人教版2024-2025学年九年级数学上册22.1.3二次函数y=a（x－h）2＋k的图象和性质拔高提升同步练习（附答案解析）

人教版2024-2025学年九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a（x－h）2＋k的图象和性质 拔高提升同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数y=﹣（x+2）2﹣1的图象的对称轴是（　　）
A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣2
3．若点、都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．已知二次函数 y x 32 ，那么这个二次函数的图像有（ ）
A．最高点3, 0 B．最高点3, 0 C．最低点3, 0 D．最低点3, 0
5．抛物线的顶点总在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．直线上 D．直线上
6．对于二次函数，下列结论正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大
7．如图，点A，点B的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．若点D的横坐标的最大值为6，则点C的横坐标的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．抛物线与坐标轴交点的个数（ ）．
A．必定是1个 B．必定是2 个
C．必定是3个 D．可以是1个也可以是2个
9．在平面直角坐标系中，如果把抛物线向右平移3个单位长度得到一条新抛物线，下列关于这两条抛物线的描述不正确的是（ ）
A．开口方向相同 B．对称轴不同
C．顶点的横坐标相同 D．顶点的纵坐标相同
10．点，均在抛物线上，若，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．二次函数的最小值是 ．
12．若点，在抛物线上，则 ．（填、、或）
13．二次函数y＝-(x-1)2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为 ．
14．二次函数，若函数的图象的顶点在函数的图象上，函数的图象的顶点在函数的图象上，且，则与所满足的关系式为 ．
15．如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是 （填写正确结论的序号）．
三、解答题
16．写出下列抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
(1)；
(2)．
17．一个二次函数，其图象由抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移k(k＞0)个单位得到，平移后的图象过点(2，1)，求k的值．
18．在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．
19．把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，
（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为 ；
（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是 （a为锐角时）；
（3）如图②，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标；
（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．
20．已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点．
(1)求抛物线解析式；
(2)求抛物线与轴的交点坐标；
(3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况．
21．如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为，
(1)求，的值；
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
22．定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是一次函数图像的“1阶方点”．
(1)在①，②，③三点中，是反比例函数图像的“2阶方点”的有________（填序号）；
(2)如图，已知抛物线交y轴于点C，一次函数的图像交抛物线第二象限于点P，点Q为该一次函数图像的“1阶方点”．
①求的面积的最大值；
②若一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若抛物线的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围．
23．问题提出
（1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．
1．B
【分析】直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答．
【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=x2-1的顶点坐标是（0，-1）．
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，即抛物线y=（x-k）2+h中，其顶点坐标为（k，h）．
2．D
【分析】根据二次函数顶点式的性质解答即可.
【详解】∵y=﹣（x+2）2﹣1是顶点式，
∴对称轴是：x=-2，
故选D.
【点睛】本题考查二次函数顶点式y=a(x-h)2+k的性质，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）熟练掌握顶点式的性质是解题关键.
3．B
【分析】根据题意得：当 时， ，当 时， ，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．B
【分析】根据二次函数的顶点式进行作答.
【详解】由题知，y x 32+0，所以，这个二次函数由最高点且为3, 0.所以答案选B.
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式是本题解题关键.
