人教版2024-2025学年九年级数学上册22.1.1二次函数拔高提升同步练习（附答案解析）

人教版2024-2025学年九年级数学上册22.1.1二次函数拔高提升同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共40分）
1．（本题4分）下列函数属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题4分）函数y=xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．（本题4分）下列函数是二次函数的有（　　）
（1）y＝1﹣x2；（2）y＝；（3）y＝x（x﹣3）；（4）y＝ax2+bx+c；（5）y＝2x+1；（6）y＝2（x+3）2﹣2x2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（本题4分）已知，抛物线y＝x2﹣x+2与直线y＝x﹣2的图象如图，点P是抛物线上的一个动点，则点P到直线y＝x﹣2的最短距离为（　　）

A． B． C．2 D．
5．（本题4分）已知二次函数y ax2 2ax 3a2 3（其中x是自变量），当x 2时，y随x的增大而增大，且3 x 0时，y的最大值为9，则a的值为（ ）．
A．1或 B．或 C． D．1
6．（本题4分）三角形的两边长分别为6和8，第三边长是方程一个实数根，则此三角形内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
7．（本题4分）下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
8．（本题4分）如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
9．（本题4分）某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
10．（本题4分）在一次数学活动课中，小林用如图所示的1张小正方形纸片A，4张大正方形纸片B和若干张长方形纸片C恰好拼成一个新的正方形（将纸片进行无空隙，无重叠拼接），则小林共用长方形纸片C为（ ）
A．2张 B．4张 C．6张 D．8张
二、填空题（共25分）
11．（本题5分）已知是二次函数，则 ．
12．（本题5分）若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限．
13．（本题5分）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ．
14．（本题5分）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则A2021的坐标为 ．
15．（本题5分）从 ，，，，0，1，2，3这八个数中，随机抽取一个数记为，若数使关于的分式方程 有整数解，又使抛物线的顶点在第四象限，那么这八个数中满足条件的的值是 ．
三、解答题（共85分）
16．（本题9分）已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．
17．（本题10分）已知二次函数的图象经过两点，求此二次函数的解析式．
18．（本题10分）若关于的函数是二次函数，其图象开口向下，求的值．
19．（本题10分）已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.
(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
(2)若这个函数是一次函数，求m的值．
(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
20．（本题10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．
(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？
(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？
21．（本题11分）已知等边的边长为10，是上一动点，且，是射线上一点，且，以、为边构造．

(1)当点是中点时，求的长；
(2)设；的面积为，当点在线段上时，求出关于的函数关系式，并求出定义域；
(3)联结，若是直角三角形，求的长．
22．（本题12分）如图，在等腰中，，，点P，点M分别是，上的动点，当，过点M作交于点N，连接，设的长为x，
(1)当x为何值时，四边形是平行四边形？
(2)设四边形的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
(3)连接，若点P在线段的垂直平分线上，求的值．
23．（本题13分）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”，例如：点，因为，，所以A是“等值点”．
(1)在点，，中，是“等值点”的有：_____；
(2)若点E为双曲线，上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”；
(3)若一次函数的图象在第一象限内有两个“等值点”，求b的取值范围．
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1．C
【分析】整理后根据二次函数的定义条件判定即可．
【详解】A、y＝5x＋3是一次函数，错误；
B、分母中含有自变量，不是二次函数，错误；
C、符合二次函数的一般形式，是二次函数，正确；
D、被开方数中含自变量，不是二次函数，错误．选C．
【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．C
【分析】直接根据二次函数的定义解答即可．
【详解】解：∵函数y=xm+1是关于x的二次函数
∴m+1=2，即x=1．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是二次项的系数不能为0、次数为2的特征是解答本题的关键．
3．B
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可得．
【详解】（1）函数是二次函数；
（2）函数不是二次函数；
（3）函数整理为，是二次函数；
（4）只有当时，函数才是二次函数；
（5）函数是一次函数；
（6）函数整理为，是一次函数；
综上，是二次函数的为（1）（3），共有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．
4．D
【分析】设过点P平行直线y＝x﹣2的解析式为y＝x+b，当直线y＝x+b与抛物线只有一个交点时，点P到直线y＝x﹣2的距离最小，设直线y＝x﹣2交x轴于A，交y轴于B，解直角三角形求得AB，然后根据等腰直角三角形的性质即可求得OC的长即可解决问题；
【详解】解：设过点P平行直线y1的解析式为y＝x+b，
当直线y＝x+b与抛物线只有一个交点时，点P到直线的距离最小，
由 ，消去y得到：x2﹣4x+4﹣2b＝0，
当△＝0时，4﹣8b＝0，
∴b＝0，
∴直线的解析式为y＝x，
如图作OC⊥AB于C，
直线y＝x﹣2交x轴于A，交y轴于B，则A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC，
∴OC＝AB＝，
故选：D．

