人教版2024-2025学年九年级数学上册23.2.1中心对称拔高提升同步练习（附答案解析）

人教版2024-2025学年九年级数学上册23.2.1中心对称拔高提升同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组图形中，不成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中， 若直线经过点和， 则直线 ( )
A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．经过原点 D．无法确定
4．视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移 B．旋转 C．对称 D．都不对
5．在平面直角坐标系中，与点A（3，2）关于原点成中心对称的点的坐标是（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
6．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）

A．点A与点是对称点 B． C． D．
7．如图，与关于点成中心对称，下列说法：
①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（ ）
A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点
9．已知抛物线：与抛物线：关于点成中心对称，若当时，有最大值为4，则m的值为（ ）
A． B． C． D．或
10．关于成中心对称的两个图形的性质，下列说法正确的是（ ）
A．连接对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分
B．成中心对称的两个图形的对应线段不一定相等
C．对应点的连线不一定都经过对称中心
D．以上说法都不对
11．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　）
A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
12．如图，正方形ABCD的边长为，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ．
14．如图所示的图形绕着中心顺时针旋转一定的角度后能与自身完全重合，那么这个角度至少为 °．

15．如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，则阴影部分的面积为 ．
16．如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为 平方米．
17．如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °．
三、解答题
18．如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点．

(1)在平面直角坐标系中画出 ；
(2)若与关于原点成中心对称，请在平面直角坐标系中做出并写出三点的坐标．
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点Ｏ成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）请在图中画出Ｏ点；
（2）将△DEF先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到△D1E1F1，请画出△D1E1F1．
21．如图二次函数的图象与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点C，与D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D．

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)结合图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
(3)若点E（不在x轴上）是直线上一动点，过点E作轴于点F交抛物线于点H，且点E，F，H三点中有两点关于第三点成中心对称，直接写出点E的横坐标．
22．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于原点对称的；
(2)请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标．
23．（1）解方程：；
（2）如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长．
24．如图，正方形的顶点B的坐标为，为x轴上的一个动点（），以为边作正方形，点E在第四象限．

