人教版2024-2025学年九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程拔高提升同步练习（附答案解析）

人教版2024-2025学年九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程 拔高提升同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．已知二次函数的图象与轴有两个交点，若其中一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+8的顶点在x 轴负半轴上，则m的值是（　　）
A．±4 B．8 C．-8 D．±8
5．如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（　　）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤
6．如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是　　
A． B． C． D．
7．利用函数知识对代数式的以下说法作出判断，则正确的是（　 　）
A．如果存在两个实数，使得，则
B．存在三个实数，使得
C．如果，则一定存在两个实数，使
D．如果，则一定存在两个实数，使
8．已知三个非零实数a，b，c满足，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
10．如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若一元二次方程有两个相等的实数根，则常数 ．
12．二次函数配方后为，则 ， ．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …
y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 …
当y＜﹣3时，x的取值范围是 ．
14．若一元二次方程有两个不相等实根，则下列结论：
①；②方程一定有两个不相等实根；③设，当时，一定有；④，是关于的方程的两根，且，则，一定成立的结论序号是 ．
15．把抛物线y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）（其中a是常数）向上平移，使平移后的抛物线与直线y＝1只有一个公共点，则需平移 个单位．
三、解答题
16．已知抛物线的解析式是y＝x2﹣（k+2）x+2k﹣2．
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上，求该二次函数的顶点坐标．
17．已知二次函数的顶点坐标是．
(1)当时，求该二次函数的表达式；
(2)在（1）的条件下，当时，求该二次函数的最大值
18．已知二次函数y=x2﹣x﹣6．求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积．
19．在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，且是的相切函数，为切点．
(1)试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式______．
(2)当分别取以下两组值时，①；②，不等式是否成立？说明理由．
20．某数学小组对函数图象和性质进行探究．当时，．

(1)当时，求的值；
(2)已知函数的图象如图所示，在给出的平面直角坐标系中，补全函数的图象，直接写出不等式的解集．
(3)若有唯一解，求的取值范围．
21．以为自变量的两个函数与，令，我们把函数称为与的“相关函数”例如：以为自变量的函数与，则它们的“相关函数”为．
因为恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量取何值，恒成立，
(1)已知函数与函数相交于点、．
①此时，的值分别为：________________，________________；
②求此时函数与的“相关函数”；
(2)已知以为自变量的函数与，当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立，求的取值范围；
(3)已知以为自变量的函数与（，，为常数且，）．点，，是它们的“相关函数”的图象上的三个点．且满足，求函数的图象截轴得到的线段长度的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 点D的坐标为，过D作y轴垂线与抛物线相交于点，（点P在点Q的左侧），与直线相交于点．
（1）在同一坐标系内画出抛物线与直线BC的草图；
（2）当时，比较，，的大小关系；
（3）若，求的取值范围．
23．已知抛物线（，为常数）．
(1)若，，求该抛物线与轴的两个交点之间的距离；
(2)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，且，求的取值范围；
(3)将抛物线平移至顶点为，且与直线交于不同的两点，，若，求点到直线的距离的最大值．
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1．C
【分析】令，解出即可．
【详解】解：令，得：，
所以交点为．
故选：C
【点睛】本题考查的是二次函数与y轴的交点坐标，掌握“y轴上的点的横坐标为0”是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质；
一元二次方程的根即为二次函数的图像与x轴的交点的横坐标，结合图像即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程的根即为二次函数的图像与直线x轴的交点的横坐标，
结合图像，可知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
3．D
【分析】函数的对称轴为：x=-，一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（3，0），即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=x2-4x+m中a=1，b=-4，
∴函数的对称轴为：x=-，
∵一个交点的坐标为（1，0）与另一个交点的坐标关于对称轴对称，
∴另一个交点的坐标为（3，0），即另一个交点的横坐标为3．
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
4．B
【详解】试题分析：∵抛物线y=2x2+mx+8的顶点A在x 轴上，
∴.
又∵点A在y轴左侧，
∴.
故选B.
考点：二次函数的性质.