【点睛】此题考查二次函数的性质，一次函数图象上的点的特征，二元二次方程组，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．D
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由3 x 0时时，y的最大值为9，可得x=-3时，y=9，即可求出a．
【详解】∵二次函数y ax2 2ax 3a2 3 (其中x是自变量)，
∴对称轴是直线，
∵当x 2时，y随x的增大而增大，
∴a>0，
∵3 x 0时，y的最大值为9，
又∵a>0，对称轴是直线，
，
∴在x=-3时，y的最大值为9，
∴x=-3时, ，
∴，
∴a=1,或a= 2(不合题意舍去).
故选D.
【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握二次函数的基本性质即可解答.
6．B
【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理的逆定理，解一元二次方程，先利用因式分解法求出方程的两根，根据构成三角形的条件确定这个三角形的三边长为，由此利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，根据等面积法得到求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
当时，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当时，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴这个三角形的三边长为，
∵，
∴该三角形是直角三角形，
如图所示，在中，点O是的内接圆，分别与相切于D、E、F，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴圆O的半径为2，
∴此三角形内切圆的半径为2，
故选B．

7．C
【详解】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，根据语句列出函数关系式，并能根据二次函数的定义进行判断是解题的关键.
8．A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
，
，，
和是等腰直角三角形，四边形是矩形，
，，
，
即，
y与x满足一次函数关系，
，最大值为1，
S与x满足二次函数关系，且S存在最大值．
故选：A．
9．B
【分析】根据题意列出y与x，z与x的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义判断即可．
【详解】由题意得，
∴y是x的一次函数。

