人教版2024-2025学年九年级数学上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质拔高提升同步练习(附答案解析)

文档属性

名称 人教版2024-2025学年九年级数学上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质拔高提升同步练习(附答案解析)
格式 docx
文件大小 1.5MB
资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2024-09-27 21:36:08

图片预览

文档简介

人教版2024-2025学年九年级数学上册 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 拔高提升同步练习
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.抛物线的顶点在( )
A.x轴上 B.y轴上
C.第一象限 D.第二象限
2.方程的解的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.关于二次函数的性质描述错误的是( )
A.该抛物线开口向下 B.它的图象关于轴对称
C.原点是该抛物线上的最高点 D.在轴的左侧随的增大而减小
4.如图,正方形有三个顶点在抛物线上,点O是原点,顶点B在y轴上则顶点A的坐标是(  )
A. B. C. D.
5.抛物线y= x2不具有的性质是( )
A.开口向上 B.对称轴是y轴
C.在对称轴的左侧,y随x的增大而增大 D.最高点是原点
6.如图1,车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯所在的位置合适时,灯光会沿着水平方向的反射出去,此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”.抛物线的焦点位置有一种特性:如图,抛物线上任意一点到焦点的距离的长,等于点到一条平行于轴的直线的距离的长.若抛物线的表达式为:,那么此抛物线的焦点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知点(-2,),(0,),(1,)都在函数的图象上,则( )
A.>> B.>>
C.>> D.>>
8.如图,抛物线经过正方形的三个顶点,,,点在轴上,则的值为( )
A. B.1 C. D.2
9.设,记,,则( )
A. B. C. D.M,N的大小不能确定
10.如图,二次函数的图象与轴的正半轴相交于点,现将进行等分,分点分别为点,过各分点的垂线分别交二次函数的图象于点,记的面积分别为、,当越来越大时,最接近的常数是( ).

A. B. C. D.1
二、填空题
11.抛物线的开口 (填“向上”或“向下”).
12.二次函数y = -2x2+3的最大值为 .
13.点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1·x2≥0)是y=ax2(a≠0)图象上的点,存在=1时,=1成立,写出一个满足条件a的值
14.如图,分别过点作x轴的垂线,交的图象于点,交直线于点.则的值为 .
15.如图,过点F(0,)的直线与抛物线y=x2(P>0)交于A,B两点,与x轴和直线y=-分别交于M,N两点,F为AN的中点.已知抛物线上的点到点F的距离与到直线y=-的距离相等,若AB的长为,则p的值为
三、解答题
16.画出函数y=﹣x2+1的图象.
17.二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想,如果需要,画图看一看.二次函数的图象与二次函数的图象呢?
18.已知是二次函数,且当x<0时,y随x的增大而增大.
(1)求k的值;
(2)如果点P(m,n)是此二次函数的图象上一点,若 2≤m≤1,那么n的取值范围为______.
19.已知抛物线经过点.
(1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置;
(2)判断点是否在此抛物线上.
20.已知二次函数.

