人教版2024-2025学年九年级数学上册22.1.4二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质拔高提升同步练习（附答案解析）

人教版2024-2025学年九年级数学上册 22.1.4 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 拔高提升同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从表中可知，下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线x＝0 B．抛物线与x轴的一个交点为（3，0）
C．函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6 D．在对称轴右侧，y随x增大而增大
4．当时，抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．若点，，在抛物线上，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点（其中为任意实数），则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：
①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；④﹣＜a＜﹣；⑤c-3a＞0．
其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，中，是边的中点，过点作分别交于点（不与重合），取中点，连接并延长交于点，连接．随着点位置的变化，下列结论中错误的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的周长有最小值为 D．四边形的面积有最小值为9
二、填空题
11．抛物线向右平移一个单位长度后，得到的新抛物线表达式是 ．
12．将二次函数的图像向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，点在两次平移后得到的函数图像上，则 ．
13．已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ．
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，其对称轴为直线x＝1，下面结论中正确的有 个．①abc＞0，②2a﹣b＝0，③4a+2b+c＜0，④9a+3b+c＝0
15．如图，已知抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、．点在抛物线的对称轴上，点为抛物线上位于第四象限一点，满足．点在抛物线上，且满足，则点的坐标为 ．
三、解答题
16．已知二次函数y＝﹣2x+6．用配方法求函数图象的顶点坐标和对称轴．
17．抛物线经过点，已知，．

（1）求抛物线的解析式
（2）若抛物线的顶点为，直线交轴于点，连接、、，求的面积．
18．已知二次函数的图象为抛物线C．
(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
19．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，如图建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线表示的二次函数解析式；
(2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，求他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处．
20．贵安新区某公园准备建一个双圆型喷水池，内、外层水流在各方向沿两个抛物线落下．内层喷水头距地面米，外层喷水头在内层喷水头正上方米处.内层水流路线最高处距地面米，外层水流路线最高处距地面8米，且内层最高处与喷水头的水平距离为1米，外层最高处与喷水头的水平距离为2米．
(1)请以地面为x轴，喷水头所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，求出内、外层水流所在抛物线的表达式；
(2)设计人员准备在内、外层水流落地位置之间建一条环形路，供人们欣赏美景．要求路宽为1米，且1.9米的人在路上行走时不被水打湿．请问该方案能否实现？请说明理由．
21．已知抛物线过点；
(1)求a，b之间的关系；
(2)若，抛物线在时的最大值为，求a的值；
(3)将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线顶点记为点P，若，求c的取值范围．
22．某市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（）存在如下图所示的一次函数关系．
(1)试求出y与x的函数关系式；
(2)设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C点D是抛物线上位于直线BC下方的一点．
（1）如图1，连接AD，CD，当点D的横坐标为5时，求S△ADC；
（2）如图2，过点D作DEAC交BC于点E，求DE长度的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝x2﹣x+3向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y'＝ax2+bx+c．新抛物线与原抛物线的交点为点F，G为新抛物线的对称轴上的一点，点H是坐标平面内一点，若以C，F，G，H为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点H坐标．
1．B
【分析】先根据二次函数的增减性判断出的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】解：∵二次函数，当时，随的增大而减小，，
∴，
A．当时，，解得：，此选项不符合题意；
B．当时，，解得：，此选项符合题意；
C．当时，，解得：，此选项不符合题意；
D．当时，，解得，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
2．A
【详解】试题分析：对称轴，故选A．
考点：二次函数的性质．
3．B
【分析】根据表格信息结合二次函数性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、由表格可知函数经过（0，6），（1，6），所以对称轴，故选项不符合题意；
B、根据图表，当x＝﹣2，y＝0，根据抛物线的对称性，当x＝3时，y＝0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0），故选项正确，符合题意；
C、根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当x＝时，函数有最大值，而不是x＝0，或1对应的函数值6，故选项错误，不符合题意；
D、根据表中数据得到抛物线的开口向下，并且在直线x＝的右侧，y随x增大而减小，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线y=ax2+bx+c的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；a＜0时，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
4．A
【详解】试题分析：∵y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（-，）
∴抛物线y=x2+2ax+1+a2的顶点坐标横坐标是-a，是正数，
纵坐标是：＞0，
∴顶点横坐标大于0，纵坐标大于0，因而点在第一象限
故选A．
考点：二次函数的性质．
5．C
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，根据，，三点到对称轴的距离大小求解．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
距离对称轴越近的点的纵坐标越小，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
6．D
【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律，易得点的坐标．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是，
∴将抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线，
∴将点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．B
【分析】本题是两条直线相交问题，考查了两条直线交点的求法，勾股定理的应用，二次函数的性质等，用含的式子表示出是解题的关键．
联立两个解析式构成方程组，得出点坐标，根据勾股定理得出，然后根据二次函数的性质可得有最小值．
【详解】由，解得
∴，
∴，
∴时，有最小值．
故选：．
8．D
【分析】①根据二次函数图像与系数的关系可知：开口向下，a＜0；对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”可知a、b异号，则b＞0；图像与y轴交于正半轴，则c＞0，据此可判断；
②根据抛物线对称性，可得图像与x轴的另一交点为（5,0），由图像可知当x=3时，y＞0，可判断；
③找出N（，y2）关于对称轴的对称点，再用二次函数的增减性判断大小；
④根据对称轴x=2，可得，将（-1,0）代入函数解析式可得，最后B在（0，2）与（0，3）之间可判断a的取值范围.