5．B
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据图象判定①，特殊点判断②，对称轴结合特殊点判断③，图象法确定一元二次方程的根判断④，图象法判断⑤．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
由图象可知，当时，；故②正确；
∵图象经过点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③错误；
由对称性可知：抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴方程的两个根为：，
，
，
，
的两根，，故④正确；
∵若m，n（）为方程的两个根，
则抛物线与直线的交点的横坐标分别为，
由图象可知：当时，或，
∴且；故⑤正确；
故选：B．
6．C
【详解】分析：先把不等式整理成x2+1＜，然后根据图形找出二次函数图象在反比例函数图象下方部分的x的取值范围即可．
详解：由-x2-1＜0得，x2+1＜，
∵点A的横坐标为1，如图所示，
∴不等式的解集是0＜x＜1．
故选C．
点睛：本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解是解题的关键．
7．C
【分析】根据二次函数的性质及与x轴的交点的判定，即可一一判定．
【详解】解：设，
A.如果存在两个实数，使得，则说明在中，当x=p和x=q时的y值相等，但并不能说明此时p、q是与x轴交点的横坐标，故A中结论不一定成立；
B.若，则说明在中，当x=m、n、s时，对应的y值相等，因此m、n、s中至少有两个数是相等的，故B错误；
C.如果ac<0，则b2-4ac>0，则的图象和x轴必有两个不同的交点，所以此时一定存在两个实数mD.如果ac>0，则b2-4ac的值的正负无法确定，此时的图象和x轴的交点情况无法确定，所以D中结论不一定成立，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，解题的关键是灵活运用这些知识．
8．B
【分析】可以把非零实数a，b，c分别看作是二次函数的二次项系数、一次项系数及常数项，借助二次函数的图象解答．
【详解】解：可以把非零实数a，b，c分别看作是二次函数的二次项系数、一次项系数及常数项．
∵，
∴二次函数图象开口向下．
∵，
∴当时，，故二次函数图象经过第二象限内的一个点．
∴二次函数与x轴有两个不同的交点，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
9．B
【分析】先由判别式得出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数关系得到，代入解方程即可求解．
【详解】解：已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，
，即与同号，则：
当时，，解得，则解集为；
当时，，解得，则解集为；
综上所述，的解集为或，
已知抛物线的图像与轴有两个不同的交点，，则当时，，
，
，，
，
，即，解得，，
或，
舍去，取，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数与轴的交点，涉及交点格式个数与判别式的关系、一元二次方程根与系数关系等知识，理解函数与方程的关系是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查了二次函数图像与性质，图像的平移，一次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点并画出图形利用数形结合的思想是解题的关键．根据题意先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案．
【详解】解：抛物线与轴交于点、
，
又抛物线为
抛物线向左平移个单位长度
平移后解析式
当直线过点，有2个交点
当直线与抛物线相切时，有2个交点
，
即
直线与抛物线相切
如图，
直线与、共有3个不同的交点，
．
故选：D．
11．/0.125
【分析】由题意结合根的判别式可得 ，即可得出关于a的方程求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时有两个相等的实数根是解题的关键．
12． -4 1
【详解】试题分析：因为，所以b=-4，k+4=5，所以b=-4，k=1．
考点：二次函数．
13．x＜﹣4或x＞0
【分析】观察表格求出抛物线的对称轴，确定开口方向，利用二次函数的对称性判断出x=0时，y=-3，然后写出y＜-3时，x的取值范围即可．
【详解】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=-2，抛物线的开口向下，
且x=0时，y=-3，
所以x=0时，y=-3，
所以，y＜-3时，x的取值范围为x＜-4或x＞0．
故答案为x＜-4或x＞0．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，观察图表得到y=-3时的另一个x的值是解题的关键．
14．①②③④
【分析】根据方程的根的判别式可以判断①②，根据二次函数的最值可以判断③，画出函数的图象，根据二次函数与二次方程之间的关系即可判断④，从而得到答案．
【详解】解：一元二次方程有两个不相等实根，
，故①正确，符合题意；
，
方程一定有两个不相等实根，故②正确，符合题意；
令，
，
抛物线开口向上，当时，函数有最小值，
设，当时，一定有，即，故③正确，符合题意；
