2024-2025学年河南省“五岳联考”高二上9月数学试题（含答案）

2024-2025学年河南省“五岳联考”高二上9月数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.给出下列命题：
零向量的方向是任意的
若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同
若空间向量，满足，则
空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
2.如图，在直三棱柱中，为棱的中点设，，，则( )
A. B. C. D.
3.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B.
C. 若，则，的夹角是钝角
D.
4.设，，向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
5.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知圆锥的母线长为，表面积为，为底面圆心，为底面圆直径，为底面圆周上一点，，为中点，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为( )
A.
B.
C.
D.
8.在四棱锥中，平面，底面为矩形，若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为( )
A. B. C. D.
10.在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
过点，且以为方向向量的空间直线的方程为
过点，且为法向量的平面的方程为．
现已知平面，，，则( )
A. B. C. D.
11.如图，正方体的棱长为，则下列四个命题中正确的是( )
A. 两条异面直线和所成的角为
B. 直线与平面所成的角等于
C. 点到平面的距离为
D. 四面体的体积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，四棱柱为正方体．
直线的一个方向向量为
直线的一个方向向量为
平面的一个法向量为
平面的一个法向量为．则上述结论正确的是 填序号
13.已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为 ．
14.设空间向量，，是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的，，的最小值是，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点．
求的值；
证明：，，，四点共面．
16.本小题分
如图，已知平行六面体中，底面是边长为的菱形，，．
求线段的长
求证：．
17.本小题分
已知空间中三点，，．
若向量与平行，且，求的坐标
求向量在向量上的投影向量
求以，为邻边的平行四边形的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连．
求证：平面
求二面角的正弦值
在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长．
19.本小题分
将菱形绕直线旋转到的位置，使得二面角的大小为，连接，得到几何体已知分别为上的动点且．
证明：平面；
求的长；
当的长度最小时，求直线到平面的距离．
参考答案
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14.
15.解：以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，
，，
则．
证明：，
令，即
解得，所以．
故C，，，四点共面．
16.解：设，则，
又，
所以，
又，
所以
，
所以线段的长为．
，，
所以
，
所以，
即．
17.解：由已知可得，因为向量与平行，设，其中，则，
解得，所以，或．
由，可得，所以，又由，可得向量的单位向量为，故向量在向量上的投影向量
由题可得：，，所以，，所以，所以，以，为邻边的平行四边形的面积为．
18.解：证明：因为，因为，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，取．
设平面的法向量为，，
由，取，
．
二面角是钝二面角，
二面角的正弦值为．
设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为：
，
解得，．

19.解：证明：在上取点，使得，
连接，如图，
因为，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为，所以，又因为，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为且都在平面内，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
取的中点，连接，如图．
由题意可得是边长为的正三角形，则，
且，所以为二面角的平面角，即，
则为正三角形，
所以．
取的中点，连接，则，且，
由得，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
又因为，
所以．
连接，则，
，
所以，
当时，取得最小值，且最小值为，则的最小值为
此时，则，
设平面的法向量为，
则即取，得，
因为平面，所以直线到平面的距离就是点到平面的距离，
则点到平面的距离，
故直线到平面的距离为．

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