⑤由，可得.
【详解】①抛物线开口向上，∴
对称轴，∴（左同右异）
抛物线与y轴交于正半轴，∴
∴abc＜0，故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=2，
∴图像与x轴的另一交点为（5,0），当x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③N（，y2）关于对称轴x=2的对称点为（，y2），
，根据抛物线图像可知在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故③错误；
④对称轴，∴，
将（-1,0）代入二次函数可得，∴，，
∵，∴，解得﹣＜a＜﹣，故④正确；
⑤由④中可得，故⑤正确.
所以选D.
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，利用数形结合的思想是解题的关键.
9．A
【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：设，，
由图像知，，，，，，，，
∴，
∵函数的图像开口大于函数的图像开口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小．
10．D
【分析】A选项：连接，中点，，∴，∴即可求解；B选项：取中点N，连接交于点K，过点B作的对称点，连接，，当点三点共线取得最小值，由对称得，可求，在中，，∴；C选项：连接，先证明，则为等腰直角三角形，，而最小值为，则；
D选项：连接，，可证四边形是矩形，设，则，
则．
【详解】解：连接，∵等腰，，
∴，，
∵点D为边的中点，∴,，
∵中点，，∴，∴，
即，当点A、P、D共线时等号成立，故A正确；
连接，∵，∴，
∵，∴，
∴，∵，
∴，
∴，而，
∴为等腰直角三角形，
∴，∵最小值为，
，故C正确，不符合题意；
连接，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，，
，
，
，
，
，
， 同理可证：，又∵，
∴ ，
四边形是矩形，
∵，设，则，
，
的最大值为9，故D错误，符合题意．
取中点N，连接交于点K，过点B作的对称点，连接，
由上知点P为中点，∴为中位线，，
∴，
∵，当点三点共线取得最小值，
∵，，∴，
由对称得，可求，
在中，，∴，
故B正确，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，矩形的判定与性质，线段最值等问题，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
11．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】解：函数向右平移1个单位，得：；
故答案为：；
【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
12．
【分析】
本题主要考查了二次函数图象的平移问题，求二次函数值，先根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的二次函数解析式，再把点P坐标代入平移后的函数解析式中求解即可．
【详解】解：将二次函数的图像向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后的函数解析式为，
∵点在平移后的二次函数图象上，
∴，
故答案为：．
13．.
【分析】根据图像经过的两点，确定抛物线的对称轴，利用对称轴，确定P的对称点，利用数形结合思想，确定m的范围即可.
【详解】∵抛物线经过，两点，
∴，
解得b=-6a，
∴抛物线的对称轴为直线x==3,
∴的对称点为，
∵，
∴，
故填.
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟记二次函数的性质是解题的关键.
