人教版2024-2025学年九年级数学上册23.2.2中心对称图形拔高提升同步练习（附答案解析）

人教版2024-2025学年九年级数学上册23.2.2中心对称图形拔高提升同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，两个年春晚吉祥物“龙辰辰”的图案成中心对称，则对称中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是由8个正方形组成的网格，现嘉嘉想再给一个正方形涂上阴影，使四个阴影正方形所组成的图形是中心对称图形，则嘉嘉应该涂的是（ ）
A．只有② B．只有③ C．①或③ D．③或④
4．以对角线交点为旋转中心旋转正方形，要想使旋转之后的图形与原图形重合，则至少应该旋转（ ）
A． B． C．120° D．
5．下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ）
A．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
6．如图，是一个中心对称图形的一部分，点是对称中心，点和点是一对对应点，，那么将这个图形补成一个完整的图形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
7．下列陈述中错误的数量为（ ）
陈述一：正方形的每一条对称轴都过它的对称中心
陈述二：正方形的对角线就是它的对称轴
陈述三：有且仅有4条直线同时平分正方形的周长和面积
陈述四：任意一条过正方形对称中心的直线均将它分为两个全等的图形
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（ ）.
A．将抛物线=向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是．
B．方程有两个不相等的实数根.
C．平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形.
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
10．如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　）
A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q
二、填空题
11．请你写出三个中心对称图形的名称 ．
12．在英文字母、、、、中，是中心对称的英文字母有 个．
13．中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做 ，这个点叫 .
14．以 ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
15．如图，矩形纸片中，.第一次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第二次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第三次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点O3，… ．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BOn = ．
三、解答题
16．有的图形是轴对称图形但不是中心对称图形，有的图形既是轴对称图形又是中心对称图形．你能分别举出一些例子吗？
17．如图，与关于点O成中心对称，请你写出两个三角形的对应点、对应线段、对应角和对称中心．
18．如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑．
(1)再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的涂法)；
(2)再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称．
（1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为　 　，　 　，　 　；
（2）连接A1B2，求A1B2的长．
20．如图，中，是上一点，交于，交于．
(1)求证：四边形是中心对称图形；
(2)若平分，求证：点，关于直线对称．
21．如图，直角坐标系中的的三个顶点分别为，，．
(1)将向下平移个单位，再向右平移个单位得到，画出，并直接写出的坐标；
(2)设A的中点为，的中点为，在的条件下，线段的对应线段为，判断四边形是否为中心对称图形，若是，直接写出其对称中心的坐标；若不是，请简要说明理由．
22．如图，在五子棋的棋盘上面有三颗棋子，所在位置分别记作，请你再放一颗棋子，使得四颗棋子组成一个中心对称图形，有几种方法？在图中标出你所放棋子的位置，并用前述记位置的方法写出来．