(1)填写下表,在图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象.
… …
… …
(2)利用图象写出当时,的取值范围是___________.
21.如图,点是轴负半轴上的一点,经过点作直线,与抛物线交于、两点(点在点的左侧),连接、,设点的横坐标为.
(1)若点的坐标为,求点的坐标;
(2)若,,求的值,并证明:;
(3)若,问“”这一结论还成立吗?试说明理由.
22.如图,点、在的图象上.已知、的横坐标分别为、,直线与轴交于点,连接、.
(1)求直线的函数表达式;
(2)求的面积;
(3)在轴上找一点,使的值最小,求点的坐标和的最小值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1.B
【分析】根据抛物线的性质确定抛物线的顶点坐标,即可判定顶点所在的位置.
【详解】解:∵抛物线的顶点为(0,-3),
∴抛物线的顶点y轴上.
故选B.
【点睛】本题考查了抛物线的性质,熟记抛物线的性质是解题的关键.
2.B
【分析】将方程变形为,然后分别画出函数的图像和函数的图像,看图像有几个交点则表明有几个点,注意函数图像中的点不是方程的解.
【详解】解:由题意可知,方程可变形为,
进一步可将题意变成:函数的图像和函数的图像有几个交点,
画出它们的函数图像如下:
由图像可知,它们只有一个交点,故方程只有一个解,
故选:B.
【点睛】本题考查了二次函数图像及反比例函数的图像交点问题,熟练掌握常见函数的图像是解决本题的关键.
3.D
【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可.
【详解】A. 因为,所以该抛物线开口向下,故A正确;
B. 因为一次项系数b=0,所以它的图象关于轴对称,故B正确;
C. 因为该抛物线开口向下,顶点为原点,所以原点是该抛物线上的最高点,故C正确;
D. 因为该抛物线开口向下, 所以在轴的左侧随的增大而增大,故D错误.
故选D.
【点睛】此题考查的是二次函数的性质,掌握二次函数的性质与各项系数的关系是解决此题的关键.
4.C
【分析】连接交y轴于点D,设点B坐标为,根据正方形的性质可得,从而得到,再代入,即可求解.
【详解】解:如图,连接交y轴于点D,
设点B坐标为,
∵四边形是正方形,
∴轴,
∴,
∴,
∵A在抛物线上,
∴,
解得(舍去)或8,
∴点A的坐标为.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,正方形的性质,利用数形结合思想解答是解题的关键.
5.A
【详解】试题分析:根据二次函数的系数与图像的关系,可知a=-1<0,开口向下,故A正确;
根据对称轴的公式,可知x=0,即对称轴是y轴,故B不正确;
根据对称性,可知在左侧,y随x的增大而增大,故C不正确;
这是过原点的二次函数,故D不正确.
故选A.
点睛:此题主要考查了y=ax2的图像与性质,解题时,利用其图像的和性质之可知,a确定函数的开口方向,对称轴为y轴,顶点为原点,在a确定的情况下,对称轴的左右两边有不同的变化.
6.C
【分析】本题考查了二次函数的性质,两点间的距离,利用平方差公式因式分解,设抛物线与轴交点为,与轴交于点,,,则,根据“焦点”定义可知:,,则,根据两点间的距离可得,然后解出即可,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.
【详解】如图,
设抛物线与轴交点为,与轴交于点,,,则,
根据“焦点”定义可知:,,
∵点为抛物线顶点坐标,
∴,
∴,
∴,
∴,则,
∴,,
由得:,
∴,
即:,
整理得:,
∴,
∴,解得:,
∴焦点的坐标为,
故选:.
7.B
【详解】函数的图象的对称轴是y轴,顶点是原点,开口向上,所以离原点越远,函数值就越大.
因为|-2|>1>0,所以y1>y3>y2.
故选B.
8.D
【分析】本题考查正方形的性质,二次函数的图象和性质,先根据抛物线解析式求出,再根据正方形的性质得出,进而可得点,将A点坐标代入抛物线解析式,即可求出的值.
【详解】解:如图,连接交y轴于点D,
对于,当时,,

四边形是正方形,



解得,
故选D.
9.C
【分析】本题考查函数的性质,化简绝对值,由可知,随着的增大而增大,由可知,当时,随着的增大而增大,则,据此化简,由可知,当时,随着的增大而减小,则,当时,随着的增大而增大,则,再求得,据此化简,即可比较和的大小.利用函数的增减性比较大小化简绝对值是解决问题的关键.
【详解】解:由可知,随着的增大而增大,
由可知,当时,随着的增大而增大,
则,


由可知,
当时,随着的增大而减小,则,
当时,随着的增大而增大,则,
∵,,
∴,


∴,
故选:C.
10.B
【分析】本题考查了二次函数的基本性质,理解二次函数图象的特点,运用极限思想分析问题是关键.先求出函数:的图象与轴的正半轴相交于点坐标,再根据题意得到三角形的面积计算方法,最后根据计算结果可推出最佳答案.
【详解】解:由题意可得:的图象与轴的正半轴相交于点