画出函数的图象，如图所示，
，
函数图象为抛物线，开口向上，与轴两个交点的横坐标为，
方程可转化为，
方程的两根是抛物线与直线的两个交点，由可知对称轴左侧交点横坐标为，右侧交点的横坐标为，如图所示，
由图象可知，故④正确，符合题意；
综上所述，一定成立的结论序号是：①②③④，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的思想，掌握二次函数的性质是解决此题的关键．
15．
【分析】由y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）＝（x﹣2a﹣）2﹣．根据平移规律得到新抛物线解析式y＝（x﹣2a﹣）2﹣+b，然后结合y＝1和根的判别式求得b的值即可．
【详解】解：设抛物线y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）（其中a是常数）向上平移b个单位，
∵y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）＝（x﹣2a﹣）2﹣．
∴把抛物线y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）（其中a是常数）向上平移b个单位后抛物线解析式为：y＝（x﹣2a﹣）2﹣+b．
依题意得：（x﹣2a﹣）2﹣+b＝1，即x2﹣（4a+1）x+4a2+2a+b﹣1＝0，
∴△＝[﹣（4a+1）]2﹣4（4a2+2a+b﹣1）＝0．
解得b＝．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
16．（1）此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）（，﹣）．
【分析】（1）由△=[-（k+2）]2-4×1×（2k-2）=k2-4k+12=（k-2）2+8＞0可得答案；
（2）先根据抛物线与直线y=x+k2-1的一个交点在y轴上得出2k-2=k2-1，据此求得k的值，再代入函数解析式，配方成顶点式，从而得出答案．
【详解】（1）∵△＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣2）
＝k2﹣4k+12
＝（k﹣2）2+8＞0，
∴此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）∵抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上，
∴2k﹣2＝k2﹣1，
解得k＝1，
则抛物线解析式为y＝x2﹣3x＝（x﹣）2﹣，
所以该二次函数的顶点坐标为（，﹣）．
【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系及熟练求二次函数的顶点式．
17．(1)
(2)7
【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，分类讨论思想是解题的关键．
（1）根据对称轴公式求解即可；
（2）根据函数的增减性求解
【详解】（1）解：根据题意可得，二次函数的顶点坐标是．
∴对称轴，
∵
∴，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：如图，∵二次函数的表达式为，
∴当时，y的值随x值得增大而增大，
∵，
∴当时，y的值随x值得增大而增大，
∴当时，二次函数有最大值，
解得．
18．
【分析】根据二次函数解析式求出二次函数图像与坐标轴的三个交点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：二次函数y=x2﹣x﹣6，
当时，，
解得：，，
当时，，
∴二次函数的图象与轴的交点为，
与轴的交点为，
∴二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积为．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，根据题意求出二次函数与坐标轴的交点坐标是解本题的关键．
19．(1)；
(2)当时，不能使成立；当时，能使成立；理由见解析
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，因式分解法解一元二次方程；
（1）令，求出，然后根据相切函数的定义可得，进而可求得，再把代入即可求出切点的坐标；
（2）①当时，根据整理得，而，故此情况不能使成立；②当时，根据整理得，故此情况能使成立．
【详解】（1）解：当时，即，
整理得：，
，
，
由相切函数的定义得，
∴，即．
将代入得，
∴切点的坐标为，
故答案为：；；
（2）①当时，，
要使成立，即使，
∴，即，
而，
当时，不能使成立；
②当时，，
要使成立，即使，
，即，
当时，能使成立．
20．(1)3
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法确定的值，再求出时，的值即可；
（2）画出时，的图形利用图象法写出的图象在的下方时的值即可；
（3）根据题意得出经过点时，有唯一解，当时有唯一实数解，令一元二次方程的判别式等于0，求得的值，进而结合函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：由题意时，，
，
，
时，．
（2）函数图象如图所示：

观察图形可知：不等式的解集为：．
（3）解：由（1）可得，
当时，
∵有唯一解，
∴当时有唯一实数解，
即方程
此时
解得：
观察函数图象，可得时，有唯一解，