(1)判断与的数量关系，并说明理由；
(2)设正方形的对称中心为M，直线交y轴于点G．随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由．
25．如图1，在平面直角坐标系中，△ABO为直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，点C为OB上一动点．
(1)点A的坐标为 ；
(2)连接AC，并延长交y轴于点D，若△OAD的面积恰好被x轴分成1∶2两部分，求点C的坐标；
(3)如图2，若∠OAC＝30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OA'B'，如图2所示，OA'所在直线交直线AC于点P，当△OAP为直角三角形时，直接写出点的坐标．
26．已知抛物线：y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），顶点为D．
(1)求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；
(2)若直线y＝﹣x与抛物线交于点M，N，且M，N关于原点对称，求抛物线的解析式；
(3)如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：y＝上，设直线l与y轴的交点为O′，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若，求点P，Q的坐标．
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1．D
【分析】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义，欲分析两个图形是否成中心对称，主要把题目中一个图形绕一个点旋转，观察是否能和另一个图形重合即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键．
【详解】根据中心对称的概A、B、C都是中心对称，不符合题意；
D是轴对称，不成中心对称，符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查旋转的性质，中心对称，由绕O点顺时针旋转180度，即原图形与旋转后的图形关于点O中心对称，据此逐一判断即可．
【详解】
解：把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是选项C的图形．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据两个点的横纵坐标互为相反数，则这两个点关于原点对称，据此判断即可．
【详解】解：点和的横纵坐标互为相反数，
故点和关于原点对称，
故直线经过原点．
故选：C．
4．D
【分析】根据图表观察，结合选项即可得到答案.
【详解】根据图形中开口向上的两个“E”之间比较，再结合答案，既不是平移，也不是旋转，更不是对称，故选D
【点睛】本题考查平移、对称、旋转的区别，关键在于这项图形的大小不会发生变化.
5．C
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．
【详解】解：点（3，2）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣3，﹣2）．
故选C．
【点睛】此题重点考查学生对对称点的理解，掌握平面直角坐标系点的对称是解题的关键.
6．D
【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．
【详解】解：A．∵与关于点O成中心对称，
点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意；
B．∵对应点到对称中心的距离相等，
∴，故B正确，不符合题意；
C．∵与是对应线段，
∴，故C正确，不符合题意；
D．与不是对应角，
∴不成立，故D符合题意．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判断．
【详解】解：与关于点成中心对称，
，
，，与的面积相等，
故①②④正确；
对称点到对称中心的距离相等，
，
故③正确；
综上可知，正确的有4个，
故选D．
8．D
【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点．
【详解】解：如图对称中心是PQ的中点，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键．
9．C
【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.求出抛物线的顶点是，得到关于的中心对称点为，，分和两种情况分别进行解答即可．
【详解】解：∵
∴抛物线的顶点是，
设关于的中心对称点为，
则，
解得，
∴关于的中心对称点为，
∴，且抛物线：与抛物线：开口方向相反，形状相同，即，
当时，抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵当时，有最大值为4，且，
∴当时，，解得，
∴，
当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵当时，而
∴当时，有最大值，最大值为，
显然，不符合题意，
综上可知，，
故选：C．
10．A
【分析】根据两个中心对称图形的性质即可解答．关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形能够完全重合，进而分析得出即可．
【详解】根据中心对称的性质：
A. 连接对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分，此选项正确；
B. 根据成中心对称的两个图形的对应线段一定相等，故此选项错误；
C. 根据对应点的连线一定都经过对称中心，故此选项错误；
D. 以上说法都不对，此选项错误.
故答案选：A.
【点睛】本题考查了中心对称图形的性质，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形的性质.
11．A
【分析】连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心.
【详解】如图，连接HC和DE交于O1，
故选A．
【点睛】此题考查了中心对称的知识，解题的关键是了解成中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心，难度不大．
12．D
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：设正方形的中心为O，
连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．
∵正方形ABCD的边长为，AC是正方形的对角线，
∴BD=，
∵直线EF经过正方形的中心O，
∴OB=OD=2，
∵M是OB中点，
∴OM=BM=1，
∵EF⊥BG，
∴，
∵Rt△BHM是等腰直角三角形，
∴MH=BH=，AH=，
由勾股定理可得MA=，
∵AG≥AM-MG=，
当A，M，G三点共线时，AG最小=，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．
13．对称中心
【分析】根据中心对称图形的性质可进行求解．
【详解】解：由中心对称图形的性质可知：关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过对称中心；
故答案为对称中心．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
14．90
【分析】分别考虑“正放的图形”和“斜放的图形”旋转多少度能与自身重合即可求解．
【详解】解：由图可知：“正放的图形”和“斜放的图形”旋转之后能与自身重合
故该图形绕着中心顺时针旋转后能与自身完全重合
故答案为：
【点睛】本题考查中心对称的概念．掌握相关内容是解题关键．
15．30
【分析】本题考查了中心对称、菱形的性质；熟记菱形的性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．
【详解】
解：如图所示：∵菱形的两条对角线的长分别为8和15，
∴菱形的面积 ，
∵O是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形，
∴，四边形四边形，四边形四边形，
∴阴影部分的面积．
故答案为30．
16．
【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，由阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可．
【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称，且米，
∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，
∴阴影部分的面积为（平方米），
∴阴影部分的面积为平方米．
故答案为：
17．
【分析】此题考查了中心对称和旋转，根据中心对称的定义和旋转的性质进行求解即可．
【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，，
∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，
∴必过点A，必过点B，且，
∴，
由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为，
故答案为：
18．见解析.
【分析】根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心作图.
【详解】连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，
则点O即为对称中点．
【点睛】本题考查的是中心对称的性质，掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键.
19．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）根据即可完成作图；
（2）关于原点对称的两点横纵坐标互为相反数，据此即可作图求解．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：∵关于原点对称的两点横纵坐标互为相反数
∴
如图所示：

【点睛】本题考查根据对称作图．确定各图形顶点的坐标是解题关键．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）本题通过连接中心对称图形对应顶点，其连线交点即为对称中心点O．
（2）本题将点、、分别按照题意平移得到、、，继而顺次连接即可得到△D1E1F1．
【详解】（1）连接AD、BE，其交点即为点O，如下图所示：
（2）△D1E1F1如下图所示：
【点睛】本题考查中心对称图形对称中心的求法以及图形的平移，图形平移时将对应顶点进行平移，继而顺次连接平移后对应顶点即可．
21．(1)，
(2)或
(3)点E的横坐标为或4或
【分析】（1）将，两点代入，利用待定系数法求解即可；
（2）求出点D的坐标，“一次函数值大于二次函数值”在图象上表示为一次函数图象在二次函数上方，观察图象即可解答；
（3）先求出设直线的解析式，设点F的坐标为，则，，分情况讨论：①点E是点F和H的中心对称点，②点F是点E和H的中心对称点，③点H是点E和F的中心对称点，即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，两点，
∴，
解得．
∴二次函数解析式为，
当时，
∴点C的坐标是．
（2）
∴该函数的对称轴是直线，
∵点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴点，
∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是或；
（3）解：设直线的解析式为，
代入点，可得，
解得，
∴直线的解析式为，
设点F的坐标为，则，，
①当点E是点F和H的中心对称点时，，
解得：或，
当时，点E，F，H三点重合，不合题意；
∴；
②当点F是点E和H的中心对称点时，，
解得：（舍去）或，
∴；
③当点H是点E和F的中心对称点时，，
解得：（舍去）或，
∴；
综上，点E的横坐标为或4或．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与直线的交点确定不等式的解集及中心对称的性质，当两点关于另一点中心对称，则中心对称点是这两点的中点．
22．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键．
（1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案；
（2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案；
【详解】（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：如图所示：，即为所求；．
23．（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，中心对称图形的性质，全等的性质，勾股定理等知识．
（1）利用因式分解的方法解出方程即可；
（2）根据与关于C点成中心对称，可得，即可得，，，进而有，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
则或，
解得；
（2）解：∵与关于C点成中心对称，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴在中，有：．
即．
24．(1)，理由见解析；
(2)不会，．
【分析】（1）本题连接，，根据题意证得即可解题；
（2）本题过点做交延长线于点，证得，得到M的坐标，再做轴，即可求得是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，从而求得G的坐标．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图连接，，