当越来越大时,最接近的值为.
故选:B.
11.向下
【分析】本题主要考查了二次函数的性质,根据二次函数的性质即可解答;掌握,当,抛物线开口方向向下是解题的关键.
【详解】解:在抛物线中,,
则抛物线的开口向下,
故答案为:向下.
12.3
【分析】根据二次函数的性质即可求得最值.
【详解】解:由于二次函数y=-2x 2+3的图象是抛物线,
-2<0,开口向下,对称轴为y轴,
所以当x=0时,函数取得最大值为3,
故答案为:3.
【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+k的性质,熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解题的关键.
13.
【分析】由可知图像一定过,令,,由=1时,=1成立,取,,代入中解出即可.
【详解】∵一定过,
∴令,,
∵=1时,=1成立,
∴取,,
∴,
解得:.
故答案为:.
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质,掌握二次函数图像上点的坐标特点是解题的关键.
14.
【分析】根据题意分别将,…代入解析式,求得与的坐标,的长,分别表示出所求式子的各项,拆项后抵消即可得到结果.
【详解】解:根据题意得:把代入;中,
得到,,
∴,
∴,
同理,把代入,中,
得到,,
∴,
∴,

代入;中
得到,
∴,
∴,
∴.
故答案为:.
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的点的坐标求法及数字型的规律探索,属于规律型试题,找出题中的规律是解本题的关键.
15.2
【分析】如下图所示,FK是△ANQ中位线,由此求出FK,进而求出AQ,再由AF=AQ后求出AN和BP的长,最后由△NBP∽△NAQ即可求解.
【详解】解:过A、B两点分别作AQ⊥NQ于Q点,BP⊥NQ与P点,NQ交y轴于K点,NQ所在直线为y=-,如下图所示:
∵F是AN的中点,
∴FK是△ANQ的中位线,
∴AQ=2FK=2p,AN=2AQ=4p,
由题意知:AF=AQ=2P,BP=BF=AB-AF=-2p,
NB=AN-AB=4p-,
由△NBP∽△NAQ有:,代入数据:

解得:.
故答案为:2.
【点睛】本题考查了二次函数的图形和性质,相似三角形的的判定和性质,中位线的性质等,本题的关键是要理解“抛物线上的点到点F的距离与到直线y=-的距离相等”这句话,进而得到AQ=AF,BF=BP这个关键条件.
16.见解析
【分析】根据列表、描点连线的方法画出二次函数图象即可求解.
【详解】解:列表如下:
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 …
描点、连线如图.
【点睛】本题考查了画二次函数图象,掌握的图象与性质是解题的关键.
17.二次函数的图象与二次数的图象都是抛物线,并且形状相同,二次函数的图象与二次函数两个图象关于x轴对称;整个图象是个轴对称图形;二次函数的图象的开口向下,图象开口向上,顶点坐标都是(0,0),那么对称轴都是y轴.
二次函数的图象与二次数的图象都是抛物线,并且形状相同,二次函数的图象与二次函数的图象,两个图象关于x轴对称;整个图象是个轴对称图形,二次函数的图象的开口向下,图象开口向上,顶点坐标都是(0,0),那么对称轴都是y轴.
【分析】开口方向看a的值;对称轴和顶点坐标都看顶点坐标.
【详解】解:
二次函数的图象与二次数的图象都是抛物线,并且形状相同,二次函数的图象与二次函数两个图象关于x轴对称;整个图象是个轴对称图形;二次函数的图象的开口向下,图象开口向上,顶点坐标都是(0,0),那么对称轴都是y轴.
二次函数的图象与二次数的图象都是抛物线,并且形状相同,二次函数的图象与二次函数的图象,两个图象关于x轴对称;整个图象是个轴对称图形,二次函数的图象的开口向下,图象开口向上,顶点坐标都是(0,0),那么对称轴都是y轴.
【点睛】二次函数的a>0,开口向上,反之则开口向下,形如y=a的二次函数顶点坐标为(0,0)那么对称轴就为y轴.
18.(1);
(2)≤y≤0
【分析】(1)根据二次函数定义以及当x<0时,y随x的增大而增大.可得出结论;
(2)当x=2时,y=4,当x=1时,y=1并结合函数图象求出y的取值范围.
【详解】(1)解:由是二次函数,且当x<0时,y随x的增大而增大,得

