人教版2024-2025学年九年级数学上册24.1圆的有关性质拔高提升同步分成练习（含答案解析）

人教版2024-2025学年九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 拔高提升同步分成练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）如图， O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
2．（本题3分）如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）自行车车轮要做成圆形，主要是根据圆的以下哪个特征(　　)
A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形
C．圆上各点到圆心的距离相等 D．直径是圆中最长的弦
5．（本题3分）有一题目：“已知，点为的外心，，求．”
嘉嘉的解答为：如图，画以及它的外接圆，连接，．由，得．
淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”
下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且的另一个值是115° B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得80° D．两人都不对，应有3个不同的值
6．（本题3分）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A．130° B．110° C．115° D．125°
7．（本题3分）下列有关圆的一些结论：
①任意三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
④圆内接四边形对角互补；
⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．
正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（本题3分）如图，AB为的直径，AC为的弦，D是弧BC的中点，E是AC的中点．若，，则DE=（ ）
A． B．5 C． D．
9．（本题3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且，，则∠ABC的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）

A． B． C． D．
11．（本题3分）如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，．已知于点，．下列结论：
①；
②若点为的中点，则．
③若，则；
④；
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（本题3分）如图，在锐角中，，，分别是边上的高线，与交于点F，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共20分）
13．（本题4分）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
14．（本题4分）如图，是的直径，点C、D是上的点，若，则的度数为 ．

15．（本题4分）如图，水管横截面半径为13cm，水面宽，则水的最大深度 cm．

16．（本题4分）如图，是的直径，点C，D在上，，若，则的长为 ．
17．（本题4分）如图，的半径是4，等边内接于，点D在上，点E在上，且，于点F，则阴影部分的面积是 ．
评卷人得分
三、解答题（共94分）
18．（本题8分）如何在操场上画一个半径为5m的圆，请说明你的理由？
19．（本题8分）如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD．
20．（本题10分）如图，点在，用无刻度的直尺画图．
(1)在图①中，画一个与互补的圆周角；
(2)在图②中，画一个与互余的圆周角．并说明理由．
21．（本题10分）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)以为直径的圆M与y轴交于C、D两点，求弦的长．
22．（本题10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，连结BC，AC，OD⊥BC于E．
(1)问OD与AC平行吗？说明理由．
(2)若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径．
23．（本题10分）如图，是的直径，是的弦，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
24．（本题12分）已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．
求证：CD＝AE＝BF．
25．（本题12分）如图，已知圆内接中，，为的中点，于，求证：．

26．（本题14分）现有半圆形纸片，点O是圆心，直径的长是．
(1)如图1，点C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接、，沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)如图2，是弦，小明将半圆形纸片沿弦折叠使得点C与圆心O重合，顺次连接O、D、C、E得四边形，试判断四边形的形状，请说明理由并求出它的边长．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C A B B A B C
题号 11 12
答案 A C
1．A
【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠ACD＝90°，∠ADC＝∠ABC，证出∠ADC＝∠DAC，得出AC＝DC，△ACD是等腰直角三角形，得出AD＝AC，即可的AC的长．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵AD是 O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠ABC，∠ABC＝∠DAC，
∴∠ADC＝∠DAC，
∴AC＝DC，△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝AC，
∴AC＝＝＝2，
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握圆周角定理，证明△ACD是等腰直角三角形是解题关键．
2．B
【分析】如图，连接，延长交于点设的半径为证明，推出，在中，根据，构建方程求解．
【详解】解：如图，连接，延长交于点T，设的半径为，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，该题属于中考常考题型．
3．B
【分析】本题考查圆周角定理，连接，根据即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
故选：B．
4．C
【分析】利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断．
【详解】因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，所以自行车车轮要做成圆形．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
5．A
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180° 65°＝115°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
6．B
【分析】根据圆内接四边形的性质得出，求出，再根据圆周角定理求出．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∵弧对的圆周角是，圆心角是，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出的度数和得出．
7．B
【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、三角形的外心进行判断即可得到正确结论．
【详解】解：不共线的三点确定一个圆，故表述不正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故表述不正确；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，故表述不正确；
圆内接四边形对角互补，故表述正确；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故表述正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质、三角形的外心，熟练掌握定义与性质是解题的关键．
8．A
【分析】连接OC、BC、OE、BD，OE交于F，OD交BC于G，连接OE并延长交于点F，如图，先根据垂径定理得到，，再计算出，设的半径为r，则，利用勾股定理得到，然后利用勾股定理计算DE的长．
【详解】解：连接OC、BC、BD，OD交BC于G，连接OE并延长交于点F，
∵D是弧BC的中点，
∴，，，
∵E是AC的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
设的半径为r，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
∴，
易得四边形OGCE为矩形，
∴，
在中，．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
9．B
【分析】如图，连接OD，BD．利用圆周角定理求出∠DOB，再求出∠OBD=20°，可得结论．
【详解】
解：如图，连接OD，BD．
∵，
∴
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠DOB=2∠DEB=140°，
∴∠OBD=∠ODB=20°，
∴∠ABC=2∠OBD=40°，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
10．C
【分析】连接BD，取AD的中点E，连接BE，由题可知H点在以E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH最小；求出BD=12，在Rt△BED中，BE=，所以BH=﹣＝即为所求．
【详解】连接BD，取AD的中点E，连接BE，