四边形和四边形都为正方形，
，，，
，即，
（），
；
（2）解：点G的位置不会变化，
理由，如图过点作交延长线于点，

，
，，
，
，
（），
，，
，
又，M为正方形的对称中心，
，
作轴，在中，，，
是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，
有，
．
【点睛】本题考查了中心对称，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确构造辅助线证明三角形全等．
25．(1)
(2)点C的坐标为或
(3)点的坐标或或 或
【分析】（1）由含30度角的直角三角形的性质以及平面直角坐标系即可求解；
（2）分两种情况讨论，S△OCD=2S△AOC时，2S△OCD=S△AOC时，由三角形的面积关系可求点D坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，即可求解；
（3）分两种情况，当∠APO=90°时，当∠AOP=90°时，根据含30度角的直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=3，
∴AO=2AB，
∵AO2=AB2+OB2，
∴BA=，
∴A．
（2）根据题意分两种情况讨论：①S△OCD=2S△AOC时，
∴×OC×OD=2××OC×AB，
∴OD=2AB=2，
∴点D（0，-2），
设直线AD的解析式为y=kx-2，
∴=3k-2，
∴k=，
∴直线AD的解析式为y=x-2，
∴当y=0时，x=2，
∴点C（2，0）；
②2S△OCD=S△AOC时，
∴2××OC×OD=×OC×AB，
∴OD=AB=，
∴点D（0，-），
设直线AD的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为y=x-，
∴当y=0时，x=1，
∴点C（1，0）；
综上所述：点C的坐标为（2，0）或（1，0）．
（3）如图，当∠APO=90°时，连接BB'，过点B'作B'H⊥OB于H，
∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴BO=B'O=3，∠AOB=∠A'OB'=30°，
∵∠OAC=30°，∠APO=90°，
∴∠AOP=60°，
∴∠B'OB=60°，
∵B'H⊥OB，
∴∠OB'H=30°，
∴
当∠AOP=90°时，如图，
∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴∠BOB'=∠AOA'=90°，OB=OB'=3，
∴点B'在y轴上，
∴点B'（0，-3），
如图，由中心对称的性质可得：点的坐标 或 ，
综上所述：点的坐标或或 或
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，一次函数的性质等知识，中心对称的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
26．(1)A（﹣1，0），B（4，0），直线x＝
(2)
(3)P（，﹣），Q（，）或P（，﹣），Q（，）
【分析】（1）根据题目给出的解析式可直接求出点A，B，D的坐标；
（2）先设出M，N的横坐标，根据原点对称的特点列出关于a的式子，求出即可；
（3）先根据顶点的变化规律写出平移后的抛物线的解析式，然后设出P的坐标（x，y），根据O′P=O′Q列出关于x的式子，算出x即可求出P，Q的坐标．
【详解】（1）解：取y＝0，则有ax2﹣3ax﹣4a＝0，
即x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
对称轴为直线；
（2）解：设M的横坐标为x1，N的横坐标为x2，
根据题意得：，
即，
，
又∵M，N关于原点对称，
∴，
∴a＝，
∴；
（3）解：∵，
由题意得向上平移后的抛物线解析式为
∴抛物线向上平移了4个单位，
设P（x，），则Q（x，），
由题意得O'（0，），
∵O′P＝O′Q，
∴，
解得：，
若，
则，
∴P（，），Q（，），
若，
则，
∴P（，），Q（，），
综上，P（，），Q（，）或P（，），Q（，）．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，对于求解析式是此题的基础，一般用待定系数法，每一个学生都应该掌握，此题中第二问涉及到中心对称，就要理解中心对称的含义以及在坐标系中点的变化规律，这些知识点都要牢记于心，包括垂直平分线的性质的应用，本题中都有考到．
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