23．古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索：
(1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ；
(2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示）
(3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由．
24．二次函数的图像交轴于原点及点．
感知特例：
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
①补全表格：（___，___）
②请在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图像记为．
形成概念：
我们发现形如（1）中的图像上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1．B
2．A
3．D
4．B
【分析】根据中心对称图形的定义，分析各图形的特征求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】正方形绕着它的对角线交点旋转90°后与原图形重合，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形，解题的关键是知道中心对称图形的概念．
5．B
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可．
【详解】解：A、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，错误，故不符合题意；
B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确，故符合题意；
C、线段是轴对称图形，也是中心对称图形，错误，故不符合题意；
D、平行四边形不是轴对称图形，但是中心对称图形，错误，故不符合题意；
故选：B．
6．A
【分析】如图，根据中心对称的性质可得AC′=BC，BC′=AC，然后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形进行解答.
【详解】解：如图，∵O点是对称中心，△A′B′C′是△ABC关于点O的对称图形，
∴AC′=BC，BC′=AC，
∴四边形ACBC′是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴平行四边形ACBC′是矩形．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定，矩形的判定.
7．B
【分析】本题考查了正方形的性质．熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
根据正方形的性质判断作答即可．
【详解】解：由题意知，正方形的每一条对称轴都过它的对称中心，陈述一正确，故不符合要求；
正方形的对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴，陈述二错误，故符合要求；
有无数条直线同时平分正方形的周长和面积，陈述三错误，故符合要求；
任意一条过正方形对称中心的直线均将它分为两个全等的图形，陈述四正确，故不符合要求；
故选：B．
8．B
【分析】根据中心对称的性质解答即可．
【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），
由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．
9．A
【分析】根据二次函数平移变换，二次函数跟的判别式，轴对称图形，中心对称图形的定义，圆的相关性质逐个判别即可．
【详解】解：A、根据二次函数的平移，可知平移后的解析式为，故A正确，符合题意；
B、根据一元二次方程的根的判别式，可知△=，方程无解，故B不正确，不符合题意；
C、根据平行四边形的特点可知其是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不正确，不符合题意；
D、根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数平移变换，二次函数跟的判别式，轴对称图形，中心对称图形的定义，圆的相关性质，本题属于综合题型，能够对每个知识点掌握熟练是解决本题的关键．
10．C
【分析】画出中心对称图形即可判断
【详解】解：观察图象可知，点P．点N满足条件．
故选：C．
【点睛】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．圆、正方形、矩形（答案不唯一）
【分析】本题考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：根据中心对称图形的概念可知，圆、正方形、矩形都是中心对称图形．
故答案为：圆、正方形、矩形（答案不唯一）．
12．2
【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质，掌握好中心对称图形的概念．中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．据此逐个判断即可．
【详解】解：在英文字母、、、、中，是中心对称图形的是、，共2个．
故答案为：2．
13． 中心对称图形； 对称中心.
【分析】根据中心对称图形的概念即可得出答案.
【详解】解：∵把一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心.
∴答案为：中心对称图形；对称中心.
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念.熟记中心对称图形的概念是解题的关键.
14．（2，﹣1）
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据 ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
【详解】解：∵ ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
15．
【详解】解：∵矩形纸片ABCD中，AB= ，BC= ，
∴BD=4，
（1）当n=1时，
∵第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1，
∴O1D=O1B=2，
∴BO1=2=
（2）当n=2时，
∵第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2，O1D的中点为D1，
∴O2D1=BO2==
∵设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，
∴O3D2=O3B=
∴以此类推，当n次折叠后，BOn=．
16．如等腰三角形 边数为奇数的正多边形等都是轴对称图形但不是中心对称图形；而线段 边数为偶数的正多边形等既是轴对称图形又是中心对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”和中心对称图形的定义“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，进行解答即可得．
【详解】解：根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，得
等腰三角形 边数为奇数的正多边形等都是轴对称图形但不是中心对称图形，
而线段 边数为偶数的正多边形等既是轴对称图形又是中心对称图形．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义．
17．见解析
【分析】利用中心对称的定义及性质直接写出即可．
【详解】解：对称中心为点O；
对应点分别是：A和D，B和E，C和F；
对应线段分别是：和，和，和；
对应角分别是：和，和，和．
【点睛】本题考查了中心对称的性质及定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查轴对称作图和中心对象作图，选择合适的对称轴或对称中心是解题的关键．
（1）先根据题意选择合适的对称轴作图即可；
（2）先根据题意选择合适的对称中心作图即可．
【详解】（1）解：如下图所示，即为所求作的图形，
（2）如下图所示，即为所求作的图形，
19．（1）；（2）
【分析】（1）由题意易得，然后问题可求解；
（2）过点作轴于点H，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可求解．
【详解】解：（1）∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴，
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴，
同理可得，
∴，
∴；
故答案为；
（2）过点作轴于点H，如图所示：
∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴在中，，
∴在中，．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标、等边三角形的性质、中心对称的性质及勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，即可得证；
（2）由角平分线的定义得．进而利用平行线的性质得从而得．四边形是菱形，根据菱形的性质即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是中心对称图形．
（2）证明：∵平分，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴点，关于直线对称．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
21．(1)画图见解析，
(2)是，对称中心的坐标为
【分析】（1）根据平移的性质即可将向下平移6个单位，再向右平移8个单位得到，画出，进而写出的坐标；
（2）根据平行四边形的性质即可判断四边形是中心对称图形，结合（1）即可写出其对称中心的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；．
（2）四边形是中心对称图形，对称中心的坐标为．
因为四边形是平行四边形，
所以四边形是中心对称图形．
【点睛】此题主要考查了作图-平移变换，中心对称图形，正确得出对应点位置是解题关键．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
22．3种，见解析，位置分别为
【分析】本题主要考查了中心对称图形，理解并掌握中心对称图形的定义是解题关键．直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【详解】解：有三种方法，位置分别为，如图所示．

23．(1)15
(2)
(3)24不是，28是，理由见解析
【分析】( 1 )根据规律求出即可；
( 2 )利用规律，解决问题即可；
( 3)利用(2)中结论求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：15
（2）由题意得：
，
，
，
，
，
……
∴．
故答案为：
（3）24不是三角形数，28是三角形数，
理由：∵
6和8相差2，
不符合等式中因数与相差1的规律，
∴24不是三角形数；
又∵，
∴，
∴，
∴28是三角形数．
【点睛】本题考查中心对称，列代数式，规律型∶图形的变化类等知识，解题的关键是利用数形结合找出规律．
24．（1）①；；②作图见解析；（2）①；②m=1
【分析】（1）①利用中心对称的特点即可求出点的对称点；②在平面直角坐标系中描出各点，用平滑的曲线依次连接各点即可；
（2）①利用配方法求出抛物线的顶点与对称轴，利用点的坐标和对称性求出“孔像抛物线”的顶点与对称轴，进而得出“孔像抛物线”解析式，利用二次函数的性质即可得出结论；
②利用二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，可得直线必经过这两条抛物线中的一条的顶点，利用分类讨论的思想方法，令分别经过和的顶点，从而得到关于的方程，解方程即可求得结论．
【详解】（1）∵点与点关于点中心对称，
∴点的坐标为(，即，
故答案为：；；
②描点，连线，得到的图像如图所示：
（2）①当时，抛物线为，对称轴为，
当，
解得：，，
∴，
∴原点关于对称的点的坐标为，
∴它的“孔像抛物线”的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：
∵抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，
∴x的取值范围为：，
故答案为：；
②∵：，设顶点为，过点作轴于点，“孔像抛物线”的顶点为，过点作轴于点，
∴，，
由“孔像抛物线”的定义可知：点为的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵抛物线及“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，
∴或，
解得：或，
当时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图像与性质，中心对称的性质，全等三角形的判定和性质，理解“孔像抛物线”的定义及运用数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)