5．C
【分析】根据抛物线的顶点式可知其顶点坐标为（k，k），再根据横坐标与纵坐标相等即可得出结论．
【详解】∵抛物线的解析式为y=a（x-k）2+k，
∴抛物线的顶点坐标为（k，k），
∵顶点坐标的横坐标与纵坐标相等，
∴抛物线的顶点坐标总在直线y=x上．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，根据抛物线的顶点式得出其顶点横坐标与纵坐标相等是解答此题的关键．
6．D
【分析】本题考查的是二次函数的增减性，由，抛物线开口向上，而对称轴为直线，可得答案；
【详解】解：∵二次函数，
由于，抛物线开口向上，
而对称轴为直线，
所以当时，y随x的增大而增大．
故选D
7．C
【分析】当D点横坐标最大值时，抛物线顶点必为，可得此时抛物线的对称轴为直线，求出间的距离；当C点横坐标最小时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断C点横坐标的最小值．
【详解】解：当点D横坐标为6时，抛物线顶点为，
∴对称轴为直线，；
当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为直线，
∵，
∴，
∴点C的横坐标最小值为，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象．明确CD的长度是定长是解题的关键．
8．B
【分析】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，正确利用函数解析式分析是解题关键．
直接利用抛物线解析式进而得出与坐标轴的交点个数．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴顶点在x轴上，即与x轴有1个交点．
当时，与y轴的正半轴相交，当时，与y轴的负半轴相交，即与y轴有1个交点，
∴与坐标轴交点的个数必定是2 个．
故选B．
9．C
【分析】根据二次函数的平移及性质可进行求解．
【详解】解：把抛物线向右平移3个单位得到新的二次函数解析式为，
∴这两条抛物线的开口方向都是向上，故A选项正确；
对称轴一个为直线，一个为直线，故B选项正确；
顶点的横坐标一个为0，一个为3，故C选项错误；
顶点的纵坐标都为0，故D选项正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移及性质，熟练掌握二次函数的平移及性质是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查二次函数性质，绝对值意义，解题关键是掌握二次函数开口向上时，点离对称轴越远，函数值越大，根据即可求得，从而解题．
【详解】解：点，均在抛物线上，，
抛物线对称轴为，
开口向上，
点离对称轴越远，函数值越大，
，
，
故选：D．
11．
【分析】根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵，开口向上，顶点坐标为，
∴二次函数的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．
【分析】由抛物线可知抛物线的对称轴是，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，而点，在对称轴两侧，且到对称轴的距离都相等，由对称性可求解．
【详解】解：∵的对称轴为直线，
且，，
∴，在对称轴两侧，且关于对称轴对称，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特征及对称性；解题关键是掌握二次函数的对称性．
13．-3
【分析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为5m为负数，最大值为5n为正数．将最大值为5n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．
【详解】二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣4，
当x=n时y取最大值，即5n=﹣（n﹣1）2+5， 解得：n=-4或n=1（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣4，
当x=1时y取最大值，即5n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=1，
或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，
5m=-（n-1）2+5，n=1，
∴m=1，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=﹣4+1=-3．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查二次函数的最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，数形结合是解题的关键．
14．
【分析】先根据顶点坐标公式得到两个函数的顶点坐标，再分别代入对应的解析式表示出来，最后通过化简，根据，即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
二次函数的顶点坐标为：，
二次函数的顶点坐标为：，
函数的图象的顶点在函数的图象上，函数的图象的顶点在函数的图象上，
，，
整理得：
，，
，，
得：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式，是解题的关键．
15．①③④
【分析】根据题意分别求出两个二次函数的解析式，根据函数的对称轴判定①；令x=0，求出y2的值，比较判定②；观察图象，判定③；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出AB、AC的长，判定④．
【详解】∵抛物线y1=a（x+2）2+m与抛物线y2=（x﹣3）2+n的对称轴分别为x=-2，x=3，
∴两条抛物线的对称轴距离为5，故①正确；
∵抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），
∴2+n=3，即n=1；
∴y2=（x﹣3）2+1，
把x=0代入y2=（x﹣3）2+1得，y=≠5，②错误；
由图象可知，当x＞3时，y1＞y2，∴x＞3时，y1﹣y2＞0，③正确；
∵抛物线y1=a（x+2）2+m过原点和点A（1，3），
∴，
解得 ，
∴.
令y1=3，则，
解得x1=-5，x2=1，
∴AB=1-（-5）=6，
∴A（1，3），B（-5，3）；
令y2=3，则（x﹣3）2+1=3，
解得x1=5，x2=1，
∴C（5，3），
∴AC=5-1=4，
∴BC=10，
∴y轴是线段BC的中垂线，故④正确．
故答案为①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．
16．(1)抛物线开口向上，对称轴为x=5，顶点坐标为（5，-1）；
(2)抛物线开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为（-2，1）．
【分析】由a的符号可确定其开口方向，利用顶点式可求得其对称轴和顶点坐标．
【详解】（1）解：∵在中，a=＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=5，顶点坐标为（5，-1）；
（2）解：∵在y=-4（x+2）2+1中，a=-4＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为（-2，1）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
17．
【详解】试题分析：先由平移规律求出平移后的抛物线解析式，因为它经过点（2，1），所以把点（2，1）代入新的抛物线解析式就可求的k值．
试题解析：
抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移k个单位，得y＝ (x－1)2＋k.
又∵过点(2，1)，
∴ (2－1)2＋k＝1，
解得k＝.