14．1
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故原答案错误，不符合题意；
②函数的对称轴为：x＝﹣＝1，故2a+b＝0，故原答案错误，不符合题意；
③图象与x轴交于点A（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，则图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），故当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故原答案错误，不符合题意；
④图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），即x＝3时，y＝9a+3b+c＝0，正确，符合题意；
故答案为：1．
【点睛】本题考查的知识点是抛物线图象及其性质，掌握抛物线图象的性质是解此题的关键．
15．
【分析】在上取一点，使得，过点作延长线于，分别过点、作轴的垂线，分别与过点平行于轴的直线交于点、，交轴于点，根据点在抛物线的对称轴上，，求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据相似三角形的判定与性质，证明，得出，结合图形与坐标，求出、，利用证明，证明，得出，求出、，根据图形与坐标，求出点的坐标，结合点的坐标，求出直线的解析式，结合抛物线的解析式，求出点的坐标即可．
【详解】解：如图，在上取一点，使得，过点作延长线于，分别过点、作轴的垂线，分别与过点平行于轴的直线交于点、，交轴于点，
∴，
∵抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、，
∴当时，，
，
解得：，，
当时，，
∴，，，
∴，，，
∴，
设直线解析式为，则，
解得：，
∴直线解析式为，
∵点在抛物线的对称轴上，，
∴点的横坐标，点的横坐标点的横坐标，
∴点的横坐标，
∵当时，，
∴，
∴设直线解析式为，则，
解得：，
∴直线解析式为，当时，，
∴，
∴，，
∵直线解析式为，当时，，
∴点也在线段上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∵，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，，
∴，
∴点的纵坐标，横坐标，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点是直线与抛物线的交点，
∴令，整理得，
因式分解得：，
解得：，（为点的横坐标），
∴点的横坐标，纵坐标，
∴点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、图形与坐标、一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握知识点、作辅助线推理、数形结合是解题的关键．
16．顶点坐标为（2，4）对称轴为x＝2
【分析】根据配方法的步骤把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标．
【详解】解：y＝﹣2x+6＝（x2﹣4x+4+8）＝（x﹣2）2+4，
所以顶点坐标为（2，4）对称轴为x＝2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，配方法，二次函数的顶点式y＝a（x h）2＋k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．
17．（1）；（2）4．
【分析】（1）将，代入，得到方程组，解方程组求解，即可得到答案；
（2）先求解顶点的坐标，再求解的解析式，求解的坐标，再利用，从而可得答案．
【详解】解：（1）将，代入得，
，解得，
抛物线的解析式为
（2）∵点为抛物线的顶点，
由，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，∴，
∴
．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，以及一次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数的顶点坐标，三角形的面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
18．(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；
(2)当时，该二次函数的函数值y的取值范围是．
【分析】（1）把一般式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得；
（2）根据二次函数的性质可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线C的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线C的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当时，；
当时，；
当时，；
∴当时，该二次函数的函数值y的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．(1)
(2)1米
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题，利用函数的思想方法来解决问题．
（1）先确定抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式；
（2）设运动员带球向正后方移动m米，则可用含m的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得m的值即可．
【详解】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数解析式为：；
（2）解：设运动员带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：，
把点代入得：，
解得（舍去）或，
当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处．
20．(1)内层水流所在抛物线的表达式为，外层水流所在抛物线的表达式为
(2)该方案能实现，理由见解析
【分析】此题考查了二次函数实际应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据题意将代入求出，将代入求出；
（2）令，得到，将代入得，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，由题意得，内层抛物线顶点为，
设内层水流所在抛物线的表达式为，