经过点时，有唯一解，
此时，解得：，
综上所述，或
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，二次函数图象与一次函数交点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握以上知识解决问题．
21．(1)
(2)
(3)函数的图像截轴得到的线段长度的取值范围大于小于且不等于
【分析】（1）将点、代入得到关于、的方程组，求得，再代入；
（2））首先求出相关函数，进而得到当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立，即恒成立，当时，，当时，恒成立，即可得解；
（3）函数与得出，继而得到，，，由，得，得到且，最后求得函数的图像截轴得到的线段长度为，进而得解．
【详解】（1）解：①∵已知函数与函数相交于点、，
，
解得：，
故答案为：；；
②由①知：函数，
∴，
∴此时函数与的“相关函数”为；
（2）∵函数与，
∴函数与的“相关函数”为，
∵当时，对于的每一个值，函数与的“相关函数”恒成立，
∴恒成立，
当时，，
当时，恒成立，
解得：，
∴的取值范围为；
（3）∵函数与，
∴，
∵点，，是它们的“相关函数”的图像上的三个点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
解得：且，
令，则且，
设函数与轴交于，，
∴、是方程的两根，
∴， ，
∴函数的图像截轴得到的线段长度为：
，
∵且，
∴且，即且，
∴函数的图像截轴得到的线段长度的取值范围大于小于且不等于．
【点睛】本题考查新定义，待定系数法确定函数解析式，一次函数的性质，二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系．理解题意，理解“相关函数”的定义是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）x1＜x3＜x2；（3）7＜x1+x2+x3＜8
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标，依此画出草图；
（2）观察图1，即可找出：当2＜m＜4时，x1＜x3＜x2；
（3）根据抛物线的解析式可找出顶点坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，观察图2可找出，若x1＜x2＜x3，则-2＜m＜0，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出3＜x3＜4，由二次函数图象的对称性结合抛物线的对称轴为直线x=2可得出x1+x2=4，结合3＜x3＜4即可找出x1+x2+x3的取值范围．
【详解】解：（1）当y＝0时，有2x2-8x+6＝0，
解得：x＝1或x＝3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）；
当x＝0时，y＝2x2-8x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
画出草图如图1所示．
（2）由图1可知，当2＜m＜4时，x1＜x3＜x2．
（3）∵抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+6，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-2）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝-2x+6．
由图2可知，若x1＜x2＜x3，则-2＜m＜0，
∴3＜x3＜4．
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴x1+x2＝2×2＝4，
∴7＜x1+x2+x3＜8．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标，依此画出草图；（2）观察图1，利用数形结合找出结论；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征求出x3的范围．
23．(1)距离为
(2)
(3)距离最大为2
【分析】（1）将，代入二次函数，再令，求解即可得到答案；
（2）先求出，得出二次函数关系式为，可得，再求出其最大值及最小值即可得的取值范围；
（3）平移后函数关系式为，设线段的中点为R，以点R为圆心，为半径作， 连接，设直线的函数关系式为，设，当过点A且与x轴相切时，，此时点到直线的距离的最大，据此求解即可．
【详解】（1），，
抛物线
得
，，
距离为；
（2）抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，
二次函数对称轴为，
，
；
当时，
当时，，
（3）由题意得平移后函数关系式为
如图，设线段的中点为R，以点R为圆心，为半径作， 连接，
设直线的函数关系式为，设，
与二次函数联立方程可得，
整理得：，
点R的横坐标为，
由题意可得：当过点A且与x轴相切时，，此时点到直线的距离的最大，
轴，
即点到直线的距离即为的长，
，
解得：，
直线l平行于x轴，
设，则点，代入二次函数关系式得：
，
（舍去），
，
点到直线的距离的最大值为2．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式以及二次函数的性质．
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