，
∴z是x的二次函数．
故选：B
【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数的定义，熟练掌握一次函数和二次函数的定义并且正确的列出函数关系式是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，根据题意，得到三种图形的面积之和为一个完全平方式，进行求解即可．
【详解】解：设共用长方形纸片C为张，则：拼成的大正方形的面积为，
∴为完全平方式，
∴或（舍去）；
∴共用长方形纸片C为4张；
故选:B．
11．-1
【分析】根据二次函数的定义，即可得到答案.
【详解】解：依题意得：且，
解得：．
故答案是：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记定义.
12．四
【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案．
【详解】解：由于是关于的二次函数，
且，
，
故一次函数的解析式为，
故一次函数过一、二、三象限，
故答案为：四．
13．3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
，
则代数式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
14．
【分析】过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．
【详解】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，
∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，
∴B1C＝OC，
设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），
把B1（t，t）代入y＝得t t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），
∴OA1＝2OC＝2，
∴A1（2，0），
设A1D的长度为m，同理得到B2D＝m，则B2的坐标表示为（2+m，m），
把B2（2+m，m）代入y＝得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），
∴A1D＝﹣1，A1A2＝2﹣2，OA2＝2+2﹣2＝2，
∴A2（2，0）
设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2+n，n），
把B3（2+n，n）代入y＝得（2+n） n＝，
∴A2E＝﹣，A2A3＝2，OA3＝2+2﹣2＝2，
∴A3（2，0），
综上可得：A2021（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．灵活运用各类知识求出A1、A2、A3的坐标是解题的关键．
15．或1
【分析】通过解分式方程可得出，由x为整数且，可得出或或1，再根据函数的顶点在第四象限，可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，进而可确定a的值，即可得出结论．
【详解】解：解分式方程 ，
去分母，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得，
为整数且，
或或1
又抛物线的顶点在第四象限，
解得，
故这八个数中满足条件的的值是或1，
故答案为：或1
【点睛】本题考查了二次函数的定义以及分式方程的解，通过解分式方程及抛物线的顶点在第四象限确定a值是解题的关键．
16．a＝﹣1
【分析】由二次函数的定义可得a2﹣2a﹣1＝2，且a﹣3≠0，解得即可．
【详解】解：∵y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，
则a2﹣2a﹣1＝2，
解得a＝3或a＝﹣1，
又∵a﹣3≠0，
∴a≠3，
∴a＝﹣1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．
17．
【分析】将（1,0）、（0,5）两点坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：把（1,0）、（0,5）代入
得，
解得，
所以二次函数的解析式为
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
18．
【分析】
本题考查了二次函数的定义以及图象性质、因式分解法解一元二次方程，根据二次函数的定义，得，以及开口向下得，进行计算即可作答．
【详解】
解：函数是二次函数，其图象开口向下，
，，
，
解得，，
∵，
．
19．(1). m≠0且m≠1.(2). m＝0.(3). 不可能
【详解】试题分析：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；
（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案；
（3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数．
试题解析：
(1)∵这个函数是二次函数，
∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，
∴m≠0且m≠1.(2)∵这个函数是一次函数，
∴∴m＝0.(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，
∴不可能是正比例函数．
20．(1)5s
(2)
【分析】（1）由DF∥AE且DF=AE，得四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD=DF，可得关于t的方程，求解即可；
（2）由直角三角形的性质可求DF，BF的长，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C=30°，
∴CD=2DF，AC=2AB，
∵AC＝30cm，
∴AB=15cm，
根据题意得：CD=4tcm，AE=2tcm，则AD=（30-4t）cm，
∴DF=2tcm，
∴DF=AE，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当DF=AD时，四边形AEFD为菱形，
即30-4t=2t，解得：t=5；
（2）解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm，
∴，，
由（1）得：四边形AEFD是平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数，菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
21．(1)
(2)(0(3)5
【分析】（1）延长DG交BC于点H，证△ADE，△BDH是等边三角形，再证BG⊥DH，在Rt△BDH中，由勾股定理得；
（2）过点E作EM⊥FG于点M，由（1）可知△ADE为等边三角形，求出DE=AD=x，EF=DE=x，FM=EF=x，再由勾股定理求得，再根据平行四边形的面积公式求得(0（3）由△DBG是直角三角形知∠BGD=90°，再进一步证得DG=BD，DG=EF=AD，从而求得AD=BD=AB=5．
【详解】（1）解：延长DG交BC于点H
∵D为AB的中点，AB=10，
∴AD=BD=5
∵DE∥AB
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD=5，
∵DE=2EF，
∴EF=2.5
又∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG∥EF，DG=EF=2.5，
∴△BDH为等边三角形，
∴DH=BD=5，
∵DG=2.5，
∴G为DH的中点，
∴BG⊥DH，
在Rt△BDH中，
；
（2）过点E作EM⊥FG于点M，
由（1）可知△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=x，EF=DE=x，
∵，
∴DE∥FG，
∵DE∥BC，
∴FG∥BC，
∴∠EFG=∠C=60°，
∴FM=EF=x，
∴
∴(0即(0（3）∵△DBG是直角三角形，
∴∠BGD=90°，
由（1）知△BDH是等边三角形，
∴G为DH的中点，
∴DG=BD，
又DG=EF=AD，
∴AD=BD=AB=5．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理等，解题关键是正确作出辅助线，构造等边三角形，利用等边三角形的性质推理论证．
22．(1)当时，四边形是平行四边形
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质，得出，根据等腰三角形的性质，得出，根据等腰三角形的判定得出，根据平行四边形的性质得出，列出关于x的方程，解方程即可；
（2）过点A作于点D，连接，根据勾股定理求出，求出，再求出，证明，得出，求出，得出，根据求出结果即可；
（3）过点P作于点E，过点C作于点D，求出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，得出，根据勾股定理得出，再根据，得出，解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得：，
即当时，四边形是平行四边形；
（2）解：过点A作于点D，连接，如图所示：
∵，，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴
；
（3）解：过点P作于点E，过点C作于点D，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∵点P在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
23．(1)D；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）根据“等值点”的定义分别进行判断即可；
（2）由点E为双曲线，上任意一点可设点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，则点F的坐标是，根据“等值点”的定义进行计算后即可证明；
（3）设一次函数的图象在第一象限内“等值点”坐标为，由“等值点”的定义得到，由在第一象限内有两个“等值点”得到，，即可得到b的取值范围．
【详解】（1）解：点，因为，，
∴，
∴不是“等值点”；
点，因为，，
∴，
∴不是“等值点”；
点，因为，，
∴，
∴是“等值点”,
故答案为：
（2）∵点E为双曲线()上任意一点，
∴可设点，
将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，
则点F的坐标是，
∵，，
∴，
∴点F为“等值点”．
（3）设一次函数的图象在第一象限内“等值点”坐标为，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∵在第一象限内有两个“等值点”，
∴，，
∴．
【点睛】此题是新定义题，考查了一次函数和反比例函数的性质，分式的混合运算，一元二次方程根的判别式和根与系数关系，读懂题意，准确计算是解题的关键．
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