18．见解析
【分析】本题主要考查了画二次函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握描点法画图．
先列表分别得到两个函数图像上的一些点的坐标，然后描点画出函数图像即可．
【详解】先列表：

描点、连线，画出这两个函数的图象：
19．（1）E（4，2）；
（2）60°；
（3）；
（4）点H不在此抛物线上．
【详解】试题分析：（1）依题意得点E在射线CB上，横坐标为4，纵坐标根据勾股定理可得点E．
（2）已知∠BCD=60°，∠BCF=30°，然后可得∠α=60°．
（3）设CG=x，则EG=x，FG=6﹣x，根据勾股定理求出CG的值．
（4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2，把点A的坐标代入求出a值．当x=7时代入函数解析式可得解．
解．（1）E（4，2）
（2）60°
（3）设CG=x，则EG=x，FG=6﹣x，
在Rt△FGC中，∵CF2+FG2=CG2，
∴42+（6﹣x）2=x2
解得，即
∴
（4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2，
把A（0，6）代入，得6=a（0﹣4）2．
解得a=．
∴抛物线的解析式为y=（x﹣4）2
∵矩形EDCF的对称中心H即为对角线FD、CE的交点，
∴H（7，2）．
当x=7时，
∴点H不在此抛物线上．
考点：二次函数综合题．
20．(1)抛物线的解析式为
(2)抛物线与轴的交点坐标为
(3)时，函数值随着的增大而减小
【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可；
（2）计算自变量的值为所对应的函数值即可；
（3）根据二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
抛物线与轴的交点坐标为；
（3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
当时，函数值随着的增大而减小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二次函数的性质．
21．(1)，
(2)存在，的周长最小为
(3)或
【分析】（1）根据直线与轴、轴分别交于点、，进行计算得，，根据抛物线经过点、得，计算求出，的值即可；
（2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，，根据两点之间线段最短，即为使的周长最小的点，计算、，求出的最小周长即可；
（3）设，根据，，得，，，当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，代入计算即可得出点的坐标．
【详解】（1）∵直线与轴、轴分别交于点、，
∴，
，解得：，
∴，．
∵抛物线经过、，
∴把，代入抛物线，得：，
解得：；
（2）∵抛物线，
∴对称轴为，
∴，
∴．
如下图，连接交对称轴于点，连接，
∵、两点关于对称轴对称，
∴，
∴．
∵两点之间线段最短，
∴最小，
∴周长最小，
∵，，
∴设直线解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线解析式为，当时，，
∴；
∴存在满足条件的点，此时，且，
∴的周长最小为；
（3）设，
∵，，
∴，
，
，
当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，，
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握勾股定理和二次函数的性质是解题的关键．
22．(1)①②
(2)①4；②或
(3)
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）求出点P的坐标，结合图形求出的面积取得最大值时点Q的坐标，即可求出的面积的最大值；
②在以O为中心，边长为2的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2m的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“m阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）①到两坐标轴的距离分别是1，1，
∵，
∴是反比例函数图像的“2阶方点”；
②到两坐标轴的距离分别是2，，
∵，
∴是反比例函数图像的“2阶方点”；
③到两坐标轴的距离分别是，，
∵，
∴不是反比例函数图像的“2阶方点”；
故答案为：①②；
（2）∵一次函数，
∴一次函数过定点，
当时，，
∴在抛物线上，
∴．
①∵点Q为该一次函数图像的“1阶方点”，
∴当Q的纵坐标为－1时，面积最大．
∴面积最大为；
②∵一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，
∴在以O为中心，边长为2的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
当一次函数过时，
，
解得．
当一次函数过时，
，
解得．
综上：或．
（3）在以O为中心，边长为2m的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“m阶方点”一定存在，
如图，当时，，
当抛物线经过点B时，
，
解得；
当抛物线经过点D时，
，
解得（舍）或；
∴．
【点睛】本题考查了新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的图形与性质吗，坐标与图形的性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
23．（1）；（2）存在符合设计要求的四边形面积的最小值为，这时，点N到点A的距离为．
【分析】（1）在中，设边上的高为h，根据题意求出h的值，，计算即可；
（2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形．
设，则， ， ，，在根据列出关于x的一元二次方程，根据二次函数最值得方法求解即可．
【详解】解：（1）在中，设边上的高为h．
∵，，∴
∵，∴点到的距离为．
∴
．
（2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形．
设，则
， ， ，．
由题意，易知，
∴
．
∴当时，．
，．
∴符合设计要求的四边形面积的最小值为，
这时，点N到点A的距离为．
【点睛】本题主要考查平行四边形性质，运用锐角三角函数求边长，根据二次函数图像求最值问题，正确列出所求图形面积的式子是解题关键．
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