∵DH⊥AC，
∴H点在以E为圆心，AE为半径的圆上，
当B、H、E三点共线时，BH最小，
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∵AB＝13，AD＝5，
∴BD＝12，DE＝，
在Rt△BED中，BE＝，
∴BH＝﹣＝，
故选：C．
【点睛】本题考查点的运动轨迹；能够根据点的运动情况，确定H点的运动轨迹是解题的关键．
11．A
【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，依次分析判断，即可解决问题．
【详解】解：，
，
，
是的直径，
，
，
故正确，符合题意；
点为的中点，
，
为直径，
，
，
，
，
，，
，
，
故正确，符合题意；
连接，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故正确，符合题意；
，
，
当时，，
故错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题关键是掌握并熟练应用以上知识点．
12．C
【分析】证明，则，由，，可知点的运动轨迹为为圆心长为半径的圆，如图，则，，由勾股定理求得，如图，过作于，由垂径定理得，，，则，，由题意知，当过圆心，且时，最大，即为，根据，求解即可．
【详解】解：∵分别是边上的高线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴点的运动轨迹为为圆心长为半径的圆，如图，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
即，
解得，
如图，过作于，
由垂径定理得，，，
∴，
∴，，
由题意知，当过圆心，且时，最大，即为，
∴，即，
解得，，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆，圆周角定理，垂径定理等知识．根据题意确定点的运动轨迹是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了圆周角定理的应用：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，熟记相关结论即可．
【详解】解：如图所示：
∵
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台
故答案为：
14．/25度
【分析】本题考查圆周角定理．根据直径所对的角是直角，同弧所对的圆周角相等，得到，再根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，
∴；
故答案为：．
15．18
【分析】过O作于C，交优弧于D，连接，则，由垂径定理得，再由勾股数得，即可得出结论．
【详解】解：过O作于C，交优弧于点D，连接，如图，
则，，
在中，由勾股定理得：，
∴．
即水的最大深度为18cm，
故答案为：18．

