2024-2025学年山东省青岛市青岛五十八中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省青岛五十八中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“都有”的否定是( )
A. 不存在， B. 存在，
C. 存在， D. 对任意的，
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
4.集合，，，，则下面正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，均为实数，有下列命题：
若，，则；
若，，则；
若，，则，
其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
6.若“”是假命题，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. 的最大值是 B. 的最大值是
C. 的最大值是 D. 的最大值是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知命题，，则命题成立的一个充分条件可以是( )
A. B. C. D.
10.若，，，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
11.通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：和在中；中的有限个元素取交后得到的集合在中；中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑已知全集，，为的非空真子集，且，则( )
A. 族为集合上的一个拓扑
B. 族为集合上的一个拓扑
C. 族为集合上的一个拓扑
D. 若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若集合，，且，则的值为 ．
13.一批货物随列货车从市以千米小时匀速直达市，已知两地铁路线长千米，为了安全，两列货车间距离不得小于千米，那么这批物资全部运到市，最快需要 小时不计货车的身长
14.已知实数，满足，若，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集为，，．
求；
若，且，求的取值范围．
16.本小题分
不等关系是数学中一种最基本的数量关系。请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题
已知克糖水中含有克糖，再添加克糖假设全部溶解，糖水变甜了。请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式
甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是，第二周采购时价格是。现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同。哪种采购方案更经济，请说明理由
17.本小题分
党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为米，容积为立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，沼气池盖子的造价为元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少
18.本小题分
设，．
若恒成立，求实数的取值范围；
当时，解不等式．
19.本小题分
已知有限集，，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于；
若为正整数，求：“完美集”．
参考答案
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15.解：因为，，
所以或，
所以．
因为，所以，
所以，解得，
故的取值范围为．
16.解：该不等式为，
证明：因为，所以，于是
若按第一种方案采购，每次购买量为，
则两次购买的平均价格为，
若按第二种方案采购，每次用的钱数是，
则两次购买的平均价格为，
又，
所以第二种方案比较经济．
17.解：设沼气池的底面长为米，则宽为，可知池底总造价为：；
池壁总造价为：；沼气池盖子的造价为元
设沼气池总造价为元，且，由题可得：
，当且仅当，即时，等号成立．
所以当沼气池的底面是边长为的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是元．

18.解：因为恒成立，
所以，
解得，
所以实数的取值范围
，，
令，得，
当时，，
所以不等式的解集为，
当时，，
，
所以不等式的解集为，
当且时，，
或，
所以不等式的解集为或，
当时，，
所以不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当且时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为．
19.解：由，，则集合是“完美集”，
若、是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或舍去，
所以，又，均为正数，
所以、至少有一个大于．
不妨设中，
由，得，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一个，为．
当时，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集，
综上知，“完美集”为．
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