知事件，，且，则( )
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果与相互独立，那么
D. 如果与相互独立，那么
11.一台仪器每启动一次都随机地出现一个位的数字 ，其中的各位数字中，，则( )
A. 的所有实验结果构成的样本空间中共有个样本点
B. 若的各位数字都是等可能地取值为或，则的概率大于的概率
C. 若的各位数字都是等可能地取值为或，则中各位数字之和是的概率为
D. 若出现的概率为，出现的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ．
13.随着阿根廷队的夺冠，年卡塔尔足球世界杯落下帷幕根据足球比赛规则，两支球队先进行分钟常规赛若比分相同，则进行分钟加时赛；如果在加时赛比分依旧相同，则进入球点球大赛若甲、乙两队在常规赛与加时赛中得分均相同，则甲、乙两队轮流进行轮点球射门，进球得分，不进球不得分假设甲队每次进球的概率均为，乙队每次进球的概率均为，且在前两轮点球中，乙队领先一球，已知每轮点球大赛结果相互独立，则最终甲队获胜的概率为 ．
14.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以再加，如果是偶数就除以，反复计算，最终都将会得到数字例如：给出正整数，则进行这种反复运算的过程为，即按照这种运算规律进行次运算后得到若从正整数，，，，中任取个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．
16.本小题分
甲乙二人用张扑克牌分别是红桃，红桃，红桃，方片完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
若甲抽到红桃，则乙抽出的牌的牌面数字比大的概率是多少？
甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
17.本小题分
杭州年第届亚运会将于年月日至月日举办．本届亚运会共设个竞赛大项，包括个奥运项目和个非奥运项目．同时，在保持个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．
传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组．胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会．近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为最初分组时同组，同组．
若，在淘汰赛赛制下，、获得冠军的概率分别为多少？
分别计算两种赛制下获得冠军的概率用表示，并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求证：平面；
求证：平面；
求平面与平面 的 夹角的大小．
19.本小题分
在信道内传输，信号，信号的传输相互独立．发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送次，三次传输是指每个信号重复发送次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码例如，若收到，则译码为，若收到，则译码为；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码例如，若依次收到，则译码为，若依次收到，则译码为．
已知．
若采用单次传输方案，重复发送信号两次，求至少收到一次的概率；
若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为”相互独立．
若发送，采用三次传输方案时译码为的概率大于采用单次传输方案时译码为的概率，求的取值范围．
参考答案
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14.或
15.解：由题意可得，
解得，
由，
可得此次问卷调查分数的中位数在上，设为，
则，解得，
所以此次问卷调查分数的中位数为分；
的市民有人，记为，，
的市民有人，记为，，，，
则从中抽取两人的基本事件有：共种，其中两人来自不同的组的基本事件有种，
则所求概率为．

16.解：甲乙二人抽到的牌的所有情况方片用字母表示，红桃，红桃，红桃分别用，，表示，
可得基本事件的空间为：、、、、、、
、、、、、，共种不同情况，
解：由题意，甲抽到，乙抽到的牌只能是，，，
所以乙抽到的牌的数字大于的概率为．
解：根据题意，甲抽到的牌比乙大的有、、、、，
共有种情况，所以甲胜的概率，乙获胜的概率为，
因为，所以此游戏不公平．

17.解：记，拿到冠军分别为事件，，
淘汰赛赛制下，只需要连赢两场即可拿到冠军，
因此，
对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜，中的胜者，
因此．
记两种赛制下获得冠军的概率分别为，，则，
而双败赛制下，获得冠军有三种可能性：直接连赢三局从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛直接掉入败者组拿到冠军，
因此，，，因此不论哪种赛制下，获得冠军的概率均小于，
，
若，双败赛制下，队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小，
若，双败赛制下，队伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大，
综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于
筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．
18.解：侧棱底面，而，底面，故，，
底面是正方形，故AD，
故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设 ．
依题意得 ， ， ， ．
所以 ， ， ．
设平面的一个法向量为 ，
则有 即
取 ，则 ，
因为 平面，因此 平面．
解：依题意得 ，
因为 ，
所以 ．
由已知 ，且 ，，平面，
所以 平面．
解：依题意得 ，且 ， ．
设平面的一个法向量为 ，
则 即 ，
取 ．
同理可得 的 一个法向量为 ，
所以 ．
所以平面与平面的夹角为 ．

19.记事件为“至少收到一次”，则．
证明：记事件为“第三次收到的信号为”，则．
记事件为“三次收到的数字之和为”，
则．
因为，
所以事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为”相互独立．
【小问详解】
记事件为“采用三次传输方案时译码为”，则．
记事件为“采用单次传输方案时译码为”，则．
根据题意可得，即，
因为，所以，
解得，故的取值范围为．

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