解得:;
(2)解:由(1)得二次函数的解析式为,
如图所示:
当x=2时,,
当x=1时,,
∴当2≤x<1时,≤y≤0,
故答案为:≤y≤0.
【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质,关键是求函数解析式.
19.(1)它的开口向下,图象位于轴的两侧,轴的下方,顶点为原点
(2)点不在此抛物线上
【分析】(1)把代入,求出a的值,即可解答.
(2)把代入表达式,求出函数值,判断是否等于,即可解答.
【详解】(1)解:∵抛物线经过点,
∴,
∴,
∴此抛物线对应的函数解析式为.
∴它的开口向下,图象位于轴的两侧,轴的下方,顶点为原点;
(2)解:把代入得,,
∴点不在此抛物线上.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是掌握二次函数,顶点为原点,当时,开口向下,反之开口向上.
20.(1)见解析;
(2).
【分析】()根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可;
()观察函数图象求解即可.
【详解】(1)根据画函数图像的步骤:
列表:
… …
… …
描点,
连线;
如图:

(2)根据图象可知:当时,,
故答案为:.
【点睛】此题考查了二次函数的图象,解题关键是掌握二次函数图象及其性质,掌握二次函数图象画法,通过数形结合求解.
21.(1);(2),证明见解析;(3)成立,理由见解析.
【分析】(1)先将A点坐标代入解析式求得a,然后再求C即可;
(2)设 、然后再求直线AC的解析式,再结合AC2:BC2=1:4列式求得a,再确定C点坐标,然确定A、B的坐标,最后运用勾股定理逆定理解答即可;
(3)由可得,进而求得a,然再确定C点坐标,然确定A、B的坐标,最后运用勾股定理逆定理解答即可.
【详解】解:(1)当A(-4,-2)时,A在上,
∴,即a=-
∴;
(2)设 、
∴A(-1,a),C(0,a),
设AC的解析式为y=kx+b
则 ,解得
∴AC的解析式为
∵AC:BC=1:2


∴B(-2m,4am2),A(2,4a)
∵AC:BC=1:2
∴AC2:BC2=1:4,即BC2=4 AC2
∴ ,解得a=
∴A(-1,),B(2,)
∴AO2= , BO2= ,
AB2=
∴AO2+BO2=AB2
∴∠AOB=90°;
(3)成立,理由如下:
∵,则 A(m,am2),B(-km, ak2m2),

∴ ,解得,即a=(a<0)
∴A(m, ),B(-km,)
∴AO2= ,
BO2= ,
AB2=
∴AO2+BO2=AB2
∴∠AOB=90°;
【点睛】本题属于一次函数和二次函数的综合题,勾股定理及勾股定理的逆定理的应用,掌握勾股定理的逆定理是解答本题的关键.
22.(1)直线的解析式为:;
(2);
(3),的最小值为.
【分析】(1)将的横坐标分别代入求出的值,得到,点坐标,再运用待定系数法求出直线的解析式即可;
(2)求出的长,根据“”求解即可;
(3)作点关于轴的对称点,连接交轴于点,则的值最小,先利用待定系数法求得直线,进而即可求得点的坐标,利用勾股定理即可求得的最小值.
【详解】(1)解:∵,是抛物线上的两点,
∴当时,;当时,
∴点的坐标为,点的坐标为
设直线的解析式为,
把,点坐标代入得
解得,
所以,直线的解析式为:;
(2)解:对于直线:
当时,

∴;
(3)解:∵,
∴,
如图,作点关于轴的对称点,连接交轴于点,则的值最小,
设直线∶,
∵直线∶过点和点,
∴,
解得,
∴直线∶,
令,有,
解得,
∴,
∵点关于轴的对称点为,
∴,
∴的最小值为的长:.
【点睛】此题主要考查了运用待定系数法求直线解析式,轴对称的性质,勾股定理,二次函数二次函数的图像及性质,熟练求解直线的解析式是解题的关键.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)