将点代入，得
内层水流所在抛物线的表达式为
外层水流所在抛物线顶点为
设外层水流所在抛物线的表达式为，
将点代入得，
外层水流所在抛物线的表达式为；
（2）解：该方案能够实现．理由如下：令，解得，
将代入得
该方案能实现．
21．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，等腰直角三角形性质等，熟练掌握二次函数的增减性和平移的原则是解题的关键．
（1）把点代入抛物线中可得结论；
（2）分两种情况：①；②，分别根据增减性和已知条件列方程可解答；
（3）先将抛物线的解析式化为顶点式，并根据平移的规律得到新的解析式：，确定P的坐标和所在直线：，分和两种情况，可得结论．
【详解】（1）解：把点代入抛物线中，得，
∴，
∴．
（2）解：当时，．
∵，
∴．
当时，；
当时，；
当时，．
分两种情况：
①当时，，
故抛物线在时的最大值为，
∴，
∴．
②当时，，
故抛物线在时的最大值为，
∴，
∴．
综上，a的值是或．
（3）解：由（1）知，
∴，
∴将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线为，
∴顶点P的坐标为，
∴顶点P在直线上．
，即点O到直线的最小距离大于或等于．
分两种情况：
如答图，当时，设直线交x轴于点N，交y轴于点M，过点O作于点H，
则，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴
②当时，同理得．
综上，c的取值范围是或．
22．(1)
(2)当销售单价为35元千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元
(3)
【分析】（1）由图象过点和易求直线解析式；
（2）每天利润每千克的利润销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答；
（3）画出函数图象，结合图形回答问题．
【详解】（1）解：设，由图象可知，
解之，得
，
与的函数关系式为：；
（2）
．
，
有最大值．
当时，．
即当销售单价为35元千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元．
（3），
当时，
，
解得，，，
如图，
，
抛物线的开口向下，
当时，，
故销售单价的范围为．
【点睛】本题考查了二次函数图像性质的应用（销售问题）．包括待定系数法求二次函数解析式、最值问题、顶点式、解一元二次方程、图像法解一元二次不等式熟练掌握二次函数的性质，结合图像解答取值范围的有关问题是解决此题的关键．
23．（1）S△ADC=5；（2）DE的最大值为，点D的坐标为（3，-3）；（3）H（，）或（，）．
【分析】（1）把D的横坐标代入抛物线解析式得纵坐标，根据解析式，当x=0时，可得C的坐标，令直线DC与x交点为I，两点确定一条直线，解析式，直线CD为y=-x+3，即得I坐标，当y=0时，代入抛物线解析式得A、B坐标，S△ACD=S△AEC+S△AED，通过计算可得结果；
（2）由（1）知A，B，C坐标，两点确定一条直线，可得直线AC和直线BC的解析式，过D点作l平行于BC，只有当l与抛物线相切时候，DE取最大值，设l解析式为y=-+b，联立直线l和抛物线的解析式得到二元一次方程组，可得x2-6x+6-2b=0，相切时即△=0，可得b的值和D的坐标，设直线DE的解析式为y=-3x+n，直线DE与抛物线的解析式联立方程组可得E的坐标，根据两点间的距离公式得DE的值；
（3）根据平移的性质得到新的抛物线为y=2-+23，由对称轴公式x=-得对称轴，联立抛物线和新抛物线得F点坐标为（5，-2），分情况讨论，若CFGH是矩形，证明△MFC和△NGF、△PCH都是等腰直角三角形，且△NGF△PCH，即可求得H的坐标，当CG⊥CF时，同理可得H的坐标．
【详解】解：（1）将x=5代入y=2-+3，
得y=-2，
∴D（5，-2），
令DC与x轴交点为I，
由题可知：C（0，3），
设直线CD的表达式为，
∴，
∴，
∴直线CD的表达式：y=-x+3，
令，则，
∴I（3，0），
如图1可知，
S△ADC=S△ACI+S△ADI= AI OC+ AI |y0|=×AI（OC+|y0|），
将y=0代入方程，
2-+3=0，
解得：，
∴A（1，0），B（6，0），
∴AI=2，
∴S△ADC=×2×（3+2）=5，
∴S△ADC=5；
（2）如图2，
由（1）可知A（1，0），B（6，0），C（0，3），
同理求得直线AC的表达式为y=-3x+3，
直线BC的表达式为y=-+3，
过D点作直线l平行于BC，
只有当l与抛物线相切的时候，DE取最大值，
∵l∥BC，
∴设直线l的表达式为
解方程，即
x2-6x+6-2b=0，
当两条直线相切时，即只有一个交点，则，
∴62-4(6-2b)=0，
∴b=-，
∴直线l的表达式为：，
将b=-代入x2-6x+6-2b=0，
可得x=3，
将x=3代入y=2-+3，
解得：，
∴D（3，-3），
∵DE∥AC，
设直线DE的表达式为：，
将D（3，-3）代入得：，
∴，
∴直线DE的表达式为：y=-3x+6，
∵E是CB、DE的交点，
∴，
解得，
E（，），
∴DE的最大值为，
点D的坐标为（3，-3）；
（3）y=2-+3向右平移4个单位，向下平移2个单位，
∴新抛物线方程为：y=(x-4)2--4)+3-2=2-+23，
∴新抛物线的对称轴为：x=，原抛物线的对称轴为：x=，
∵F是两抛物线的交点，
解方程2-+23=2-+3，得，
当时，y=2-+3=-2，
∴F（5，-2），
①如果CFGH是矩形，如图3，过F作FM⊥轴于M，交新抛物线的对称于N，过H作HP⊥轴于P，
∴M（0，-2），N（，-2），
∴MC=2+3=5，MF=5，FN=，
∵CFGH是矩形，
∴∠CFG=∠AMF=∠FNG=∠HPC=90，FG=CH，
则∠MFC=∠MCF=∠NFG=∠NGF=∠PHC=∠PCH=45，
∴△MFC和△NGF、△PCH都是等腰直角三角形，且△NGF△PCH，
∴NG=FN=PC=PH，
∴PO=PC+ CO=，
∴H（，），
②如果CG⊥CF，
如下图，过F作FK⊥轴于K，过H作HL⊥轴交直线FK于L，过C作CJ⊥轴交新抛物线的对称于J，
∵C（0，3），F（5，-2），
∴KF=5，CK=2+3=5，CJ=，
同理△KFC和△LKH、△JCG都是等腰直角三角形，且△LKH△JCG，
∴HL=FL=CJ=GJ，KL=KF+ FL=，
∴点H的纵坐标为，
∴H（，），
综上所述，H（，）或（，）．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质，两点确定一条直线的解析式，解一元二次方程，抛物线平移的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等．正确的识别图形是解题的关键．
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