【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识的运用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，勾股定理．
16．
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，如图，连接，将绕点D顺时针旋转到处，证明，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图，连接，将绕点D顺时针旋转到处，
则，，，
，，
，
E、 A、C三点共线，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查扇形的面积公式，根据圆的旋转不变性，把阴影部分面积化为弓形的面积和三角形面积是解题的关键．
连接、，过O作于点G，，，进而得到：阴影部分的面积=弓形的面积，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可求解．
【详解】连接、， 是等边三角形，
，
，
，
，
即，
即，
在和中
，
，
为等腰三角形，
，
，
过O作于点G，
，
，
，
，
，
，
在和中
∴阴影部分的面积=弓形的面积，
，
故答案为：
18．找一个5米长的绳子，一端固定在地面上，另一端旋转一周，便出现了半径为5m的圆.因为圆是到定点等于定长点的集合.
【分析】根据已知圆心和半径确定圆的知识解决问题即可.
【详解】解：找一个5米长的绳子，一端固定在地面上，另一端旋转一周，便出现了半径为5m的圆.因为圆是到定点等于定长点的集合.
【点睛】本题考查了圆的认识，关键是了解圆的定义．
19．见解析
【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH＝BH，而OC＝OD，由等腰三角形三线合一的性质OH平分CD，然后即可证得AC＝BD．
【详解】解：证明：作OH⊥AB于H，如图，
则AH＝BH，
∵OC＝OD，OH⊥AB，
∴CH＝DH，
∴CH﹣AH＝DH﹣BH，
即AC＝BD．
【点睛】此题考查了圆的垂径定理的运用，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是熟练掌握圆的垂径定理，等腰三角形三线合一的性质．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，进行画图即可；
（2）根据的圆周角所对的弦是直径，进行画图即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质是解决此题的关键．
21．(1)A、B两点的坐标分别为、；
(2)．
【分析】本题考查了二次函数的性质，垂径定理以及勾股定理．
（1）令，解方程，即可求解；
（2）连接．根据（1）中的结论，求出直径的长以及的长度，利用勾股定理列式求出的长，再根据垂径定理即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
∴，即，
解得，，
∴A、B两点的坐标分别为、；
（2）解：∵A、B两点的坐标分别为、，
∴，
圆心M的横坐标为，
∴圆心M的坐标为，
如图，连接，
则，，
∴，
∴．
22．(1)平行，理由见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得出 ，再由垂径定理得出，即可得出结论；
（2）令⊙O的半径为r，由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出⊙O的直径．
【详解】（1）解： ，
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵OD⊥BC，
∴，
∴；
（2）设⊙O的半径为r，
根据垂径定理可得：，
由勾股定理得：，
解得：，
∴⊙O的直径为．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
23．(1)
(2)4
【分析】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质以及勾股定理等知识：
（1）由圆周角定理得，根据直径所对圆周角是直角可知，再由三角形内角和定理可求出的度数；
（2）由角所骊直角边等于斜边的一半知，再由勾股定理可求出的长．
【详解】（1）∵点C在上，是的直径
∴
∵
∴
∵
∴
（2）在中，，
∴
设，则
在中，，由勾股定理得：
∵，，
∴
∵解得：，（舍）
∴的长为4
24．见解析
【分析】连接AC、BD，由C，D是的三等分点，可得AC=CD=BD，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，利用SAS可证明△AOC≌△COD，即可得出∠ACO=∠OCD，根据等腰三角形的性质可得∠OEF＝∠OCD，可证明CD//AB，可得∠AEC＝∠OCD，即可证明∠ACO＝∠AEC．可得AC=AE，同理可证BD=BF，进而可证明CD＝AE＝BF．
【详解】连接AC、BD，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵C，D是的三等分点，
∴AC=CD=BD，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△AOC≌△COD，
∴∠ACO=∠OCD，
∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD==75°，
∴∠OEF＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC＝∠OCD，
∴∠ACO＝∠AEC．
故AC＝AE，
同理，BF＝BD．
又∵AC＝CD＝BD
∴CD＝AE＝BF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
25．见解析
【分析】在上截取，连接，由为的中点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到，易得，得到，于是有，因此．
【详解】证明：在上截取，连接，如图，
∵为的中点，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，即．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理．
26．(1)直角
(2)四边形是菱形，理由见解析；菱形的边长为
【分析】（1）根据圆周角定理，直径所对的圆周角是，即可得出结论；
（2）根据折叠的性质，得到是的中垂线，进而得到，根据圆中半径相等，得到，即可得到四边形是菱形，根据直径是，求出边长即可．
【详解】（1）解:∵是的直径，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）四边形是菱形，
理由：如图：连接，
由折叠得：
，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∵直径的长是，
∴，
∴菱形的边长为．
【点睛】本题考查圆周角定理，折叠的性质，菱形的判定．熟练掌握圆周角定理和折叠的性质，是解题的关键．
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